Aufgaben:Exercise 4.5: Two-dimensional Examination Evaluation - Revision history

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 '''(1)'''&nbsp; and '''(2)'''&nbsp;
 *The mean values&nbsp; $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$&nbsp; and&nbsp; $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$&nbsp; can be estimated from the sketch and obtained exactly from the given equation.
-*The 2D PDF of the zero mean variable is:
+*The 2D&ndash;PDF of the zero mean variable is:
-:$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}', \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
+:$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}',\hspace{0.08cm} \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
-*For simplicity, the apostrophe is omitted below to denote zero mean variables.&nbsp;
+*For simplicity,&nbsp; the apostrophe is omitted below to denote zero mean variables.&nbsp;
-*Both&nbsp; $t$&nbsp; and&nbsp; $p$&nbsp; are to be understood as zero mean up to and including the subtask&nbsp; '''(4)''''&nbsp; .
+*Both&nbsp; $t$&nbsp; and&nbsp; $p$&nbsp; are to be understood as zero mean up to and including the subtask&nbsp; '''(4)'''.
-'''(3)'''&nbsp; The general equation of a zero mean 2D random variable is:
+'''(3)'''&nbsp; The general equation of a zero mean two-dimensional random variable is:
-:$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
+:$$f_{\it tp}(\it  t,\hspace{0.08cm} \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
 *The standard deviations&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; as well as the correlation coefficient&nbsp; $\rho$&nbsp; can be obtained by coefficient comparison:
 *A comparison of the first two terms in the exponent shows that&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; must hold.&nbsp; Thus the PDF is:
-:$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
+:$$f_{\it tp}(\it  t,\hspace{0.08cm} \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
 *From the second term of the exponent follows:
 :$$2\cdot(1-\rho^{\rm 2})\cdot\sigma_{p}^{ 2}=0.0072\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{p}^{2} = \frac{ 0.0036}{(1-\rho^{\rm 2})}.$$
-*The factor&nbsp; $K = 13.263$&nbsp; now gives the result.
+*The factor&nbsp; $K = 13.263$&nbsp; now gives the result:
 :$$K = \frac{\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}}{\rm 4\it\pi\cdot \rm 0.0036}=\rm 13.263 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}=\rm 0.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\hspace{0.15cm}\underline{ \rm \rho = \rm 0.8}.$$
 *From this we get the standard deviations to&nbsp; $\sigma_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.2}$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1}$.
+*For control,&nbsp; we use the last term of the exponent:
 :$$\frac{(1 - \rho^{2})\cdot \sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}{\it \rho} = \frac{0.36\cdot 0.1\cdot 0.2}{0.8} = \rm 0.009.$$
 *This agrees with the given value.
-'''(4)'''&nbsp; The <u>proposed solution 1</u> is correct.
+'''(4)'''&nbsp; The&nbsp; <u>proposed solution 1</u>&nbsp; is correct.
-*Basically,&nbsp; $(t, p)$&nbsp; is not a true Gaussian random variable,&nbsp; since both components are bounded.
+*Basically,&nbsp; $(t,\hspace{0.08cm} p)$&nbsp; is not a true Gaussian random variable,&nbsp; since both components are bounded.
-*The probabilities for the events&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp; $p < 0$ and&nbsp; $p >1$&nbsp; are therefore zero.
+*The probabilities for the events&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp; $p < 0$ &nbsp; &nbsp;  and &nbsp; $p >1$&nbsp; are therefore zero.
-*However, for Gaussian variables with the mean values and standard deviations present here, we get.
+*However,&nbsp; for Gaussian variables with the mean values and standard deviations present here, we get:
 :$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$
 :$$\rm Pr(\it p > \rm 1) = \rm Q(3)\approx 1.3\cdot 10^{-3},$$
 :$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$
-*The correlation coefficient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; is positive here. If the examinee has done rather well in the theory part, it is to be expected (at least for this exercise) that the practical part will also go well.
+*The correlation coefficient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; is positive here.&nbsp;  If the examinee has done rather well in the theory part,&nbsp; it is to be expected&nbsp; (at least for this exercise)&nbsp; that the practical part will also go well.
-*Suggestion 2 is therefore wrong here. In practice, this is certainly not always the case.
+*Suggestion 2 is therefore wrong.&nbsp; In practice,&nbsp; this is certainly not always the case.
-'''(5)'''&nbsp; For this probability, $\Delta t = \Delta p = 0.02$:
+'''(5)'''&nbsp; For this probability with&nbsp; $\Delta t = \Delta p = 0.02$:
-:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0. 5-\frac{\rm\delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
+:$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0. 5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
-*For the 2D PDF, taking into account the mean values&nbsp; $m_t{= 0.5}$&nbsp; and&nbsp; $m_p{= 0.7}$:
+*For the 2D&ndash;PDF,&nbsp; taking into account the mean values&nbsp; $m_t{= 0.5}$&nbsp; and&nbsp; $m_p{= 0.7}$:
-:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
+:$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5,\hspace{0.08cm} \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
-*Thus, the probability we are looking for is given by
+*Thus,&nbsp; the probability we are looking for is given by
 :$${\rm Pr}\big[(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big] =0.02 \cdot 0.0513\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2 &middot; 10^{-5}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Applied Gaussian 2D PDF&nbsp; $f_{tp}(t,p)$]]
+[[File:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Applied Gaussian 2D&ndash;PDF&nbsp; $f_{tp}(t,\hspace{0.08cm} p)$]]
-In a study, the master craftsman examinations were investigated, which always consist of a theoretical and additionally a practical part. In the graph denoted
+In a study,&nbsp; the master craftsman examinations were investigated,&nbsp; which always consist of a theoretical and additionally a practical part.&nbsp; In the graph denoted:
-* $t$&nbsp; denotes the score in the theoretical test,
+* $t$&nbsp; is the score in the theoretical test,
-* $p$&nbsp; the score in the practical test.
+* $p$&nbsp; is the score in the practical test.
-Both random variables&nbsp; $(t$&nbsp; and&nbsp; $p)$&nbsp; are normalized to the maximum scores and can therefore only take values between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $1$&nbsp;.
+Both random variables&nbsp; $(t$&nbsp; and&nbsp; $p)$&nbsp; are normalized to the maximum and can therefore only take values between&nbsp; $0$&nbsp; and&nbsp; $1$.
-Moreover, both random variables are to be interpreted as continuous random variables, i.e.: &nbsp; $t$&nbsp; and&nbsp; $p$&nbsp; are not restricted to discrete numerical values.
+Moreover,&nbsp; both random variables are to be interpreted as continuous random variables, i.e.: &nbsp; $t$&nbsp; and&nbsp; $p$&nbsp; are not restricted to discrete numerical values.
-*The graph shows the PDF&nbsp; $f_{tp}(t, p)$&nbsp; of the two-dimensional random variable&nbsp; $(t, p)$,&nbsp; which was published after evaluating a total of&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; final papers.
+*The graph shows the PDF&nbsp; $f_{tp}(t, p)$&nbsp; of the two-dimensional random variable&nbsp; $(t,\hspace{0.08cm} p)$,&nbsp; which was published after evaluating a total of&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; final papers.
 *This function was empirically approximated using an evaluation program as follows:
-:$$f_{tp}(t,p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
+:$$f_{tp}(t,\hspace{0.08cm} p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
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 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables|Two-dimensional Gaussian Random Variables]].
+*Reference is also made to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Gaussian_Distributed_Random_Variables|Gaussian distributed random variables]].
-*More information on this topic is provided in the learning video&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaussian 2D random variables]]:
+*More information on this topic is provided in the&nbsp; (German language)&nbsp;learning video&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|"Gaußsche 2D-Zufallsgrößen"]]:
 ::Part 1: &nbsp; Gaussian random variables without statistical bindings,
 ::Part 2: &nbsp; Gaussian random variables with statistical bindings.
@@ Line 36: / Line 33: @@
 <quiz display=simple>
-{What is the mean value&nbsp; $m_t$&nbsp; of the results obtained in the theory part?
+{What is the mean value&nbsp; $m_t$&nbsp; of the results obtained in the theoretical part?
 |type="{}"}
 $m_t \ = \ $ { 0.5 3% }
-{What is the mean&nbsp; $m_p$&nbsp; of the results obtained in the practice part?&nbsp; Give also the PDF of the zero mean random variable&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$&nbsp; .
+{What is the mean&nbsp; $m_p$&nbsp; of the results obtained in the practical part?&nbsp; Give also the PDF of the zero mean random variable&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$.
 |type="{}"}
 $m_p \ = \ $ { 0.7 3% }
@@ Line 56: / Line 53: @@
 |type="[]"}
 + The Gaussian approach is only an approximation for this problem.
-- If an examinee was above average in the theory part, it is to be expected that he is rather bad in practice.
+- If an examinee was above average in the theory part,&nbsp; it is to be expected that he is rather bad in practice.
-{What is the probability that a participant scored between&nbsp; $49\%$&nbsp; and&nbsp; $51\%$&nbsp; of the points in the theory&ndash; and the practice&ndash;exam respectively?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big [(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big]\ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-5}$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
 *Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; und '''(2)'''&nbsp;
-*Die Mittelwerte $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$  und $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$ k&ouml;nnen aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden.
+*Die Mittelwerte&nbsp; $m_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$&nbsp;  und&nbsp; $m_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}$&nbsp; k&ouml;nnen aus der Skizze abgeschätzt und aus der angegebenen Gleichung exakt ermittelt werden.
 *Die 2D&ndash;WDF der mittelwertfreien Gr&ouml;&szlig;e lautet:
 :$$f_{\it t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}'}(\it  t\hspace{0.05cm}', \it p\hspace{0.05cm}'{\rm )} = \rm 13.263\cdot \rm exp\Bigg (-\frac{\it {\rm (}t\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0288} - \frac{\it {\rm (}p\hspace{0.05cm}'{\rm )}^{\rm 2}}{\rm 0.0072}+\frac{\it t\hspace{0.05cm}'\cdot p\hspace{0.05cm}'}{\rm 0.0090}\Bigg ). $$
-*Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Gr&ouml;&szlig;en verzichtet. Sowohl $t$ als auch $p$ sind bis einschlie&szlig;lich der Teilaufgabe '''(4)''' als mittelwertfrei zu verstehen.
+*Zur Vereinfachung wird im Folgenden auf den Apostroph zur Kennzeichnung mittelwertfreier Gr&ouml;&szlig;en verzichtet.&nbsp;
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 :$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it \pi \cdot \sigma_{\it t}\cdot \sigma_{\it p} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it t}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{ (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}\Bigg\}.$$
-Die Standardabweichungen $\sigma_t$ und $\sigma_p$ sowie der Korrelationskoeffizient  $\rho$ lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
+*Die Standardabweichungen&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie der Korrelationskoeffizient&nbsp;  $\rho$&nbsp; lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln:
-*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$ gelten muss. Damit lautet die WDF:
+*Ein Vergleich der beiden ersten Terme im Exponenten zeigt, dass&nbsp; $\sigma_t = 2 \cdot \sigma_p$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Damit lautet die WDF:
 :$$f_{\it tp}(\it  t, \it p)=\frac{\rm 1}{\rm 4\it \pi \cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2} \cdot\sqrt{\rm 1- \it\rho^{\rm 2}}}\hspace{0.1cm}\cdot \hspace{0.1cm}\rm exp\Bigg\{-\hspace{0.1cm}\frac{\it t^{\rm 2}}{\rm 8\cdot (\rm 1-\rho^{\rm 2})\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}} -\hspace{0.1cm}\frac{\it p^{\rm 2}}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it\rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot \sigma_{\it p}^{\rm 2}}+\hspace{0.1cm}\frac{\rho\cdot \it t\cdot \it p}{\rm 2\cdot (\rm 1-\it \rho^{\rm 2}{\rm )}\cdot\sigma_{\it p}^{\rm 2}}\Bigg\}.$$
 *Aus dem zweiten Term des Exponenten folgt:
 :$$2\cdot(1-\rho^{\rm 2})\cdot\sigma_{p}^{ 2}=0.0072\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{p}^{2} = \frac{ 0.0036}{(1-\rho^{\rm 2})}.$$
-*Der Faktor $K = 13.263$ liefert nun das Ergebnis
+*Der Faktor&nbsp; $K = 13.263$&nbsp; liefert nun das Ergebnis
 :$$K = \frac{\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}}{\rm 4\it\pi\cdot \rm 0.0036}=\rm 13.263 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sqrt{\rm 1-\it\rho^{\rm 2}}=\rm 0.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\hspace{0.15cm}\underline{ \rm \rho = \rm 0.8}.$$
-*Daraus ergeben sich die Streuungen zu $\sigma_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.2}$ und  $\sigma_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1}$.
+*Daraus ergeben sich die Streuungen zu&nbsp; $\sigma_t\hspace{0.15cm}\underline{= 0.2}$&nbsp; und&nbsp;  $\sigma_p\hspace{0.15cm}\underline{= 0.1}$.
 *Zur Kontrolle verwenden wir den letzten Term des Exponenten:
 :$$\frac{(1 - \rho^{2})\cdot  \sigma_{\it t}\cdot\sigma_{\it p}}{\it \rho} = \frac{0.36\cdot 0.1\cdot 0.2}{0.8} = \rm 0.009.$$
 *Dies stimmt mit dem vorgegebenen Wert &uuml;berein.
 '''(4)'''&nbsp; Der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
-*Im Grunde genommen ist $(t, p)$ keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e, da beide Komponenten begrenzt sind.
+*Im Grunde genommen ist&nbsp; $(t, p)$&nbsp; keine echte Gau&szlig;sche Zufallsgr&ouml;&szlig;e,&nbsp; da beide Komponenten begrenzt sind.
-*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und $p >1$ sind somit Null.
+*Die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r die Ereignisse&nbsp; $t < 0$, &nbsp; &nbsp; $t >1$, &nbsp; &nbsp;  $p < 0$ und&nbsp; $p >1$&nbsp; sind somit Null.
 *Bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en mit den hier vorliegenden Mittelwerten und Streuungen ergeben sich jedoch
 :$$\rm Pr(\it t < \rm 0) = \rm Pr(\it t > \rm 1) = \rm Q(2.5)\approx 6\cdot 10^{-3},$$
@@ Line 100: / Line 103: @@
 :$$\rm Pr(\it p < \rm 0) = \rm Q(7)\approx 10^{-12}.$$
-*Der Korrelationskoeffizient $\rho = 0.8$ ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
+*Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho = 0.8$&nbsp; ist hier positiv. Hat der Pr&uuml;fling im Theorieteil eher gut abgeschnitten, so ist (zumindest bei dieser Aufgabe) zu erwarten, dass auch der praktische Teil gut l&auml;uft.
 *Hier ist also der Lösungsvorschlag 2 falsch. In der Praxis ist das sicher nicht immer so.
 '''(5)'''&nbsp; F&uuml;r diese Wahrscheinlichkeit gilt mit $\Delta t = \Delta p  = 0.02$:
 :$$\rm Pr\left [( \rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2}\le \it t \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it t}{\rm 2})\cap(\rm 0.5-\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2}\le \it p \le \rm 0.5+\frac{\rm\Delta\it p}{\rm 2})\right ] \approx  \rm\Delta\it t\cdot\rm\Delta\it p\cdot \it f_{tp}{\rm (}t=\rm 0.5, \it p = \rm 0.5).$$
-F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte $m_t{= 0.5}$ und $m_p{= 0.7}$:
+*F&uuml;r die 2D-WDF gilt unter Ber&uuml;cksichtigung der Mittelwerte&nbsp; $m_t{= 0.5}$&nbsp; und&nbsp; $m_p{= 0.7}$:
 :$$f_{tp}(\it t=\rm 0.5, \it p=\rm 0.5) = \rm 13.263\cdot {\rm e}^{-(-0.2)^2/0.0072}\approx 0.0513.$$
-Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu
+*Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu
 :$${\rm Pr}\big[(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big] =0.02 \cdot 0.02 \cdot 0.0513\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2 &middot; 10^{-5}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Betrachtete Gaußsche 2D-WDF $f_{tp}(t,p)$]]
+[[File:P_ID267__Sto_A_4_5.png|right|frame|Betrachtete Gaußsche 2D-WDF&nbsp; $f_{tp}(t,p)$]]
 In einer Studie wurden die Meisterpr&uuml;fungen f&uuml;r das Handwerk  untersucht, die sich stets aus einem theoretischen und zus&auml;tzlich einem praktischen Teil zusammensetzen. In der Grafik bezeichnet
 * $t$&nbsp; die Punktzahl in der theoretischen Pr&uuml;fung,
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-Beide  Zufallsgr&ouml;&szlig;en ($t$ und $p$) sind dabei jeweils auf die Maximalpunktezahlen normiert und k&ouml;nnen deshalb nur Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen.
+Beide  Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $(t$&nbsp; und&nbsp; $p)$&nbsp; sind dabei jeweils auf die Maximalpunktzahlen normiert und k&ouml;nnen deshalb nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.
-Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren, das heißt: &nbsp; $t$ und $p$ sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
+Beide Zufallsgrößen sind zudem als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en zu interpretieren, das heißt: &nbsp; $t$&nbsp; und&nbsp; $p$&nbsp; sind nicht auf diskrete Zahlenwerte beschr&auml;nkt.
-*Die Grafik zeigt die WDF $f_{tp}(t, p)$ der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(t, p)$, die nach der Auswertung von insgesamt $N = 10\hspace{0.05cm}000$ Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
+*Die Grafik zeigt die WDF&nbsp; $f_{tp}(t, p)$&nbsp; der zweidimensionalen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t, p)$,&nbsp; die nach der Auswertung von insgesamt&nbsp; $N = 10\hspace{0.08cm}000$&nbsp; Abschlussarbeiten veröffentlicht wurde.
 *Diese Funktion wurde mit Hilfe eines Auswertungsprogramms empirisch wie folgt  angen&auml;hert:
 :$$f_{tp}(t,p) = \rm 13.263\cdot \rm exp \Bigg\{-\frac{(\it t - \rm 0.5)^{\rm 2}}{\rm 0.0288}-\frac{(\it p-\rm 0.7)^{\rm 2}}{\rm 0.0072} + \frac{(\it t-\rm 0.5)(\it p-\rm 0.7)}{\rm 0.0090}\Bigg\}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 ::Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 ::Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert $m_t$ der im Theorieteil erzielten Ergebnisse?
+{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_t$&nbsp; der im Theorieteil erzielten Ergebnisse?
 |type="{}"}
 $m_t \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert $m_p$ der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse? Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$ an.
+{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_p$&nbsp; der im Praxisteilteil erzielten Ergebnisse?&nbsp; Geben Sie auch die WDF der mittelwertfreien Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(t\hspace{0.05cm}', p\hspace{0.05cm}')$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $m_p \ =  \ $ { 0.7 3% }
-{Berechnen Sie die Streuungen (Standardabweichungen) $\sigma_t$ und $\sigma_p$ sowie den Korrelationskoeffizienten $\rho$ zwischen den beiden Gr&ouml;&szlig;en an.
+{Berechnen Sie die Streuungen (Standardabweichungen)&nbsp; $\sigma_t$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_p$&nbsp; sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho$&nbsp; zwischen den beiden Gr&ouml;&szlig;en.
 |type="{}"}
 $\sigma_t \ =  \ $ { 0.2 3% }
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-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Teilnehmer in der Theorie&ndash; und der Praxis&ndash;Pr&uuml;fung jeweils zwischen $49\%$ und $51\%$ der Punkte erreicht?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Teilnehmer in der Theorie&ndash; und der Praxis&ndash;Pr&uuml;fung jeweils zwischen&nbsp; $49\%$&nbsp; und&nbsp; $51\%$&nbsp; der Punkte erreicht?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big [(0.49 ≤ t ≤0.51)∩(0.49≤ p ≤0.51)\big]\ =  \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-5}$