Aufgaben:Exercise 4.7: About the Rake Receiver - Revision history

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 {{quiz-Header|Buchseite=Beispiele von Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS}}
-[[File:P_ID1976__Mod_Z_5_5.png|right|frame|Zweiwegekanal & RAKE]]
+[[File:EN_Mod_Z_5_5.png|right|frame|Two-way channel <br>& rake receiver]]
 Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet:

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	^]]		^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen~~\|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte	+	[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises\|^4.3 Nachrichtentechnische Aspekte
	^]]		^]]

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
-*Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.
+*Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Modulation_Methods/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
+*Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/Nachrichtentechnische_Aspekte_von_UMTS|Nachrichtentechnische Aspekte von UMTS]].
 *Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Untersuchungen_zum_RAKE.E2.80.93Empf.C3.A4nger|Untersuchungen zum RAKE&ndash;Empfänger]] im Buch „Modulationsverfahren”.

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
+*Die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$&nbsp; ergibt sich als das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt&nbsp; $\Rightarrow s(t) = \delta(t)$.
-* Daraus folgt
+* Daraus folgt:
 :$$h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Kanalfrequenzgang $H_{\rm K}(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
+*Der Kanalfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm K}(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
 :$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen:
-*$H_{\rm K}(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit&nbsp; $1/\tau$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
 :$$|H_{\rm K}(f)|^2  = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =  \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] +  2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
-*Für $f = 0$ ist $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/\tau$ wiederholt sich dieser Wert.
+*Für&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist&nbsp; $|H_{\rm K}(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $1/\tau$&nbsp; wiederholt sich dieser Wert.
 '''(3)'''&nbsp; Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß $K = 1$. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{\rm KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $\tau_{0} = 0$ gelten oder $\tau_{1}= 0$. Mit $\tau_{0} = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
 :$$ h_{\rm KR}(t) \ = \ 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
-Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $\tau_{1} = \tau$ gewählt werden. Mit $h_{0} = 0.6$ und $h_{1} = 0.4$ erhält man dann $A_{0} \neq A_{2}$:
+*Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann&nbsp; $\tau_{1} = \tau$&nbsp; gewählt werden. Mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$&nbsp; und&nbsp; $h_{1} = 0.4$&nbsp; erhält man dann&nbsp; $A_{0} \neq A_{2}$:
 :$$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.48 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ergibt sich mit $h_{0} = 0.6$, $h_{1} = 0.4, \tau_{0} = \tau$ und $\tau_{1} = 0$:
+*Dagegen ergibt sich mit&nbsp; $h_{0} = 0.6$,&nbsp; $h_{1} = 0.4,&nbsp; \tau_{0} = \tau$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{1} = 0$:
-:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$h_{\rm KR}(t)= 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)= 0.52 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.24 \cdot \big[ \delta (t ) +\delta (t - 2\tau)\big] \hspace{0.05cm}.$$
-Hier ist die Zusatzbedingung $A_{0} = A_{2}$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
+*Hier ist die Zusatzbedingung&nbsp; $A_{0} = A_{2}$&nbsp; erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
-:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\tau_0 = \tau \hspace{0.15cm}\underline {= 1\,{\rm &micro; s}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Es gilt entsprechend der angegebenen Gleichung
 :$$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 1.923 } \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt $0.24/0.52 = 6/13$):
+*Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort&nbsp; (es gilt&nbsp; $0.24/0.52 = 6/13$):
 :$$h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:
-:$$ r(t) \ = \ 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
+'''(5)'''&nbsp; Für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; und für das RAKE–Ausgangssignal&nbsp; $b(t)$&nbsp; gelten:
 [[File:P_ID1980__Mod_Z_5_5e.png|right|frame|Signale zur Verdeutlichung des RAKE–Empfängers]]
 Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>, wie die Grafik zeigt.
-Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind $r(t)$ und $b(t)$ vergleichbar.
+Bezüglich des AWGN–Rauschverhaltens sind&nbsp; $r(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; vergleichbar.