Aufgaben:Exercise 4.8Z: AWGN Channel - Revision history

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 }}
-[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|AWGN&ndash;channel model]]
+[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Channel model&nbsp; "AWGN"]]
-We consider here an analog message signal $s(t)$ whose amplitude values are Gaussian distributed.
+We consider here an analog message signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; whose amplitude values are Gaussian distributed.&nbsp; The standard deviation of this zero mean signal is&nbsp; $\sigma_s=1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+During transmission&nbsp; $s(t)$&nbsp; is additively overlaid by noise&nbsp; $n(t)$&nbsp; which like&nbsp; $s(t)$&nbsp; can be assumed to be Gaussian distributed and zero mean.
+*Let the standard deviation of the noise be generally&nbsp; $\sigma_n$.
-During transmission&nbsp; $s(t)$&nbsp; is additively overlaid by an interfering signal&nbsp; $n(t)$&nbsp; which, like&nbsp; $s(t)$&nbsp; can be assumed to be Gaussian distributed and zero mean.
+*It is assumed that there are no statistical dependencies between the signals&nbsp; $s(t)$&nbsp; and&nbsp; $n(t)$.
-*Let the rms value (standard deviation) of the interference signal be generally&nbsp; $\sigma_n$.
+*Such a constellation is called&nbsp; "Additive White Gaussian Noise"&nbsp; $\rm (AWGN)$.&nbsp;
-*It is assumed that there are no statistical dependencies between useful signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; and interfering signal&nbsp; $n(t)$&nbsp;.
+*The quality criterion for the received signal&nbsp; $r(t)= s(t)+n(t)$&nbsp; the&nbsp; "signal-to-noise power ratio":
 :$${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$
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 Hints:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables|Linear Combinations of Random Variables]].
 *Reference is also made to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables|Two-dimensional Gaussian random variables]].
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 <quiz display=simple>
-{Give the PDF $f_r(r)$&nbsp; of the received signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; in general.&nbsp; What is the rms value&nbsp; $\sigma_r$ when&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; is?
+{Give the PDF $f_r(r)$&nbsp; of the received signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; in general.&nbsp; What is the standard deviation&nbsp; $\sigma_r$&nbsp; when&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 $\sigma_r \ = \ $ { 1.25 3% } $ \ \rm V$
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 {Calculate the correlation coefficient&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; depending on the SNR of the AWGN channel.&nbsp; Derive an approximation for large SNR.

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 $$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
 *The variances of&nbsp; $s(t)$&nbsp; and&nbsp; $n(t)$&nbsp; add up.&nbsp; Therefore, with&nbsp; $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm}  \rm V$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
-:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}.$$
+:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; For the correlation coefficient, with the joint moment&nbsp; $m_{sr}$:
 :$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
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 '''(3)'''&nbsp; The expression calculated in the last subtask can be represented by the abbreviation&nbsp; ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$&nbsp; as follows:
-:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
+:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
 *The signal-to-noise ratio&nbsp; $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$&nbsp; leads to the absolute value&nbsp; $\rm SNR = 1000$.

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-{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Linearkombinationen von Zufallsgrößen
+{{quiz-Header|Buchseite=Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables
 }}
-[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN&ndash;Kanals]]
+[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|AWGN&ndash;channel model]]
-Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal&nbsp; $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
+We consider here an analog message signal $s(t)$ whose amplitude values are Gaussian distributed.
-*Der Effektivwert&nbsp; $\sigma_s$&nbsp; dieses mittelwertfreien Signals beträgt&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*The rms value&nbsp; $\sigma_s$&nbsp; of this zero mean signal is&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-*Diese Größe bezeichnet man auch als die&nbsp; ''Streuung''.
+*This variable is also known at the standard deviation
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-''Hinweise:''
+''Hints:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linear_Combinations_of_Random_Variables|Linear Combinations of Random Variables]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Reference is also made to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Gaussian_Random_Variables|Two-dimensional Gaussian random variables]].
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die WDF $f_r(r)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; allgemein an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_r$, wenn&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; betr&auml;gt?
+{Give the PDF $f_r(r)$&nbsp; of the received signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; in general.&nbsp; What is the rms value&nbsp; $\sigma_r$ when&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; is?
 |type="{}"}
-$\sigma_r \ = \ $  { 1.25 3% } $ \ \rm V$
+$\sigma_r \ = \ $ { 1.25 3% } $ \ \rm V$
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; zwischen den beiden Signalen&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$.&nbsp;  Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Calculate the correlation coefficient&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; between the two signals&nbsp; $s(t)$&nbsp; and&nbsp; $r(t)$.&nbsp; What value results for&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
-$\rho_{sr} \ =  \ $ { 0.8 3% }
+$\rho_{sr} \ = \ $ { 0.8 3% }
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; abhängig vom SNR des AWGN-Kanals.&nbsp; Leiten Sie eine N&auml;herung f&uuml;r gro&szlig;es SNR ab.
+{Calculate the correlation coefficient&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; depending on the SNR of the AWGN channel.&nbsp; Derive an approximation for large SNR.
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 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$.&nbsp; Somit kann $f_r(r)$&nbsp; aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$&nbsp; und $f_n(n)$&nbsp; berechnet werden.
+'''(1)'''&nbsp; It holds&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$.&nbsp; Thus $f_r(r)$&nbsp; can be calculated from the convolution of the two density functions $f_s(s)$&nbsp; and $f_n(n)$&nbsp; .
-*Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
+*Since both signals are Gaussian distributed, the convolution also yields a Gaussian function:
-:$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
+$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
+*The variances of&nbsp; $s(t)$&nbsp; and&nbsp; $n(t)$&nbsp; add up.&nbsp; Therefore, with&nbsp; $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm}  \rm V$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
-*Die Varianzen von&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp;  $n(t)$&nbsp; addieren sich.&nbsp; Deshalb erh&auml;lt man mit&nbsp;  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
+:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}.$$
-:$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
+'''(2)'''&nbsp; For the correlation coefficient, with the joint moment&nbsp; $m_{sr}$:
 :$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
-*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $s(t)$&nbsp; und auch&nbsp; $r(t)$&nbsp; mittelwertfrei sind, so dass&nbsp; $\mu_{sr} =m_{sr}$&nbsp; gilt.
+*With&nbsp; $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$,&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; and&nbsp; $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; one obtains&nbsp; $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.
-'''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung&nbsp; ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$&nbsp; wie folgt dargestellt werden:
+'''(3)'''&nbsp; The expression calculated in the last subtask can be represented by the abbreviation&nbsp; ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$&nbsp; as follows:
-:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
+:$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
-*Der Signal-zu-Stör-Abstand&nbsp; $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$&nbsp; führt zum absoluten Wert&nbsp; $\rm SNR = 1000$.
+*The signal-to-noise ratio&nbsp; $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$&nbsp; leads to the absolute value&nbsp; $\rm SNR = 1000$.
-*In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von&nbsp; $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.
+*Inserted into the above equation, this gives an approximate correlation coefficient of&nbsp; $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN-Kanals]]
+[[File:P_ID413__Sto_Z_4_8.png|right|frame|Modell des AWGN&ndash;Kanals]]
-Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
+Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal&nbsp; $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.
-*Der Effektivwert $\sigma_s$ dieses mittelwertfreien Signals beträgt $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Der Effektivwert&nbsp; $\sigma_s$&nbsp; dieses mittelwertfreien Signals beträgt&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-*Diese Größe bezeichnet man auch als die ''Streuung''.
+*Diese Größe bezeichnet man auch als die&nbsp; ''Streuung''.
-Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.
+Bei der Übertragung wird&nbsp; $s(t)$&nbsp; von einem Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; additiv überlagert, das ebenso wie&nbsp; $s(t)$&nbsp; als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.
-*Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$.
+*Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein&nbsp; $\sigma_n$.
-*Es kann angenommen werden, dass zwischen Nutzsignal $s(t)$ und Störsignal $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.
+*Es wird angenommen, dass zwischen Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und Störsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.
-Man bezeichnet eine solche Konstellation als <i>Additive White Gaussian Noise</i> (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)$ das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis (''Signal-to-Noise-Ratio''):
+Man bezeichnet eine solche Konstellation als&nbsp; <i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp; (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis&nbsp; (''Signal-to-Noise-Ratio''):
 :$${\rm SNR} =  {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an. <br>Wie gro&szlig; ist der Effektivwert $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ betr&auml;gt?
+{Geben Sie die WDF $f_r(r)$&nbsp; des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; allgemein an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_r$, wenn&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; betr&auml;gt?
 |type="{}"}
 $\sigma_r \ = \ $  { 1.25 3% } $ \ \rm V$
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$, der zwischen den beiden Signalen $s(t)$ und $r(t)$ besteht. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; zwischen den beiden Signalen&nbsp; $s(t)$&nbsp; und&nbsp; $r(t)$.&nbsp;  Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 $\rho_{sr} \ =  \ $ { 0.8 3% }
-{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine N&auml;herung f&uuml;r gro&szlig;es SNR ab.
+{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{sr}$&nbsp; abhängig vom SNR des AWGN-Kanals.&nbsp; Leiten Sie eine N&auml;herung f&uuml;r gro&szlig;es SNR ab.
 <br>Welcher Koeffizient ergibt sich f&uuml;r $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?
 |type="{}"}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden. Da beide Signale gau&szlig;verteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gau&szlig;funktion:
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden.
 :$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$
-Die Varianzen von $s(t)$ und  $n(t)$ addieren sich. Deshalb erh&auml;lt man mit  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
+*Die Varianzen von $s(t)$ und  $n(t)$ addieren sich. Deshalb erh&auml;lt man mit  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:
 :$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:
 :$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$
-Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt. Da $s(t)$ und  $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
+*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt.
-:$$m_{sr} = {\rm E}[s(t) \cdot r(t)] = {\rm E}[s^2(t)] +  {\rm E}[s(t) \cdot n(t)] ={\rm E}[s^2(t)] = \sigma_s^2.$$
+*Da $s(t)$ und  $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert  vorausgesetzt wurden, gilt weiter:
-:$$\rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{  \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$
+:$$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] +  {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$
 '''(3)'''&nbsp; Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:
 :$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{  {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx  1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$
-Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies n&auml;herungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.
+*Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$.
 {{ML-Fuß}}