Aufgaben:Exercise 4.8Z: BPSK Error Probability - Revision history

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 '''(2)'''&nbsp;   For the baseband system:
 :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
-*Of course, the second equation given gives the exact same error probability
+*Of course,&nbsp; the second equation gives the exact same error probability
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-'''(3)'''&nbsp;   When the transmitted amplitude is half&nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}$&nbsp; the energy per bit decreases to one-fourth and the following equations apply:
+'''(3)'''&nbsp;   When the transmitted amplitude is half &nbsp; &rArr; &nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}$,&nbsp; the energy per bit decreases to one-fourth and the following equations apply:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
-'''(4)'''&nbsp;   <u>Answer 2</u> is correct:
+'''(4)'''&nbsp;   <u>Answer 2</u>&nbsp; is correct:
 *Considering the energy&nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$&nbsp; we obtain
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
-*Thus, the same result is obtained as for the optimal baseband transmission system.
+*Thus,&nbsp; the same result is obtained as for the optimal baseband transmission system.

@@ Line 6: / Line 6: @@
 We assume the optimal baseband transmission system for binary signals with
 * bipolar amplitude coefficients &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
-* rectangular transmitted signal with signal values &nbsp;$±s_0$&nbsp; and bit duration &nbsp;$T_{\rm B}$,
+* rectangular transmitted signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; with signal values &nbsp;$±s_0$&nbsp; and bit duration &nbsp;$T_{\rm B}$,
 * AWGN noise with the (one-sided) noise power density &nbsp;$N_0$,
 * receiver filter according to the matched filter principle,
@@ Line 12: / Line 12: @@
-If nothing else is specified, you should assume the following numerical values:
+If nothing else is specified,&nbsp; you should assume the following numerical values:
 :$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
-Using the noise rms value &nbsp;$σ_d$&nbsp; at the decision and the complementary Gaussian error function &nbsp;${\rm Q}(x)$ the bit error probability of this baseband system is &nbsp; &rArr; &nbsp; see table:
+Using the noise rms value &nbsp;$σ_d$&nbsp; at the decision and the complementary Gaussian error function &nbsp;${\rm Q}(x)$,&nbsp; the bit error probability of this baseband&nbsp; $\rm (BB)$&nbsp; system is &nbsp; &rArr; &nbsp; see table:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm with}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
 This bit error probability can also be expressed in the form
-:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
+:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$
-where &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; indicates the "signal energy per bit".
+where &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; indicates the&nbsp; "signal energy per bit".
-The bit error probability of a comparable transmission system with &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) is:
+The bit error probability of a comparable transmission system with &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; is:
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm with}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
@@ Line 28: / Line 28: @@
 Notes:
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation|"Linear Digital Modulation"]].
-''Notes:''
+*Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation#Error_probabilities_-_a_brief_overview|"Error probabilities - a brief overview"]].
-*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Linear_Digital_Modulation|Linear Digital Modulation]].
+*The derivations can be found in the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|"Linear Digital Modulation - Coherent Demodulation"]]&nbsp; of the book "Digital Signal Transmission".
 *The specification of a power in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; or an energy in &nbsp;$\rm V^2 s$&nbsp; means a conversion to the reference resistance &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.
@@ Line 48: / Line 46: @@
-{For this set of parameters, what is the energy per bit &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; for the baseband system?
+{For this parameter set,&nbsp; what is the energy per bit &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; for the baseband system?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B}  \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \cdot 10^{-8} \ \rm V^2 s$
@@ Line 62: / Line 60: @@
 -  $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(4E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big].$
-{What are the error probabilities for BPSK for &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 8$&nbsp; and &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 2$?
+{What are the error probabilities for BPSK with &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 8$&nbsp; and &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 2$?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B}/N_0 = 8\text{:} \ \ \ \   p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$

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@@ Line 33: / Line 33: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick]].
-*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
+*Die Herleitungen finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 *Die Angabe einer Leistung in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; bzw. einer Energie in &nbsp;$\rm V^2 s$&nbsp; bedeutet eine Umrechnung auf den Bezugswiderstand &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.

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(No difference)

@@ Line 80: / Line 80: @@
 '''(2)'''&nbsp;   Beim Basisbandsystem gilt:
 :$$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}= (4\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-9}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.6 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2s}}.$$
-Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
+*Natürlich ergibt sich mit der zweiten angegebenen Gleichung die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 16 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(4)= 0.317 \cdot 10^{-4}.$$
-'''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude $s_0 = 2\,{\rm V}$ sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
+'''(3)'''&nbsp;   Bei halber Sendeamplitude&nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}$&nbsp; sinkt die Energie pro Bit auf ein Viertel und es gelten folgende Gleichungen:
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \frac{2\,{\rm V}}{1\,{\rm V}} \right )= {\rm Q}(2)= 227 \cdot 10^{-4},$$
 :$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-9}\,{\rm V^2s}}{2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$
@@ Line 90: / Line 90: @@
 '''(4)'''&nbsp;   Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
-*Unter Berücksichtigung der Energie $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ erhält man
+*Unter Berücksichtigung der Energie&nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$&nbsp; erhält man
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }}\hspace{0.1cm}\right ).$$
 *Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie beim optimalen Basisbandübertragungssystem.
 '''(5)'''&nbsp;   Es ergeben sich die genau gleichen Ergebnisse wie bei der Basisbandübertragung in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(3)''':
 :$${ E_{\rm B}}/{N_0 }= 8: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{16}) = {\rm Q}(4)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4}},$$
 :$$ { E_{\rm B}}/{N_0 }= 2: \hspace{0.2cm}p_{\rm BPSK} = {\rm Q}(\sqrt{4}) = {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm}\underline {= 227 \cdot 10^{-4}}.$$

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID1681__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Tabelle der Komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$]]
-Wir gehen von dem optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
+Wir gehen vom optimalen Basisbandübertragungssystem für Binärsignale aus mit
 * bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
 * rechteckförmigem Sendesignal mit den Signalwerten &nbsp;$±s_0$&nbsp; und der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
-* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
+* AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
 * Empfangsfilter gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
 * Entscheider mit optimalem Schwellenwert &nbsp;$E = 0$.
@@ Line 15: / Line 15: @@
 :$$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$$
 Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dieses Basisbandsystems lautet mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; am Entscheider und der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;${\rm Q}(x)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Tabelle:
-:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{\frac{N_0}{2 \cdot T_{\rm B}}}.$$
+:$$ p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/(2 \cdot T_{\rm B}}).$$
 Diese Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann auch in der Form
-:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
+:$$p_{\rm BB} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )$$
 geschrieben werden, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die „Signalenergie pro Bit” angibt.
 Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines vergleichbaren Übertragungssystems mit &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) lautet:
 :$$ p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\left ( {s_0}/{\sigma_d } \right )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\sigma_d = \sqrt{{N_0}/{T_{\rm B}}}.$$
@@ Line 40: / Line 43: @@
 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$ <br>Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
+{Es gelte &nbsp;$s_0 = 4\,{\rm V},\hspace{0.2cm} T_{\rm B} = 1\,{\rm ns},\hspace{0.2cm}N_0 = 2 \cdot 10^{-9}\, {\rm V^2/Hz} \hspace{0.05cm}.$&nbsp; Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm BB}$&nbsp; des Basisbandsystems?
 |type="{}"}
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
@@ Line 53: / Line 56: @@
 $p_{\rm BB} \ = \ $ { 227 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; an. Welches Ergebnis stimmt?
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; an.&nbsp; Welches Ergebnis stimmt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$
 + $p_{\rm BPSK} = {\rm Q}\big[(2E_{\rm B}/N_0)^{1/2}\big],$