Aufgaben:Exercise 5.1: Gaussian ACF and Gaussian Low-Pass - Revision history

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@@ Line 33: / Line 33: @@
 <quiz display=simple>
-{What is the rms value of the filter input signal?
+{What is the standard deviation of the filter input signal?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 0.2 3% } $\ \rm V$

@@ Line 70: / Line 70: @@
 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; The variance is equal to the ACF value at&nbsp; $\tau = 0$, so &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
+'''(1)'''&nbsp; The variance is equal to the ACF value at&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp;   so &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
-*From this follows &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$&nbsp;.
+*From this follows &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$.
 '''(2)'''&nbsp; The equivalent ACF duration can be determined via the rectangle of equal area.
-*According to the sketch, we obtain &nbsp;$\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm &micro; s}$.
+*According to the sketch,&nbsp; we obtain &nbsp;$\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm &micro; s}$.
-'''(3)'''&nbsp; The PDS is the Fourier transform of the ACF.
+'''(3)'''&nbsp; The PSD is the Fourier transform of the ACF.
 *With the given Fourier correspondence holds:
 :$${\it \Phi}_{x}(f) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
-*At frequency $f = 0$,&nbsp; we obtain:
+*At frequency&nbsp; $f = 0$,&nbsp; we obtain:
 :$${\it \Phi}_{x}(f  = 0) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
 \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
@@ Line 92: / Line 92: @@
-'''(4)'''&nbsp; <u>Solutions 1 and 3</u> are correct:
+'''(4)'''&nbsp; <u>Solutions 1 and 3</u>&nbsp; are correct:
 *In general,&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$.&nbsp; It follows:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
 \cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$
-*By combining the two exponential functions, we obtain:
+*By combining the two exponential functions,&nbsp; we obtain:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
 {\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
-*Also ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; is Gaussian and never wider than&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; For $f \to \infty$,&nbsp; the approximation&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$ holds.
+*Also&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; is Gaussian and never wider than&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; For $f \to \infty$,&nbsp; the approximation&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; holds.
 *As&nbsp; $\Delta f$&nbsp; gets smaller,&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; gets narrower&nbsp; (so the second statement is false).
-*$H_0$&nbsp; actually affects only the PDS height, but not the width of the PDS.
+*$H_0$&nbsp; actually affects only the PSD height,&nbsp; but not the width of the PSD.
-'''(5)'''&nbsp; Analogous to task&nbsp; '''(1)''',&nbsp; it can be written for the PDS of the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp;:
+'''(5)'''&nbsp; Analogous to task&nbsp; '''(1)''',&nbsp; it can be written for the PSD of the output signal&nbsp; $y(t)$:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_y^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_y \cdot
 {\rm e}^{- \pi  \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$
@@ Line 113: / Line 113: @@
 :$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
 \Delta} f^2}.$$
-*Solving the equation for&nbsp; $\Delta f$&nbsp; and considering the values&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; as well as&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  it follows:
+*Solving the equation for&nbsp; $\Delta f$&nbsp; and considering the values&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; as well as&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,&nbsp;  it follows:
 :$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
 \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
@@ Line 121: / Line 121: @@
 '''(6)'''&nbsp; The condition&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; is equivalent to&nbsp; $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
-*Moreover, since&nbsp; $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$&nbsp; is given, therefore&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$&nbsp; must also hold.
+*Moreover,&nbsp; since&nbsp; $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$&nbsp; is given,&nbsp; therefore&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$&nbsp; must also hold.
 *From this we obtain:
 :$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaussian ACF at the <br>input and output]]
+[[File:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaussian ACF at the filter input and output]]
-At the input of a low-pass filter with frequency response&nbsp; $H(f)$,&nbsp; there is a Gaussian-distributed mean-free noise signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; with the following auto-correlation function (ACF):
+At the input of a low-pass filter with frequency response&nbsp; $H(f)$,&nbsp; there is a Gaussian distributed mean-free noise signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; with the following auto-correlation function&nbsp; $\rm (ACF)$:
 :$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
 /{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
@@ Line 10: / Line 11: @@
 This ACF is shown in the accompanying diagram above.
-Let the filter be Gaussian with the DC gain&nbsp; $H_0$&nbsp; and the equivalent bandwidth&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Thus, for the frequency response, it can be written:
+Let the filter be Gaussian with the DC gain&nbsp; $H_0$&nbsp; and the equivalent bandwidth&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Thus,&nbsp; for the frequency response,&nbsp; it can be written:
 :$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{-  \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$
-In the course of this task, the two filter parameters&nbsp; $H_0$&nbsp; and&nbsp; $\Delta f$&nbsp; are to be dimensioned so that the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; has an ACF corresponding to the diagram below.
+In the course of this task,&nbsp; the two filter parameters&nbsp; $H_0$&nbsp; and&nbsp; $\Delta f$&nbsp; are to be dimensioned so that the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; has an ACF corresponding to the diagram below.
@@ Line 23: / Line 20: @@
-''Notes:''
+Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastic_System_Theory|Stochastic System Theory]].
 *Reference is also made to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Auto-Correlation_Function_(ACF)|Auto-Correlation Function]].
@@ Line 41: / Line 38: @@
-{From the sketched ACF, also determine the equivalent ACF duration&nbsp; $\nabla\tau_x$&nbsp; of the signal&nbsp; $x(t)$.&nbsp; How can this be determined in general?
+{From the sketched ACF,&nbsp; also determine the equivalent ACF duration&nbsp; $\nabla\tau_x$&nbsp; of the input signal.&nbsp; How can this be determined in general?
 |type="{}"}
-$\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ &micro; s$
+$\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$
-{What is the power density spectrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$ of the input signal?&nbsp; What is the PDS value at $f= 0$?
+{What is the power-spectral density&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; of the input signal?&nbsp; What is the PSD value at&nbsp; $f= 0$?
 |type="{}"}
 ${\it Φ}_x(f=0) \ =  \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$
-{Calculate the PDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; at the filter output in general as a function of&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; and&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Which statements are true?
+{Calculate the PSD&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; at the filter output in general as a function of&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; and&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Which statements are true?
 |type="[]"}
-+ The PDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; is also Gaussian.
++ The PSD&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; is also Gaussian.
-- The smaller&nbsp; $\Delta f$&nbsp; is, the wider&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
+- The smaller&nbsp; $\Delta f$&nbsp; is,&nbsp; the wider&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-+ $H_0$&nbsp; only affects the height, but not the width&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
++ $H_0$&nbsp; only affects the height,&nbsp; but not the width of&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.

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@@ Line 24: / Line 24: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:

@@ Line 73: / Line 73: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.	Daraus folgt &nbsp;$\sigma_x\hspace{0.15cm}\underline {= 0.2 \ \rm V}$&nbsp;.
+'''(1)'''&nbsp; Die Varianz ist gleich dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$, also &nbsp;$\sigma_x^2 = 0.04 \ \rm V^2$.
-'''(2)'''&nbsp; Die äquivalente AKF-Dauer kann man über das flächengleiche Rechteck ermitteln. Gemäß der Skizze erhält man &nbsp;$\nabla \tau_x\hspace{0.15cm}\underline {= 1 \ \rm \mu s}$.
@@ Line 84: / Line 88: @@
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ erhält man:
+*Bei der Frequenz $f = 0$&nbsp; erhält man:
 :$${\it \Phi}_{x}(f  = 0) = \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x =
 \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 40
 \cdot 10^{-9} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Allgemein gilt ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$. Daraus folgt:
+*Allgemein gilt&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) = {\it \Phi}_{x}(f) \cdot |H(f)|^2$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot
 {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2
@@ Line 97: / Line 102: @@
 *Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_x^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot
-{\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2)  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
+{\rm e}^{- \pi\cdot  ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/\Delta f^2  ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$
-*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$ ist gaußförmig und nie breiter als ${\it \Phi}_{x}(f)$. Für $f \to \infty$ gilt die Näherung ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
+*Auch ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; ist gaußförmig und nie breiter als&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$.&nbsp; Für $f \to \infty$&nbsp; gilt die Näherung&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f) \approx {\it \Phi}_{x}(f)$.
-*Mit kleiner werdendem $\Delta f$ wird ${\it \Phi}_{y}(f)$ immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch).
+*Mit kleiner werdendem&nbsp; $\Delta f$&nbsp; wird&nbsp; ${\it \Phi}_{y}(f)$&nbsp; immer schmäler&nbsp; (also ist die zweite Aussage falsch).
-*$H_0$ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
+*$H_0$&nbsp; beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe, aber nicht die Breite des LDS.
-'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil '''(1)''' kann für das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ geschrieben werden:
+'''(5)'''&nbsp; Analog zum Aufgabenteil&nbsp; '''(1)'''&nbsp; kann für das LDS des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; geschrieben werden:
 :$${\it \Phi}_{y}(f) =  \sigma_y^2 \cdot   {\rm \nabla} \tau_y \cdot
 {\rm e}^{- \pi  \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$
-*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich:
+*Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ergibt sich:
 :$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm
 \Delta} f^2}.$$
-*Löst man die Gleichung nach $\Delta f$ auf und berücksichtigt die Werte $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$ und   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
+*Löst man die Gleichung nach&nbsp; $\Delta f$&nbsp; auf und berücksichtigt die Werte&nbsp; $\nabla \tau_x {= 1 \ \rm &micro; s}$&nbsp; sowie&nbsp;   $\nabla \tau_y {= 3 \ \rm &micro; s}$,  so folgt:
 :$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm
 \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz
@@ Line 117: / Line 122: @@
 '''(6)'''&nbsp; Die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ ist gleichbedeutend mit $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
-*Da zudem $\nabla \tau_y = 3 \cdot \nabla \tau_x$ vorgegeben ist, muss deshalb auch ${\it \Phi}_{y}(f= 0) =  3 \cdot {\it \Phi}_{x}(f= 0)$ gelten.
+'''(6)'''&nbsp; Die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; ist gleichbedeutend mit&nbsp; $\varphi_y(\tau = 0)= \varphi_x(\tau = 0)$.
 *Daraus erhält man:
 :$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\it \Phi_y (f \rm = 0)}{\it \Phi_x (f = \rm 0)}} = \sqrt

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am Eingang und Ausgang]]
+[[File:P_ID487__Sto_A_5_1.png|right|frame|Gaußsche AKF am <br>Eingang und Ausgang]]
-Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang $H(f)$ liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal $x(t)$ mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
+Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:
-:$${\it \varphi_{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
+:$${\it \varphi}_{x}(\tau) = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau
 /{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$
-Diese AKF ist in der nebenstehenden Grafik oben dargestellt.
+Diese AKF ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.
-Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung $H_0$ und der äquivalenten Bandbreite $\Delta f$. Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:
+Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung&nbsp; $H_0$&nbsp; und der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:
 :$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{-  \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$
-Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter $H_0$ und $\Delta f$ so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal $y(t)$ eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
+Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$&nbsp; so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.
@@ Line 21: / Line 24: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:
@@ Line 38: / Line 41: @@
-{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals $x(t)$. <br>Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
+{Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $\nabla\tau_x$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Wie kann diese allgemein ermittelt werden?
 |type="{}"}
 $\nabla\tau_x \ =  \ $ { 1 3% } $\ &micro; s$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals? <br>Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$ des Eingangsignals?&nbsp; Wie groß ist der LDS-Wert bei $f= 0$?
 |type="{}"}
 ${\it Φ}_x(f=0) \ =  \ $ { 40 3% } $\ \cdot 10^{-9}\ \rm V^2/Hz$
-{Berechnen Sie das LDS ${\it Φ}_y(f)$ am Filterausgang allgemein als Funktion von  $\sigma_x$, $\nabla \tau_x$, $H_0$ und $\Delta f$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; am Filterausgang allgemein als Funktion von&nbsp;  $\sigma_x$,&nbsp; $\nabla \tau_x$,&nbsp; $H_0$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Das LDS ${\it Φ}_y(f)$ ist ebenfalls gaußförmig.
++ Das LDS&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$&nbsp; ist ebenfalls gaußförmig.
-- Je kleiner $\Delta f$ ist, um so breiter ist ${\it Φ}_y(f)$.
+- Je kleiner&nbsp; $\Delta f$&nbsp; ist, um so breiter ist&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-+ $H_0$ beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von ${\it Φ}_y(f)$.
++ $H_0$&nbsp; beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von&nbsp; ${\it Φ}_y(f)$.
-{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite $\Delta f$ gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm  &micro; s$ gilt?
+{Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite&nbsp; $\Delta f$&nbsp; gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer&nbsp;  $\nabla \tau_y = 3 \ \rm  &micro; s$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor $H_0$ wählen, damit die Bedingung $\sigma_y = \sigma_x$ erfüllt wird?
+{Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $H_0$&nbsp; wählen, damit die Bedingung&nbsp; $\sigma_y = \sigma_x$&nbsp; erfüllt wird?
 |type="{}"}
 $H_0 \ =  \ $ { 1.732 3% }