Aufgaben:Exercise 5.2Z: Two-Way Channel - Revision history

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; $H(f)$&nbsp; is the Fourier transform to&nbsp; $h(t)$.
-*Using the shifting theorem, this is&nbsp; $(\tau_1 = 0)$:
+*Using the shifting theorem,&nbsp; this is with &nbsp; $\tau_1 = 0$:
 :$$H(f) = 1 + \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 }  = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
-*If&nbsp; $H(f)$&nbsp; is periodic with&nbsp; $f_0$,&nbsp; then for all integer values of&nbsp; $i$&nbsp; must hold: &nbsp;
+*If&nbsp; $H(f)$&nbsp; is periodic with $f_0$,&nbsp; then for all integer values of&nbsp; $i$&nbsp; must hold: &nbsp;
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$$
 *With&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$&nbsp; this condition is satisfied.
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
@@ Line 82: / Line 81: @@
 :$$\left| {H( f )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha  \cdot \cos ( A )} \right)^2  + \left( {\alpha  \cdot \sin ( A )} \right)^2 .$$
-*Here the angle argument is abbreviated as&nbsp; $A = 2\pi f \tau$.&nbsp; &nbsp; After multiplying out, we get because of&nbsp; $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
+*Here the angle argument is abbreviated as&nbsp; $A = 2\pi f \tau$.&nbsp; &nbsp; After multiplying,&nbsp; we get because of&nbsp; $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
 :$$\left| {H(f)} \right|^2  = 1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( A ).$$
-*At the frequency&nbsp; $f = 0$&nbsp; $($and thus &nbsp; $A = 0)$,&nbsp; the general result or with&nbsp; $\alpha = 0.5$ is:
+*At the frequency $f = 0$&nbsp; $($and thus &nbsp; $A = 0)$,&nbsp; the result with&nbsp; $\alpha = 0.5$&nbsp; is:
 :$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha } \right)^2  = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$$
+'''(3)'''&nbsp; Now the transmission system can be composed of two subsystems&nbsp; (see diagram):
-'''(3)'''&nbsp; Now the transmission system can be composed of two subsystems (see diagram):
+[[File:P_ID551__Sto_Z_5_2_c.png|frame|Splitting the impulse response into two subsystems]]
 *The transfer function&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; is calculated as in subtask&nbsp; '''(2)'''.&nbsp;
@@ Line 97: / Line 95: @@
 :$$H_2 (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _1 } \quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right| = 1\quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right|^2  = 1.$$
-*This means: &nbsp; Due to the additional running time,&nbsp; $\left| {H(f)} \right|^2$&nbsp; is not changed compared to subtask&nbsp; '''(2)'''.&nbsp;
+*This means: &nbsp; Due to the additional delay time,&nbsp; $\left| {H(f)} \right|^2$&nbsp; is not changed compared to subtask&nbsp; '''(2)'''.&nbsp;
-* At the frequency&nbsp; $f = 0$,&nbsp; &nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}$ is still valid.
+* At the frequency $f = 0$:&nbsp; &nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}$&nbsp; is still valid.
-'''(4)'''&nbsp; By comparing the drawn function&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; with the result of subtask&nbsp; '''(2)'''&nbsp; we obtain:
+'''(4)'''&nbsp; By comparing the drawn function&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; with the result of subtask&nbsp; '''(2)''':&nbsp;
 :$$C_0  = 1 + \alpha ^2  \hspace{0.15cm} \underline{= 1.25},
 \hspace{0.5cm}C_3  = \alpha  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5},
@@ Line 109: / Line 106: @@
+'''(5)'''&nbsp; The power-spectral density of the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; is limited to the range of&nbsp; $\pm B$&nbsp; and results in
 :$${\it \Phi}_y(f)  = {N_0}/{2}  \cdot |H(f)|^2  = N_0/{2}  \cdot {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}.$$
-*Taking advantage of symmetry properties, we thus obtain for the power:
+*Taking advantage of symmetry properties,&nbsp; we thus obtain for the power:
 :$$P_y  = N_0  \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$
-*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; is an integer multiple of the frequency period&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($cf. solution to subtask&nbsp; '''1'''$)$.
+*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; is an integer multiple of the frequency period&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($cf. solution to subtask&nbsp; '''1'''$)$.&nbsp; Therefore,&nbsp; the cosine function does not contribute to the integral,&nbsp; and we obtain:
 :$$P_y  = N_0  \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[File:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Two&ndash;way channel impulse response&nbsp; $h(t)$&nbsp; and&nbsp; $h(t) * h( { - t} )$]]
+[[File:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Two&ndash;way channel impulse responses&nbsp; $h(t)$,&nbsp; $h(t) * h( { - t} )$]]
-It is known from a transmission system that the following relationship exists between the input signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; and the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp;:
+From a transmission system it is known  that following relationship exists between the input signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; and the output signal&nbsp; $y(t)$&nbsp;:
 :$$y(t) = x( {t - \tau _1 } ) + \alpha \cdot x( {t - \tau _2 } ).$$
 The corresponding impulse response&nbsp;  $h(t)$&nbsp; is sketched above.
-In the sketch below, the function
+In the sketch below,&nbsp;  the function
 :$$h(t) * h( { - t} )\hspace{0.25cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.25cm}\left| {H(f)} \right|^2$$
-is shown, where the parameters&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; and&nbsp; $\tau_3$&nbsp; depend on&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; and&nbsp; $\tau_2$&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp; see subtask&nbsp; '''(4)'''.
+is shown,&nbsp; where the parameters&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; and&nbsp; $\tau_3$&nbsp; depend on&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; and&nbsp; $\tau_2$&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp; see subtask&nbsp; '''(4)'''.
 Let the input signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; be band-limited white noise
 *with power density&nbsp; $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
-*and the bandwidth&nbsp; $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
+*and bandwidth&nbsp; $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
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 Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastic_System_Theory| Stochastic System Theory]].
-*Always use the value&nbsp; $\alpha = 0.5$ for the numerical calculations.
+*Use always the value&nbsp; $\alpha = 0.5$&nbsp; for numerical calculations.
-*For the subtasks&nbsp; '''(1)'''&nbsp; and&nbsp; '''(2)'''&nbsp; let&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;and&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$ be valid.
+*For the subtasks&nbsp; '''(1)'''&nbsp; and&nbsp; '''(2)''',&nbsp; let&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;and&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; be valid.
-*For later tasks, assume&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;and&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$.
+*For later tasks,&nbsp; assume&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;and&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$.
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 <quiz display=simple>
-{Calculate the frequency response&nbsp; $H(f)$&nbsp; for&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; and $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Show that&nbsp; $H(f)$&nbsp; is a function periodic with&nbsp; $f_0$.&nbsp; &nbsp; What is the magnitude of&nbsp; $f_0$?
+{Calculate the frequency response&nbsp; $H(f)$&nbsp; for&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; and $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Show that&nbsp; $H(f)$&nbsp; is a periodic function with&nbsp; $f_0$.&nbsp; &nbsp; What is the value of $f_0$?
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \rm kHz$
-{What is the size of&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; with&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; and&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Enter the value at&nbsp; $f = 0$.&nbsp;
+{What is the size of&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; with&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; and&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Enter the value at $f = 0$.&nbsp;
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2 \ = \ $ { 2.25 3% }
-{How does&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; change with&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; and&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Let the attenuation constant still be&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Enter the value at&nbsp; $f = 0$.&nbsp;
+{How does&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; change with&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; and&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Let the attenuation constant still be&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Enter the value at $f = 0$.&nbsp;
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2  \ =  \ $ { 2.25 }

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 ''Notes:''
-*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastic_System_Theory Stochastic System Theory]].
+*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastic_System_Theory| Stochastic System Theory]].
 *Always use the value&nbsp; $\alpha = 0.5$ for the numerical calculations.
 *For the subtasks&nbsp; '''(1)'''&nbsp; and&nbsp; '''(2)'''&nbsp; let&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;and&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$ be valid.

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
 *Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert&nbsp; $\alpha = 0.5$.
 *Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte zudem&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; $H(f)$ ist die Fouriertransformierte zu $h(t)$.
+'''(1)'''&nbsp; $H(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte zu&nbsp; $h(t)$.
-*Mit dem Verschiebungssatz lautet diese $(\tau_1 = 0)$:
+*Mit dem Verschiebungssatz lautet diese&nbsp; $(\tau_1 = 0)$:
 :$$H(f) = 1 + \alpha  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _2 }  = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
-*Falls $H(f)$ periodisch mit $f_0$ ist, muss für alle ganzzahligen Werte von $i$ gelten: &nbsp;
+*Falls&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $f_0$&nbsp; ist, muss für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $i$&nbsp; gelten: &nbsp;
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = H( f ).$$
-*Mit $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$ ist diese Bedingung erfüllt.
+*Mit&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2\hspace{0.15cm} \underline{=  0.25 \hspace{0.05cm}\rm kHz}$&nbsp; ist diese Bedingung erfüllt.
 :$$H( {f + i \cdot f_0 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2  + i{\rm{2\pi }}f_0 \tau _2 } ) = 1 + \alpha  \cdot \cos ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ) - {\rm{j}} \cdot \alpha  \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}f\tau _2 } ).$$
@@ Line 84: / Line 85: @@
 :$$\left| {H( f )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha  \cdot \cos ( A )} \right)^2  + \left( {\alpha  \cdot \sin ( A )} \right)^2 .$$
-*Hierbei ist das Winkelargument mit $A = 2\pi f \tau$ abgekürzt. Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
+*Hierbei ist das Winkelargument mit&nbsp; $A = 2\pi f \tau$&nbsp; abgekürzt.&nbsp; Nach Ausmultiplizieren erhält man wegen&nbsp; $\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1$:
 :$$\left| {H(f)} \right|^2  = 1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( A ).$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ (und somit  $A = 0$) ergibt sich allgemein bzw. mit $\alpha = 0.5$:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; $($und somit &nbsp; $A = 0)$&nbsp; ergibt sich allgemein bzw. mit&nbsp; $\alpha = 0.5$:
 :$$\left| {H( {f = 0} )} \right|^2  = \left( {1 + \alpha } \right)^2  = 1.5^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$$
@@ Line 94: / Line 96: @@
 [[File:P_ID551__Sto_Z_5_2_c.png|frame|Aufteilung der Impulsantwort in zwei Teilsysteme]]
-*Die Übertragungsfunktion $H_1(f)$ ist wie in der Teilaufgabe '''(2)''' berechnet.
+*Die Übertragungsfunktion&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; ist wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.
-*Für  $H_2(f)$ gilt mit $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:
+*Für&nbsp;  $H_2(f)$&nbsp; gilt mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.05cm}\rm ms$:
 :$$H_2 (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}f\tau _1 } \quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right| = 1\quad  \Rightarrow \quad \left| {H_2 (f)} \right|^2  = 1.$$
-*Das bedeutet: &nbsp;Durch die zusätzliche Laufzeit wird $\left| {H(f)} \right|^2$ gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht verändert.
+*Das bedeutet: &nbsp; Durch die zusätzliche Laufzeit wird&nbsp; $\left| {H(f)} \right|^2$&nbsp; gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht verändert.
-* Bei der Frequenz $f = 0$ gilt also weiterhin$\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
+* Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt also weiterhin&nbsp; $\left| {H(f = 0)} \right|^2\hspace{0.15cm} \underline{  = 2.25}.$
-'''(4)'''&nbsp; Durch Vergleich der gezeichneten Funktion $h(t) \star  h(-t)$ mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Durch Vergleich der gezeichneten Funktion&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man:
 :$$C_0  = 1 + \alpha ^2  \hspace{0.15cm} \underline{= 1.25},
 \hspace{0.5cm}C_3  = \alpha  \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5},
@@ Line 109: / Line 112: @@
 '''(5)'''&nbsp; Das LDS des Ausgangssignals $y(t)$ ist auf den Bereich von $\pm B$ begrenzt und ergibt sich zu
 :$${\it \Phi}_y(f)  = {N_0}/{2}  \cdot |H(f)|^2  = N_0/{2}  \cdot {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}.$$
@@ Line 115: / Line 119: @@
 :$$P_y  = N_0  \cdot \int_0^B {\left( {1 + \alpha ^2  + 2\alpha  \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f\tau _3 } )} \right)}\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f.$$
-*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$ ist (vgl. Lösung zur Teilaufgabe '''1''').
+*$B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ist ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenzperiode&nbsp; $f_0 = 1/\tau_2=  250 \hspace{0.08cm}\rm Hz$&nbsp; $($vgl. Lösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''1'''$)$.
 *Deshalb trägt die Cosinus-Funktion nicht zum Integral bei, und man erhält:
 :$$P_y  = N_0  \cdot B \cdot \left( {1 + \alpha ^2 } \right) = 1.25 \cdot P_x \hspace{0.15cm} \underline{ = 12.5\;{\rm{mW}}}.$$

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Zweiwegekanal: Impulsantwort $h(t)$ und $h(t) * h( { - t} )$]]
+[[File:P_ID517__Sto_Z_5_2.png|right|frame|Zweiwegekanal&ndash;Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t) * h( { - t} )$]]
-Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und dem  Ausgangssignal $y(t)$ der folgende Zusammenhang besteht:
+Von einem Übertragungssystem ist bekannt, dass zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; der folgende Zusammenhang besteht:
 :$$y(t) = x( {t - \tau _1 } ) + \alpha \cdot x( {t - \tau _2 } ).$$
-Die dazugehörige Impulsantwort  $h(t)$ ist rechts skizziert.
+Die dazugehörige Impulsantwort&nbsp;  $h(t)$&nbsp; ist oben skizziert.
 In der unteren Skizze ist die Funktion
 :$$h(t) * h( { - t} )\hspace{0.25cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.25cm}\left| {H(f)} \right|^2$$
-dargestellt, wobei die Parameter $C_0$, $C_3$ und $\tau_3$ von $\alpha$, $\tau_1$ und $\tau_2$ abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(4)'''.
+dargestellt, wobei die Parameter&nbsp; $C_0$,&nbsp; $C_3$&nbsp; und&nbsp; $\tau_3$&nbsp; von&nbsp; $\alpha$,&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; abhängen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
-Das Eingangssignal $x(t)$ sei bandbegrenztes weißes Rauschen
+Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei bandbegrenztes weißes Rauschen
-*mit der Leistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
+*mit der Leistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$
-*und der Bandbreite $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
+*und der Bandbreite&nbsp; $B = 10 \hspace{0.08cm} \rm kHz$,
-woraus die Leistung  $P_x = 10 \hspace{0.08cm} \rm mW$ berechnet werden kann.
+woraus die Leistung&nbsp;  $P_x = 10 \hspace{0.08cm} \rm mW$&nbsp; berechnet werden kann.
@@ Line 28: / Line 28: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
-*Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert $\alpha = 0.5$.
+*Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen stets den Wert&nbsp; $\alpha = 0.5$.
-*Für die Teilaufgaben '''(1''') und '''(2)''' gelte zudem $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
+*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gelte zudem&nbsp; $\tau_1 = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.
-*Für die späteren Aufgabenteile soll von $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
+*Für die späteren Aufgabenteile soll von&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ &nbsp;und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$ ausgegangen werden.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ für $\tau_1 = 0$ und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$. <br>Zeigen Sie, dass $H(f)$ eine mit $f_0$ periodische Funktion ist. Wie groß ist $f_0$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; für&nbsp; $\tau_1 = 0$&nbsp; und $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Zeigen Sie, dass&nbsp; $H(f)$&nbsp; eine mit&nbsp; $f_0$&nbsp; periodische Funktion ist.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $f_0$?
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist $|H(f)|^2$ mit $\tau_1 = 0$, $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\alpha = 0.5$? <br>Geben Sie den Wert bei $f = 0$ ein.
+{Wie groß ist&nbsp; $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 0$,&nbsp; $\tau_2 = 4\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\alpha = 0.5$?&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2 \ = \ $ { 2.25 3% }
-{Wie verändert sich  $|H(f)|^2$ mit $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$? Die Dämpfungskonstante sei weiterhin $\alpha = 0.5$. Geben Sie den Wert bei $f = 0$ ein.
+{Wie verändert sich&nbsp;  $|H(f)|^2$&nbsp; mit&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$?&nbsp; Die Dämpfungskonstante sei weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$.&nbsp; Geben Sie den Wert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)|^2  \ =  \ $ { 2.25 }
-{Es gelte weiterhin $\alpha = 0.5$, $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$ und $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$. Welche Werte ergeben sich für die Funktionsparameter von $h(t) \star  h(-t)$ gemäß Skizze?
+{Es gelte weiterhin&nbsp; $\alpha = 0.5$,&nbsp; $\tau_1 = 1\hspace{0.08cm}\rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2 = 5\hspace{0.08cm}\rm ms$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Funktionsparameter von&nbsp; $h(t) \star  h(-t)$&nbsp; gemäß der Skizze?
 |type="{}"}
 $C_0 \ =  \ ${ 1.25 3% }
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-{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals $y(t)$?
+{Wie groß ist die Leistung des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $P_y \ =  \ $ { 12.5 3% } $\ \rm mW$