Aufgaben:Exercise 5.4: Walsh Functions (PCCF, PACF) - Revision history

Guenter at 14:31, 13 December 2021

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2020-04-30T15:57:39Z

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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>All solutions</u> are correct:
+'''(1)'''&nbsp; <u>All solutions</u>&nbsp; are correct:
 *The matrix&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$&nbsp; is the upper left submatrix of&nbsp; $ {\mathbf{H}_{8}}$.
-*The spreading sequences result from the rows 2, 3 and 4 of&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$, and agree with the given sequences.
+*The spreading sequences result from the rows 2,&nbsp; 3&nbsp; and 4&nbsp; of&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$,&nbsp; and agree with the given sequences.
+'''(2)'''&nbsp; <u>Solutions 1, 2 and 3</u>&nbsp; are correct:
-'''(2)'''&nbsp; <u>Solutions 1, 2 and 3</u> are correct:
+*According to the equations in the data section,&nbsp; the following holds:
 :$${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = 1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Also, for larger values of&nbsp; $J$,&nbsp; for&nbsp; $i ≠ j$&nbsp; the PCCF value is always&nbsp; $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
+*Also,&nbsp; for larger values of&nbsp; $J$,&nbsp; for&nbsp; $i ≠ j$&nbsp; the PCCF value is always&nbsp; $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
-*It follows: &nbsp; In synchronous CDMA, the subscribers do not interfere with each other.
+*It follows: &nbsp; In synchronous CDMA,&nbsp; the subscribers do not interfere with each other.
-'''(3)'''&nbsp; <u>Solutions 1 and 2</u> are correct:
+'''(3)'''&nbsp; <u>Solutions 1 and 2</u>&nbsp; are correct:
-*For all values of&nbsp; $λ$,&nbsp; the PCCF is&nbsp; $φ_{12}(λ) = 0$, as shown by the following lines:
+*For all values of&nbsp; $λ$,&nbsp; the PCCF is&nbsp; $φ_{12}(λ) = 0$,&nbsp; as shown by the following lines:
 :$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm product\hspace{0.1cm} with \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle  =  {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm product\hspace{0.1cm} with \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 93: / Line 91: @@
 :$$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm product\hspace{0.1cm} with \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
-[[File:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Different PCCF and PACF curves]]
+[[File:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Some PCCF and PACF curves]]
 *The same is true for the PCCF&nbsp; $φ_{13}(λ)$.
-*In contrast, for the PCCF between the sequences&nbsp; $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; and&nbsp; $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ we obtain:
+*In contrast,&nbsp; for the PCCF between the sequences&nbsp; $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; and&nbsp; $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$&nbsp; we obtain:
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ {\rm{for}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-*This means: &nbsp; if the signal from subscriber $3$ is delayed by one spreading chip with respect to subscriber $2$ or vice versa, the subscribers can no longer be separated and there is a significant increase in the error probability.
+*This means: &nbsp; If the signal from subscriber&nbsp; $3$&nbsp; is delayed by one spreading chip with respect to subscriber&nbsp; $2$&nbsp; or vice versa,&nbsp; the subscribers can no longer be separated and there is a significant increase in the error probability.
-*In the diagram, the PKKF curves are drawn in dashed lines&nbsp; (violet and red).
+*In the diagram,&nbsp; the PCCF curves are drawn in dashed lines&nbsp; (violet and red).
-'''(4)'''&nbsp; <u>Statements 1, 2 and 4</u> are correct:
+'''(4)'''&nbsp; <u>Statements 1,&nbsp; 2&nbsp; and 4</u>&nbsp; are correct:
-* Since the Walsh function no.&nbsp; $1$&nbsp; is periodic with&nbsp; $T_0 = 2T_c$, the PACF is also periodic with&nbsp; $λ = 2$.
+* Since the Walsh function no.&nbsp; $1$&nbsp; is periodic with&nbsp; $T_0 = 2T_c$,&nbsp; the PACF is also periodic with&nbsp; $λ = 2$.
-*The second statement is correct, as shown by the following calculation&nbsp; (green curve):
+*The second statement is correct,&nbsp; as shown by the following calculation&nbsp; (green curve):
 :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
-*Since the two Walsh functions no.&nbsp; $2$&nbsp; and&nbsp; $3$&nbsp; differ only by a shift around&nbsp; $T_c$&nbsp; and a phase in the PACF has no effect in principle, in fact, according to the last statement,&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; These two PACF functions are plotted in blue.
+*Since the two Walsh functions no.&nbsp; $2$&nbsp; and&nbsp; $3$&nbsp; differ only by a shift around&nbsp; $T_c$&nbsp; and a phase in the PACF has no effect in principle,&nbsp; in fact,&nbsp; according to the last statement,&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; These two PACF functions are plotted in blue.
 *In contrast,&nbsp; $φ_{22}(λ)$&nbsp; differs from&nbsp; $φ_{11}(λ)$&nbsp; by a different periodicity: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$&nbsp; is twice as wide as&nbsp; $φ_{11}(λ)$.

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 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreading Sequences for CDMA]].
 *Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; in the theory part.
-* We would also like to draw your attention to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Applets:Generation_of_Walsh_functions|Generation of Walsh functions]].&nbsp;
+* We would also like to draw your attention to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Generation_of_Walsh_functions|Generation of Walsh functions]].&nbsp;
 *The abscissa is normalized to the chip duration &nbsp;$T_c$.&nbsp; This means that &nbsp;$λ = 1$&nbsp; actually describes a shift by the delay time &nbsp;$τ = T_c$.&nbsp;

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 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreading Sequences for CDMA]].
 *Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; in the theory part.
-* We would also like to draw your attention to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Generating Walsh functions]].&nbsp;
+* We would also like to draw your attention to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Applets:Generation_of_Walsh_functions|Generation of Walsh functions]].&nbsp;
 *The abscissa is normalized to the chip duration &nbsp;$T_c$.&nbsp; This means that &nbsp;$λ = 1$&nbsp; actually describes a shift by the delay time &nbsp;$τ = T_c$.&nbsp;

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 [[File:P_ID1889__Mod_A_5_4.png|right|frame|Hadamard matrix &nbsp;${\mathbf{H}_{8}}$]]
-So-called &nbsp;''Walsh functions'', which can be constructed by means of the Hadamard matrix, are often used for band spreading and band compression. Starting from the matrix
+The so-called &nbsp;"Walsh functions",&nbsp; which can be constructed by means of the Hadamard matrix,&nbsp; are often used for band spreading and band compression.&nbsp; Starting from the matrix
 :$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$
-he further Hadamard matrices &nbsp;$ {\mathbf{H}_{4}}$, &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$, etc. can be derived by the following recursion:
+the further Hadamard matrices &nbsp;$ {\mathbf{H}_{4}}$, &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$,&nbsp; etc. can be derived by the following recursion:
 :$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$
 The diagram shows the matrix &nbsp;$ {\mathbf{H}_{8}}$&nbsp; for the spreading factor &nbsp;$J = 8$.&nbsp; From this we can derive the spreading sequences
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 for seven CDMA subscribers.&nbsp; The spreading sequence &nbsp;$ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$&nbsp; corresponding to the first row in the Hadamard matrix is usually not assigned because it does not spread.
-The questions mostly refer to the spreading factor &nbsp;$J = 4$.&nbsp; Thus, correspondingly, a maximum of three CDMA subscribers can be supplied with the spreading sequences &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; and &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$,&nbsp; which result from the second, third and fourth rows of the matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$.
+The questions mostly refer to the spreading factor &nbsp;$J = 4$.&nbsp; Thus,&nbsp; correspondingly,&nbsp; a maximum of three CDMA subscribers can be supplied with the spreading sequences &nbsp;$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, &nbsp;$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; and &nbsp;$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$,&nbsp; which result from the second, third and fourth rows of the matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$.
-Regarding the correlation functions, the following nomenclature shall apply in this task:
+Regarding the correlation functions, the following nomenclature shall apply in this exercise:
-* The &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Periodic_ACF_and_CCF|periodic cross-correlation function]]&nbsp; (PCCF) between the sequences &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; and &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; is denoted by &nbsp;$φ_{ij}(λ)$.&nbsp;&nbsp; Here:
+* The &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Periodic_ACF_and_CCF|periodic cross-correlation function]]&nbsp; $\rm (PCCF)$&nbsp; between the sequences &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; and &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; is denoted by &nbsp;$φ_{ij}(λ)$.&nbsp;&nbsp; Here:
 :$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-* If &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($that is: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; for all values of &nbsp;$λ)$, the CDMA subscribers do not interfere with each other, even if they have different propagation times.
+* If &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($that is: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; for all values of &nbsp;$λ)$,&nbsp; the CDMA subscribers do not interfere with each other,&nbsp; even if they have different propagation times.
-* If at least &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$ applies, then no interference occurs, at least in synchronous CDMA operation&nbsp; $($no or equal propagation times of all subscribers$).$&nbsp;
+* If at least &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$&nbsp; applies,&nbsp; then no interference occurs,&nbsp; at least in synchronous CDMA operation&nbsp; $($no or equal propagation times of all subscribers$).$&nbsp;
-* The &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Periodic_ACF_and_CCF|periodic auto-correlation function]]&nbsp; (PACF) of the Walsh function &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; is denoted by &nbsp;$φ_{ii}(λ)$,&nbsp; and it holds:
+* The &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Periodic_ACF_and_CCF|periodic auto-correlation function]]&nbsp; $\rm (PACF)$&nbsp; of the Walsh function &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; is denoted by &nbsp;$φ_{ii}(λ)$,&nbsp; and it holds:
 :$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreading Sequences for CDMA]].
 *Reference is made in particular to the section&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA#Walsh_functions|Walsh functions]]&nbsp; in the theory part.
 * We would also like to draw your attention to the interactive applet&nbsp; [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Generating Walsh functions]].&nbsp;
 *The abscissa is normalized to the chip duration &nbsp;$T_c$.&nbsp; This means that &nbsp;$λ = 1$&nbsp; actually describes a shift by the delay time &nbsp;$τ = T_c$.&nbsp;
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 + For $J = 4$,&nbsp; &nbsp;$φ_{23}(λ = 0) = 0$.
 - For $J = 8$,&nbsp; &nbsp;$φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$&nbsp; may well hold &nbsp;$(i ≠ j)$.
-+ In synchronous CDMA, the subscribers do not interfere with each other.
++ In synchronous CDMA,&nbsp; the subscribers do not interfere with each other.
 {Which statements are true for the PCCF values with &nbsp;$λ ≠ 0$?
@@ Line 63: / Line 57: @@
 + For all values of &nbsp;$λ$,&nbsp; the PCCF is &nbsp;$φ_{13}(λ) = 0$.
 - For all values of &nbsp;$λ$,&nbsp; the PCCF is &nbsp;$φ_{23}(λ) = 0$.
-- In asynchronous CDMA, the subscribers do not interfere with each other.
+- In asynchronous CDMA,&nbsp; the subscribers do not interfere with each other.
 {Which statements are true for the PACF curves?
 |type="[]"}
-+ All &nbsp;$φ_{ii}(λ)$ curves are periodic.
++ All&nbsp; &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; curves are periodic.
-+ &nbsp;$φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$&nbsp; and &nbsp;$φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$ hold.
++ &nbsp;$φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$&nbsp; and &nbsp;$φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$&nbsp; hold.
-- &nbsp;$φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$ holds.
+- &nbsp;$φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$&nbsp; holds.
-+ &nbsp;$φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$ holds.
++ &nbsp;$φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$&nbsp; holds.
 </quiz>

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−	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.3 ~~Spreizfolgen für~~ CDMA^]]	+	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.3 Spread Sequences for CDMA^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Modulationsverfahren~~\|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]	+	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]

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 Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:
-* Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; (PKKF) zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Hierbei gilt:
+* Die &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische Kreuzkorrelationsfunktion]]&nbsp; (PKKF) zwischen den Folgen &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; und &nbsp;$ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ij}(λ)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Hierbei gilt:
 :$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 * Ist &nbsp;$φ_{ij} \equiv 0$&nbsp; $($das heißt: &nbsp;$φ_{ij}(λ) = 0$&nbsp; für alle Werte von &nbsp;$λ)$, so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn diese unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
 * Gilt zumindest &nbsp;$φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb&nbsp; $($keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer$)$&nbsp; zu keinen Interferenzen.
-* Die  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische  Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (PAKF) der Walsh–Funktion &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; bezeichnet, und es gilt:
+* Die  &nbsp;[[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA#Periodische_AKF_und_KKF|periodische  Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (PAKF) der Walsh–Funktion &nbsp;$ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$&nbsp; wird mit &nbsp;$φ_{ii}(λ)$&nbsp; bezeichnet, und es gilt:
 :$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA#Walsh.E2.80.93Funktionen |Walsh&ndash;Funktionen]]&nbsp; im Theorieteil.
 * Wir möchten Sie gerne auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Erzeugung_von_Walsh-Funktionen_(neues_Applet)|Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen]]&nbsp; hinweisen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Vorschläge</u> sind richtig:
-*Die Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ist die linke obere Teilmatrix von $ {\mathbf{H}_{8}}$.
+*Die Matrix&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$&nbsp; ist die linke obere Teilmatrix von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{8}}$.
-*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
+*Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von&nbsp; $ {\mathbf{H}_{4}}$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein.
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 :$${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = 1/4\cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) =1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$
-*Auch für größere Werte von $J$ ist für $i ≠ j$ der PKKF–Wert stets $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
+*Auch für größere Werte von&nbsp; $J$&nbsp; ist für&nbsp; $i ≠ j$&nbsp; der PKKF–Wert stets&nbsp; $φ_{ij}(λ = 0)= 0$.
 *Daraus folgt: &nbsp; Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
+*Für alle Werte von&nbsp; $λ$&nbsp; ist die PKKF&nbsp; $φ_{12}(λ) = 0$, wie die folgenden Zeilen zeigen:
 :$$\langle w_\nu^{(1)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle  =  {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
@@ Line 99: / Line 100: @@
 :$$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle  =  {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$
 [[File:P_ID1890__Mod_A_5_4c.png|right|frame|Verschiedene PKKF&ndash; und PAKF&ndash;Kurven]]
-*Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$.
+*Das gleiche gilt für die PKKF&nbsp; $φ_{13}(λ)$.
-*Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
+*Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen&nbsp; $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$&nbsp; und&nbsp; $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$:
 :$${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
+*Das bedeutet: &nbsp; Wird das Signal von Teilnehmer $3$ gegenüber Teilnehmer $2$ um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
-*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).
+*In der Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet&nbsp; (violett und rot).
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
-* Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit $λ = 2$.
+* Da die Walsh–Funktion Nr.&nbsp; $1$&nbsp; periodisch ist mit&nbsp; $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit&nbsp; $λ = 2$.
-*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug):
+*Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt&nbsp; (grüner Kurvenzug):
-:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = +1\hspace{0.05cm},$$
+:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \big ] = +1\hspace{0.05cm},$$
-:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1)  =  1/4 \cdot \big [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \big ] = -1\hspace{0.05cm}.$$
-*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
+*Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr.&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $3$&nbsp; nur durch eine Verschiebung um&nbsp; $T_c$&nbsp; unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag&nbsp; $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.&nbsp; Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.
-*Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.
+*Dagegen unterscheidet sich&nbsp; $φ_{22}(λ)$&nbsp; von&nbsp; $φ_{11}(λ)$&nbsp; durch eine andere Periodizität: &nbsp; $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$&nbsp; ist doppelt so breit wie&nbsp; $φ_{11}(λ)$.
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