Aufgaben:Exercise 5.6: OFDM Spectrum - Revision history

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	[[de:Aufgaben:5.~~6_OFDM–Spektrum~~]]		[[de:Aufgaben:Aufgabe 5.6: OFDM–Spektrum]]

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			[[de:Aufgaben:5.6_OFDM–Spektrum]]

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	[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.5 ~~Allgemeine Beschreibung von~~ OFDM^]]		[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.5 General Description of OFDM^]]

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	[[Category:~~Aufgaben zu Modulationsverfahren~~\|^5.5 Allgemeine Beschreibung von OFDM^]]		[[Category:Modulation Methods: Exercises\|^5.5 Allgemeine Beschreibung von OFDM^]]

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[~~Modulationsverfahren~~/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
	:     [[~~Modulationsverfahren~~/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich\|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]],		:     [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich\|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]],
	:     [[~~Modulationsverfahren~~/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls\|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].		:     [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls\|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].

Guenter at 12:57, 5 May 2020

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Line 22:		Line 22:


			Notes:



	''Notes:''
	*The exercise belongs to the chapter  [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|General Description of OFDM]].		*The exercise belongs to the chapter  [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|General Description of OFDM]].
	*Reference is made in particular to the pages		*Reference is made in particular to the pages
Line 74:		Line 70:
	===Solution===		===Solution===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  The transmitted signal  $s(t)$  is a complex ~~exponential~~ oscillation with only one frequency.		'''(1)'''  The transmitted signal  $s(t)$  is a complex oscillation with only one frequency.
	*The amplitude  $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm V}$  can be taken directly from the diagram.		*The amplitude  $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm V}$  can be taken directly from the diagram.



	'''(2)'''  Furthermore, the symbol duration  $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm ms}$ can be seen from the diagram.		'''(2)'''  Furthermore, the symbol duration  $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm ms}$  can be seen from the diagram.
	*From this the basic frequency results to  $f_0 = 1/T = 5\ \rm kHz$.		*From this the basic frequency results to  $f_0 = 1/T = 5\ \rm kHz$.



	'''(3)'''  In the example shown, there is only one frequency, namely  $3 · f_0$.		'''(3)'''  In the example shown,  there is only one frequency,  namely  $3 · f_0$.
	*From this follows  $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$  and for the range  $0 ≤ t < T$:		*From this follows  $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$  and for the range  $0 ≤ t < T$:
	:$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$		:$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
	*Comparison with the sketch  $($real part:   minus cosine, imaginary part:   minus sine$)$  gives the following result:		*Comparison with the sketch  $($real part:   minus cosine,   imaginary part:   minus sine$)$  gives the following result:
	:$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$		:$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$


	'''(4)'''  The <u>second solution</u> is correct:		'''(4)'''  The  <u>second solution</u>  is correct:
	* The magnitude function is:   $ \|s(t)\| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$		* The magnitude function is:   $ \|s(t)\| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
	*However, this equation is valid only in the range of symbol duration  $T$.		*However,  this equation is valid only in the range of symbol duration  $T$.
	*This means:   ~~the~~ OFDM principle works only with a time limit on  $T$.		*This means:   The OFDM principle works only with a time limit on  $T$.



	'''(5)'''  In general, for the OFDM spectrum:		'''(5)'''  In general,  for the OFDM spectrum:
	:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(~~\pi \cdot~~ T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$		:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{sinc}}(T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
	*The  $\rm si$ function results from the time limit on  $T$, and the last term in the sum results from the displacement law.		*The  $\rm sinc$ function results from the time limit on  $T$,  and the last term in the sum results from the displacement law.
	*By the zero crossings of the  $\rm si$ function at the distance  $f_0$  as well as  $\rm si(0) = 1$  one obtains		*By the zero crossings of the  $\rm sinc$ function at the distance  $f_0$  as well as  $\rm sinc(0) = 1$  one obtains
	:$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$		:$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
	*With  $s_0 = 5 \ \rm V$  and  $T = 0.2 \ \rm ms$   ⇒   $s_0 · T = 1\ \rm mV/Hz$ ~~ ~~   it further holds:		*With  $s_0 = 5 \ \rm V$  and  $T = 0.2 \ \rm ms$   ⇒   $s_0 · T = 1\ \rm mV/Hz$  it further holds:
	:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$		:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
	:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$		:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$

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Line 4:		Line 4:

	[[File:P_ID1659__A_5_6.png\|right\|frame\|Real and imaginary part of the OFDM signal]]		[[File:P_ID1659__A_5_6.png\|right\|frame\|Real and imaginary part of the OFDM signal]]
	In this ~~task~~, we consider an OFDM system with  $N = 4$  carriers.		In this Exercise,  we consider an OFDM system with  $N = 4$  carriers.
	*For simplicity, we restrict ourselves to a single time interval $T$.		*For simplicity,  we restrict ourselves to a single time interval  $T$.
	*The frame duration is also  $T_{\rm R} = T.$		*The frame duration is also  $T_{\rm R} = T.$
	*Accordingly, a guard interval is not used.		*Accordingly,  a guard interval is not used.


	With the summary of pulse shaping and modulation by the function		With the summary of pulse shaping and modulation by the function
	:$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.$$		:$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.$$
	the (complex) OFDM ~~transmit~~ signal in the considered time interval  $(0 ≤ t < T)$  results to:		the  (complex)  OFDM transmitted signal in the considered time interval  $(0 ≤ t < T)$  results to:
	:$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$		:$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$
	All carrier coefficients  $a_0$,  $a_1$,  $a_2$  and  $a_3$  are either $0$ or $\pm 1$.		All carrier coefficients  $a_0$,  $a_1$,  $a_2$  and  $a_3$  are either  $0$  or  $\pm 1$.

	The diagram shows the real and imaginary parts of the transmitted signal  $s(t)$  for a given combination of  $a_0$, ... , $a_3$, <br>which is to be determined in subtask  '''(3)'''.		The diagram shows the real and imaginary parts of the transmitted signal  $s(t)$  for a given combination of  $a_0$, ... , $a_3$, <br>which is to be determined in subtask  '''(3)'''.
Line 29:		Line 29:
	*The exercise belongs to the chapter  [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|General Description of OFDM]].		*The exercise belongs to the chapter  [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM\|General Description of OFDM]].
	*Reference is made in particular to the pages		*Reference is made in particular to the pages
	:     [[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#The_principle_of_OFDM_-_system_consideration_in_the_time_domain\|OFDM - ~~system~~ consideration in the time domain]],		:     [[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#The_principle_of_OFDM_-_system_consideration_in_the_time_domain\|OFDM - System consideration in the time domain]],
	:     [[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#System_consideration_in_the_frequency_domain_with_causal_basic_pulse\|OFDM-System consideration in the frequency domain with causal basic pulse]].		:     [[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#System_consideration_in_the_frequency_domain_with_causal_basic_pulse\|OFDM - System consideration in the frequency domain with causal basic pulse]].


Line 59:		Line 59:
	- $\|s(t)\|$  has a sinusoidal shape.		- $\|s(t)\|$  has a sinusoidal shape.

	{Now let  $a_0 = 0$,  $a_1 = +1$,  $a_2 = -1$~~  and~~  $a_3 = +1$.  Calculate the spectrum  $S(f)$.  Which values result for the mentioned frequencies?		{Now let  $a_0 = 0$,  $a_1 = +1$,  $a_2 = -1$,  $a_3 = +1$.  Calculate the spectrum  $S(f)$.  <br>Which values result for the mentioned frequencies?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$		$S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$

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Line 74:		Line 74:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Sendesignal $s(t)$ ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz. Die Amplitude $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm V}$ kann direkt der Grafik entnommen werden.		'''(1)'''  Das Sendesignal  $s(t)$  ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz.
			*Die Amplitude  $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm V}$  kann direkt der Grafik entnommen werden.



	'''(2)'''  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm ms}$. Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu $f_0 = 1/T = 5\ \rm kHz$.		'''(2)'''  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer  $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm ms}$.
			*Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu  $f_0 = 1/T = 5\ \rm kHz$.



	'''(3)'''  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz, nämlich  $3 · f_0$.		'''(3)'''  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz, nämlich  $3 · f_0$.
	*Daraus folgt $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ sowie für den Bereich $0 ≤ t < T$:		*Daraus folgt  $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$  sowie für den Bereich  $0 ≤ t < T$:
	:$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$		:$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
	*Der Vergleich mit der Skizze (Realteil:   Minus–Cosinus, Imaginärteil:   Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: :$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$		*Der Vergleich mit der Skizze  $($Realteil:   Minus–Cosinus, Imaginärteil:   Minus–Sinus$)$  liefert das folgende Ergebnis:
			:$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$


	'''(4)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(4)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	* Die Betragsfunktion lautet:   $ \|s(t)\| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$		* Die Betragsfunktion lautet:   $ \|s(t)\| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
	*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$.		*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer  $T$.
	*Das bedeutet:   Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf $T$.		*Das bedeutet:   Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf  $T$.



	'''(5)'''  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:		'''(5)'''  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:
	:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$		:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
	*Die $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.		*Die  $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf  $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
	*Durch die Nulldurchgänge der ~~si–Funktion~~ im Abstand $f_0$ sowie $\rm si(0) = 1$ erhält man		*Durch die Nulldurchgänge der  $\rm si$–Funktion im Abstand  $f_0$  sowie  $\rm si(0) = 1$  erhält man
	:$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$		:$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
	*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$   ⇒   $s_0 · T = 1\ \rm mV/Hz$     gilt weiter:		*Mit  $s_0 = 5 \ \rm V$  und  $T = 0.2 \ \rm ms$   ⇒   $s_0 · T = 1\ \rm mV/Hz$     gilt weiter:
	:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$		:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
	:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$		:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
	:$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$		:$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
	:$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$		:$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$


	'''(6)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:		'''(6)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
	* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe '''(5)''' gezeigt.		* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe  '''(5)'''  gezeigt.
	*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer $T$.		*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer  $T$.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}