Aufgaben:Exercise 5.6: OFDM Spectrum - Revision history

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 Notes:
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|General Description of OFDM]].
 *Reference is made in particular to the pages&nbsp;
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 ===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  The transmitted signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; is a complex exponential oscillation with only one frequency.
+'''(1)'''&nbsp;  The transmitted signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; is a complex oscillation with only one frequency.
 *The amplitude&nbsp; $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm  V}$&nbsp; can be taken directly from the diagram.
-'''(2)'''&nbsp;  Furthermore, the symbol duration&nbsp; $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$ can be seen from the diagram.
+'''(2)'''&nbsp;  Furthermore, the symbol duration&nbsp; $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$&nbsp; can be seen from the diagram.
 *From this the basic frequency results to&nbsp; $f_0 = 1/T = 5\ \rm   kHz$.
-'''(3)'''&nbsp;  In the example shown, there is only one frequency, namely  &nbsp;$3 · f_0$.
+'''(3)'''&nbsp;  In the example shown,&nbsp; there is only one frequency,&nbsp; namely  &nbsp;$3 · f_0$.
 *From this follows&nbsp; $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$&nbsp; and for the range&nbsp; $0 ≤ t < T$:
 :$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
-*Comparison with the sketch&nbsp; $($real part: &nbsp; minus cosine, imaginary part: &nbsp; minus sine$)$&nbsp; gives the following result:
+*Comparison with the sketch&nbsp; $($real part: &nbsp; minus cosine, &nbsp; imaginary part: &nbsp; minus sine$)$&nbsp; gives the following result:
 :$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
-'''(4)'''&nbsp;   The <u>second solution</u> is correct:
+'''(4)'''&nbsp;   The&nbsp; <u>second solution</u>&nbsp; is correct:
 * The magnitude function is:  &nbsp; $ |s(t)| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
-*However, this equation is valid only in the range of symbol duration&nbsp; $T$.
+*However,&nbsp; this equation is valid only in the range of symbol duration&nbsp; $T$.
-*This means: &nbsp; the OFDM principle works only with a time limit on&nbsp; $T$.
+*This means: &nbsp; The OFDM principle works only with a time limit on&nbsp; $T$.
-'''(5)'''&nbsp;  In general, for the OFDM spectrum:
+'''(5)'''&nbsp;  In general,&nbsp; for the OFDM spectrum:
-:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
+:$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{sinc}}(T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
-*The&nbsp; $\rm si$ function results from the time limit on&nbsp; $T$, and the last term in the sum results from the displacement law.
+*The&nbsp; $\rm sinc$ function results from the time limit on&nbsp; $T$,&nbsp; and the last term in the sum results from the displacement law.
-*By the zero crossings of the&nbsp; $\rm si$ function at the distance&nbsp; $f_0$&nbsp; as well as&nbsp; $\rm si(0) = 1$&nbsp; one obtains
+*By the zero crossings of the&nbsp; $\rm sinc$ function at the distance&nbsp; $f_0$&nbsp; as well as&nbsp; $\rm sinc(0) = 1$&nbsp; one obtains
 :$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
-*With&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; and&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; it further holds:
+*With&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; and&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$&nbsp; it further holds:
 :$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
 :$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$

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 [[File:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real and imaginary part of the OFDM signal]]
-In this task, we consider an OFDM system with &nbsp;$N = 4$&nbsp; carriers.
+In this Exercise,&nbsp; we consider an OFDM system with &nbsp;$N = 4$&nbsp; carriers.
-*For simplicity, we restrict ourselves to a single time interval $T$.&nbsp;
+*For simplicity,&nbsp; we restrict ourselves to a single time interval&nbsp; $T$.&nbsp;
 *The frame duration is also &nbsp;$T_{\rm R} = T.$
-*Accordingly, a guard interval is not used.
+*Accordingly,&nbsp; a guard interval is not used.
 With the summary of pulse shaping and modulation by the function
 :$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.$$
-the (complex) OFDM transmit signal in the considered time interval &nbsp;$(0 ≤ t < T)$&nbsp; results to:
+the&nbsp; (complex)&nbsp; OFDM transmitted signal in the considered time interval &nbsp;$(0 ≤ t < T)$&nbsp; results to:
 :$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$
-All carrier coefficients &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; and &nbsp;$a_3$&nbsp; are either $0$ or $\pm 1$.
+All carrier coefficients &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; and &nbsp;$a_3$&nbsp; are either&nbsp; $0$&nbsp; or&nbsp; $\pm 1$.
 The diagram shows the real and imaginary parts of the transmitted signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; for a given combination of&nbsp; $a_0$, ... , $a_3$, <br>which is to be determined in subtask&nbsp; '''(3)'''.&nbsp;
@@ Line 29: / Line 29: @@
 *The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|General Description of OFDM]].
 *Reference is made in particular to the pages&nbsp;
-:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#The_principle_of_OFDM_-_system_consideration_in_the_time_domain|OFDM - system consideration in the time domain]],
+:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#The_principle_of_OFDM_-_system_consideration_in_the_time_domain|OFDM - System consideration in the time domain]],
-:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#System_consideration_in_the_frequency_domain_with_causal_basic_pulse|OFDM-System consideration in the frequency domain with causal basic pulse]].
+:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/General_Description_of_OFDM#System_consideration_in_the_frequency_domain_with_causal_basic_pulse|OFDM - System consideration in the frequency domain with causal basic pulse]].
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 - $|s(t)|$&nbsp; has a sinusoidal shape.
-{Now let &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; and &nbsp;$a_3 = +1$.&nbsp; Calculate the spectrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Which values result for the mentioned frequencies?
+{Now let &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$,&nbsp; $a_3 = +1$.&nbsp; Calculate the spectrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; <br>Which values result for the mentioned frequencies?
 |type="{}"}
 $S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]],
+:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]],
-:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].
+:&nbsp; &nbsp; &nbsp;[[Modulation_Methods/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal $s(t)$ ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz. Die Amplitude $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm  V}$ kann direkt der Grafik entnommen werden.
+'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz.
-'''(2)'''&nbsp;  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$. Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu $f_0 = 1/T = 5\ \rm   kHz$.
+'''(2)'''&nbsp;  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer&nbsp; $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$.
 '''(3)'''&nbsp;  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz, nämlich  &nbsp;$3 · f_0$.
-*Daraus folgt $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ sowie für den Bereich $0 ≤ t < T$:
+*Daraus folgt&nbsp; $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$&nbsp; sowie für den Bereich&nbsp; $0 ≤ t < T$:
 :$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
-*Der Vergleich mit der Skizze (Realteil: &nbsp; Minus–Cosinus, Imaginärteil: &nbsp; Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: :$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
+*Der Vergleich mit der Skizze&nbsp; $($Realteil: &nbsp; Minus–Cosinus, Imaginärteil: &nbsp; Minus–Sinus$)$&nbsp; liefert das folgende Ergebnis:
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 * Die Betragsfunktion lautet: &nbsp; $ |s(t)| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
-*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$.
+*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer&nbsp; $T$.
-*Das bedeutet: &nbsp; Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf $T$.
+*Das bedeutet: &nbsp; Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$.
 '''(5)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:
 :$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
-*Die $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
+*Die&nbsp; $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf&nbsp; $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
-*Durch die Nulldurchgänge der si–Funktion im Abstand $f_0$ sowie $\rm si(0) = 1$ erhält man
+*Durch die Nulldurchgänge der&nbsp; $\rm si$–Funktion im Abstand&nbsp; $f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $\rm si(0) = 1$&nbsp; erhält man
 :$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
-*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
+*Mit&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
 :$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
 :$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
 :$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
 :$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$
 '''(6)'''&nbsp;  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe '''(5)''' gezeigt.
+* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; gezeigt.
-*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer $T$.
+*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer&nbsp; $T$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 4: / Line 4: @@
 [[File:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real&ndash; und Imaginärteil des OFDM&ndash;Signals]]
-Wir betrachten hier ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$&nbsp; und gehen auch von der Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R} = T$&nbsp; aus. Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern.
 Mit der Zusammenfassung von Impulsformung und Modulation durch die gemeinsame Funktion
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 Alle Trägerkoeffizienten &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; und &nbsp;$a_3$&nbsp; sind entweder $0$ oder $\pm 1$.
-Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals $s(t)$ für eine gegebene Kombination von $a_0$, ... , $a_3$, die in der Teilaufgabe '''(3)''' ermittelt werden soll.
+Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; für eine gegebene Kombination von&nbsp; $a_0$, ... , $a_3$, <br>die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ermittelt werden soll.
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 |type="[]"}
 - $|s(t)|$&nbsp; ist konstant ohne Begrenzung.
-+ $|s(t)|$&nbsp; ist konstant innerhalb von der Symboldauer &nbsp;$T$.
++ $|s(t)|$&nbsp; ist konstant innerhalb der Symboldauer &nbsp;$T$.
 - $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen cosinusförmigen Verlauf.
 - $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen sinusförmigen Verlauf.
-{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$. Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.
+{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$.&nbsp; Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die genannten Frequenzen?
 |type="{}"}
 $S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$
@@ Line 60: / Line 66: @@
 $S(f = 15 \ \rm kHz) \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm mV/Hz$
-{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(5)'''. Welche Aussagen treffen zu?
+{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + OFDM erfüllt das erste Nyquist–Kriterium im Zeitbereich.