Aufgaben:Exercise 5.6Z: Gilbert-Elliott Model - Revision history

Hwang at 02:54, 19 September 2022

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Hwang at 02:48, 19 September 2022

2022-09-19T02:48:33Z

Guenter at 15:08, 9 September 2022

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Guenter at 13:48, 26 March 2019

2019-03-26T13:48:10Z

@@ Line 133: / Line 133: @@
-'''(6)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe '''(3)''' gilt:
+'''(6)'''&nbsp; According to subtask '''(3)''' holds:
 :$$p_{\rm M} = {10}/{11} \cdot p_{\rm G} + {1}/{11} \cdot
 p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand "G") die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
+*With given $p_{\rm B} = 0.1$, even for $p_{\rm G} = 0$ (no error in state "G"), the average error probability is $p_{\rm M} \approx 0.009$.
-*Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:
+*In contrast, with fixed $p_{\rm G} = 0.001$ the value $p_{\rm M} = 0.005$ is achievable:
 :$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \le 0.055 - 0.1
 = 4.5\%\hspace{0.05cm}.$$
-*Weiterhin kann die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (mit vorgegebenem $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$) auch wie folgt dargestellt werden:
+*Furthermore, the mean error probability (with given $p_{\rm G}$ and $p_{\rm B}$) can also be represented as follows:
 :$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm
@@ Line 154: / Line 154: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ bzw. mit $\rm Pr(G|B) = 0.1$ erhält man folgende Gleichungen:
+*With $\rm Pr(B|G) = 0.01$ and with $\rm Pr(G|B) = 0.1$, respectively, the following equations are obtained:
 :$${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) =
 .01\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm} {\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \
@@ Line 167: / Line 167: @@
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) }\hspace{0.05cm}.$$
-*Aus der letzten Gleichung ist zu erkennen, dass mit keinem $\rm Pr(G|B)$&ndash;Wert das Ergebnis $p_{\rm M} = 0.005$ möglich ist.
+*From the last equation it can be seen that with no $\rm Pr(G|B)$ value the result $p_{\rm M} = 0.005$ is possible.
-*Dagegen lässt sich durch ein kleineres $\rm Pr(B|G)$ die Bedingung erfüllen:
+*On the other hand, with a smaller $\rm Pr(B|G)$ the condition can be fulfilled:
 :$$0.005 = \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm
@@ Line 175: / Line 175: @@
 \frac{0.0004}{0.095} \approx 0.0042\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
+*<u>Solutions 2 and 4</u> are therefore correct.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^5.3 Burst Error Channels^]]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle}}
+{{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels}}
-[[File:P_ID1843__Dig_Z_5_6.png|right|frame|Vorgegebenes Gilbert&ndash;Elliott–Modell]]
+[[File:P_ID1843__Dig_Z_5_6.png|right|frame|Given Gilbert&ndash;Elliott model]]
-Wir betrachten das <i>Bündelfehler&ndash;Kanalmodell</i>&nbsp; nach &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E.N. Gilbert]&nbsp; und E.O. Elliott (siehe Skizze). Für die Übergangswahrscheinlichkeiten soll dabei gelten:
+We consider the <i>burst error channel model</i>&nbsp; according to &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert "E.N. Gilbert"]&nbsp; and E.O. Elliott (see sketch). For the transition probabilities let hold:
 :$${\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)=  0.1, \hspace{0.2cm} {\rm
 Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "GOOD" betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand "BAD" gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
+The error probability in the state "GOOD" is&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. For the state "BAD" is&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
-Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:
+In the course of this exercise, further parameters are to be determined:
-* die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$,
+* the average error probability&nbsp; $p_{\rm M}$,
-* die Zustandswahrscheinlichkeiten&nbsp; $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$&nbsp; und&nbsp; $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
+* the state probabilities&nbsp; $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$&nbsp; and&nbsp; $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
-* die Werte der Korrelationsfunktion, die für&nbsp; $k > 0$&nbsp; analytisch wie folgt gegeben ist:
+* the values of the correlation function, which for&nbsp; $k > 0$&nbsp; is given analytically as follows:
 :$$\varphi_{e}(k) = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} -
 p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot
@@ Line 25: / Line 25: @@
-''Hinweise:''
+''Notes:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
+* The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels| "Burst Error Channels"]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch "Stochastische Signaltheorie" und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch "Kanalcodierung".
+*However, reference is also made to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markov_Chains| "Markov chains"]]&nbsp; in the book "Theory of Stochastic Signals" and in particular to the section&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels#Error_correlation_function_of_the_Gilbert-Elliott_model|"Error correlation function of the Gilbert-Elliott model"]]&nbsp; in the book "Channel Coding".
@@ Line 33: / Line 33: @@
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten?
+{What are the following transition probabilities?
 |type="{}"}
 $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) \ = \ ${ 0.99 3% }
 $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand "GOOD" &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand "BAD" &nbsp;$(w_{\rm B})$?
+{With what probabilities is the GE model in the state "GOOD" &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; or in the state "BAD" &nbsp;$(w_{\rm B})$?
 |type="{}"}
 $w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% }
 $w_{\rm B} \ = \ $ { 0.091 3% }
-{Berechnen Sie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$.
+{Calculate the mean error probability&nbsp; $p_{\rm M}$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm M} \ = \ $ { 1 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die folgenden FKF&ndash;Werte:
+{Calculate the following ECF values:
 |type="{}"}
 $\varphi_e(k = 1) \hspace{0.35cm}  = \ ${ 8.209 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
@@ Line 56: / Line 56: @@
 $\varphi_e(k = 50) \ = \ ${ 1.024 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Wie groß ist der FKF&ndash;Wert&nbsp; $\varphi_e(k = 0)$?
+{What is the size of the ECF value&nbsp; $\varphi_e(k = 0)$?
 |type="{}"}
 $\varphi_e(k = 0) \ = \ ${ 1 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
-{Lässt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = 0.005$&nbsp; erreichen durch
+{Can the mean error probability&nbsp; $p_{\rm M} = 0.005$&nbsp; be achieved by
 |type="[]"}
-- alleinige Änderung von&nbsp; $p_{\rm G}$,
+- sole change of&nbsp; $p_{\rm G}$,
-+ alleinige Änderung von&nbsp; $p_{\rm B}$,
++ sole change of&nbsp; $p_{\rm B}$,
-- alleinige Änderung von&nbsp; $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$,
+- sole change of&nbsp; $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$,
-+ alleinige Änderung von&nbsp; $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$?
++ sole change of&nbsp; $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$?
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) = 1 \, &ndash;Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) \ \underline {= 0.99}$ sowie $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 \, &ndash;Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \ \underline {= 0.9}$.
+'''(1)'''&nbsp; $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) = 1 \, &ndash;Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) \ \underline {= 0.99}$ and $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 \, &ndash;Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \ \underline {= 0.9}$ are valid.
-'''(2)'''&nbsp; Das GE&ndash;Modell ist eine stationäre Markovkette.
+'''(2)'''&nbsp; The GE model is a stationary Markov chain.
-*Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand "GOOD" befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe '''(1)''':
+*For the probability that it is in the state "GOOD", taking into account the result of subtask '''(1)''':
 :$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot
 w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot
@@ Line 83: / Line 83: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Weiter gilt $w_{\rm B} = 1 \, &ndash;w_{\rm G}$:
+*Further, $w_{\rm B} = 1 \, &ndash;w_{\rm G}$:
 :$${\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm
@@ Line 97: / Line 97: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ergibt sich aus den Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$, gewichtet mit $w_{\rm G}$  und $w_{\rm B}$:
+'''(3)'''&nbsp; The mean error probability $p_{\rm M}$ is obtained from the error probabilities $p_{\rm G}$ and $p_{\rm B}$ weighted by $w_{\rm G}$  and $w_{\rm B}$:
 :$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}
 = \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}= \frac{10+100}{11} \cdot 10^{-3}\hspace{0.15cm}\underline { =
@@ Line 103: / Line 103: @@
-'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der allgemeinen Gleichung auf dem Angabenblatt gilt für $k > 0$:
+'''(4)'''&nbsp; According to the general equation on the specification section, for $k > 0$:
 :$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm M}^2 +
 (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot
@@ Line 125: / Line 125: @@
-'''(5)'''&nbsp; Für jedes Kanalmodell gilt wegen $e_{\nu} &#8712; \{0, 1\}$:
+'''(5)'''&nbsp; For each channel model, because of $e_{\nu} &#8712; \{0, 1\}$:
 :$$\varphi_{e}(k = 0 ) = {\rm E}[e_{\nu} ^2] = {\rm E}[e_{\nu} ] =
 p_{\rm M} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' ergibt sich für den vorliegenden Fall $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
+Using the result of subtask '''(3)''', $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$ for the present case.

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−	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^5.3 ~~Bündelfehlerkanäle~~^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^5.3 Burst Error Channels^]]

@@ Line 8: / Line 8: @@
 Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD" betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand &bdquo;BAD" gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
+Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "GOOD" betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand "BAD" gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
 Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:
@@ Line 27: / Line 27: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie" und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch &bdquo;Kanalcodierung".
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch "Stochastische Signaltheorie" und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch "Kanalcodierung".
@@ Line 40: / Line 40: @@
 $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand &bdquo;GOOD" &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand &bdquo;BAD" &nbsp;$(w_{\rm B})$?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand "GOOD" &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand "BAD" &nbsp;$(w_{\rm B})$?
 |type="{}"}
 $w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% }
@@ Line 74: / Line 74: @@
 '''(2)'''&nbsp; Das GE&ndash;Modell ist eine stationäre Markovkette.
-*Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand &bdquo;GOOD" befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe '''(1)''':
+*Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand "GOOD" befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe '''(1)''':
 :$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot
 w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot
@@ Line 137: / Line 137: @@
 p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand &bdquo;G") die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
+*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand "G") die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
 *Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:
 :$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B}

@@ Line 8: / Line 8: @@
 Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand &bdquo;BAD&rdquo; gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
+Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD" betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand &bdquo;BAD" gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
 Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:
@@ Line 27: / Line 27: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch &bdquo;Kanalcodierung&rdquo;.
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie" und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch &bdquo;Kanalcodierung".
@@ Line 40: / Line 40: @@
 $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand &bdquo;BAD&rdquo; &nbsp;$(w_{\rm B})$?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand &bdquo;GOOD" &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand &bdquo;BAD" &nbsp;$(w_{\rm B})$?
 |type="{}"}
 $w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% }
@@ Line 74: / Line 74: @@
 '''(2)'''&nbsp; Das GE&ndash;Modell ist eine stationäre Markovkette.
-*Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe '''(1)''':
+*Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand &bdquo;GOOD" befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe '''(1)''':
 :$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot
 w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot
@@ Line 137: / Line 137: @@
 p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand &bdquo;G&rdquo;) die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
+*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand &bdquo;G") die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
 *Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:
 :$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B}

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