Aufgaben:Exercise 5.7Z: McCullough Model once more - Revision history

Hwang at 08:22, 21 September 2022

2022-09-21T08:22:45Z

Hwang at 06:57, 20 September 2022

2022-09-20T06:57:37Z

Hwang at 06:33, 20 September 2022

2022-09-20T06:33:02Z

Guenter at 15:10, 9 September 2022

2022-09-09T15:10:11Z

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2021-03-23T12:48:54Z

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Guenter at 14:49, 26 March 2019

2019-03-26T14:49:56Z

Guenter at 14:43, 26 March 2019

2019-03-26T14:43:58Z

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 ===Questions===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC&ndash;Modell im Zustand "Good" bzw. im Zustand "Bad" befindet.
+{Calculate the probabilities&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; and &nbsp;$\alpha_{\rm B}$ that the MC model is in the state "Good" and the state "Bad".
 |type="{}"}
 $\alpha_{\rm G} \hspace{0.05cm} = \ ${ 0.5975 3% }
 $\alpha_{\rm B} \ = \ ${ 0.4025 3% }
-{Ermitteln Sie den mittleren Fehlerabstand des MC&ndash;Modells.
+{Determine the mean error distance of the MC model.
 |type="{}"}
 ${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 100.1 3% }
-{Wie groß ist der Fehlerkorrelationsfunktionswert für&nbsp; $k = 0$?
+{What is the error correlation function value for&nbsp; $k = 0$?
 |type="{}"}
 $\varphi_e(k = 0) \ = \ ${ 0.01 3% }
-{Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer&nbsp; $D_{\rm K}$&nbsp; als Funktion der MC&ndash;Parameter&nbsp; $q_{\rm G},&nbsp; q_{\rm B},&nbsp; q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$&nbsp; und&nbsp; $q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$&nbsp; an. <br>Welches Ergebnis ist richtig?
+{Give the error correlation duration&nbsp; $D_{\rm K}$&nbsp; as a function of the MC parameters&nbsp; $q_{\rm G},&nbsp; q_{\rm B},&nbsp; q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$&nbsp; and&nbsp; $q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$.&nbsp; <br>Which result is correct?
 |type="()"}
 - $D_{\rm K} = \big  [q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}) + q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})\big]^{-1} \ -1$,
@@ Line 81: / Line 81: @@
 </quiz>
-===Musterlösung===
+===Solution===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE&ndash;Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:
+'''(1)'''&nbsp; For the state probabilities of the GE model was determined in Exercise 5.6Z:
 :$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm
@@ Line 90: / Line 90: @@
 }= 0.091\hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen erhält man beim MC&ndash;Modell:
+*In contrast, for the MC model we obtain:
 :$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rm
@@ Line 99: / Line 99: @@
 \alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$
-*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modells.
+*In subtask '''(3)''' of Exercise 5.7, these values have already been determined once, but from the parameters of the equivalent Gilbert-Elliott model.
-'''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand "GOOD" ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$.
+'''(2)'''&nbsp; The mean error distance in the channel state "GOOD" is equal to the reciprocal of the associated error probability $q_{\rm G}$.
-*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand "BAD" ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
+*Accordingly, the mean error distance in the state "BAD" is $1/q_{\rm B}$.
-*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC&ndash;Modells insgesamt zu
+*By weighting with the two state probabilities $\alpha_{\rm G}$ and $\alpha_{\rm B}$, the mean error distance of the MC model as a whole is given by
 :$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm
 B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =
 .95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE&ndash;Modell sein.
+*Of course, this value should be exactly the same as for the corresponding GE model.
-*Die kleine Abweichung von $0.1$ ist auf Rundungsfehler zurückzuführen.
+*The small deviation of $0.1$ is due to rounding errors.
-'''(3)'''&nbsp; Auch hier gilt der Zusammenhang $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$.
+'''(3)'''&nbsp; Again, the relation $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$ holds.
-*Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist aber gleich dem Kehrwert des mittleren Fehlerabstands ${\rm E}[a]$.
+*However, the mean error probability is equal to the reciprocal of the mean error distance ${\rm E}[a]$.
-*Daraus folgt $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
+*It follows that $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
-'''(4)'''&nbsp; Beim GE&ndash;Modell ist die Korrelationsdauer wie folgt gegeben ($S$ steht für Summe):
+'''(4)'''&nbsp; In the GE model, the correlation duration is given as follows ($S$ stands for sum):
 :$$D_{\rm K} = {1}/{S}-1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}S =  {\rm
 Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$
-*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
+*Further, using the data for Exercise 5.7:
 :$$q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm
 B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot
@@ Line 143: / Line 143: @@
 q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:
+*So, the correct solution is <u>solution 2</u>. With the given parameter values, we obtain, for example:
 :$$D_{\rm K} =\frac{1}{0.0061 \cdot 0.3724 + 0.1949 \cdot
 .5528}-1=\frac{1}{0.11}-1  {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$
-*Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe '''(3)''' von Aufgabe 5.6.
+*The result is exactly the same value as in subtask '''(3)''' of Exercise 5.6.
 {{ML-Fuß}}

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels}}
-[[File:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png|right|frame|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]
+[[File:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png|right|frame|EDD and ECF of GE model and equivalent MC model]]
-Wir betrachten wie auch in&nbsp; [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer|Aufgabe 5.6]],&nbsp; [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften|Aufgabe 5.6Z]]&nbsp; und&nbsp;  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter|Aufgabe 5.7]]&nbsp; das Bündelfehler&ndash;Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE&ndash;Modell) mit den Kenngrößen
+As in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_5.6:_Error_Correlation_Duration|"Exercise 5.6"]],&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_5.6Z:_Gilbert-Elliott_Model|"Exercise 5.6Z"]]&nbsp; and&nbsp;  [[Aufgaben:Exercise_5.7:_McCullough_and_Gilbert-Elliott_Parameters|"Exercise 5.7"]],&nbsp; we consider the burst error channel model according to Gilbert and Elliott (GE model) with the parameters
 :$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,
 \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}
@@ Line 11: / Line 11: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC&ndash;Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich
+From these four probabilities, the corresponding characteristics of the channel model according to McCullough (MC model) can be determined in such a way that both models have exactly the same statistical properties, namely
-* exakt gleiche Fehlerabstandsverteilung (FAV)&nbsp; $V_a(k)$,
+* exactly the same error distance distribution (EDD)&nbsp; $V_a(k)$,
-* exakt gleiche Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)&nbsp; $\varphi_e(k)$.
+* exactly the same error correlation function (ECF)&nbsp; $\varphi_e(k)$.
-Die Wahrscheinlichkeiten des MC&ndash;Modells wurden in der&nbsp; [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter|Aufgabe 5.7]]&nbsp; wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit&nbsp; $q$&nbsp; anstelle von&nbsp; $p)$:
+The probabilities of the MC model were determined in&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_5.7:_McCullough_and_Gilbert-Elliott_Parameters|"Exercise 5.7"]]&nbsp; as follows $($labels according to the graph for Exercise 5.7, all with&nbsp; $q$&nbsp; instead of&nbsp; $p)$:
 :$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,
 \hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}
@@ Line 24: / Line 24: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$
-Die obere Grafik zeigt die aus&nbsp; $N = 10^6$&nbsp; Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_e(k)$&nbsp; für das GE&ndash; und das MC&ndash;Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für&nbsp; $N &#8594; &#8734;$&nbsp; stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.
+The upper graph shows the functions&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; and&nbsp; $\varphi_e(k)$&nbsp; simulatively determined from&nbsp; $N = 10^6$&nbsp; sequence elements for the GE and MC models. There are still slight discrepancies here. In the limiting case for&nbsp; $N &#8594; &#8734;$,&nbsp; on the other hand, error correlation function and error distance distribution of both models agree exactly.
-In dieser Aufgabe sollen nun wichtige Beschreibungsgrößen des GE-Modells wie
+In this exercise, important descriptive variables of the GE model such as
-*Zustandswahrscheinlichkeiten,
+*state probabilities,
-*mittlere Fehlerwahrscheinlichkeiten, und
+*mean error probabilities, and
-*Korrelationsdauer
+*correlation duration
-direkt aus den $q$&ndash;Parametern des MC&ndash;Modells ermittelt werden.
+should be determined directly from the $q$ parameters of the MC model.
@@ Line 40: / Line 40: @@
-''Hinweise:''
+''Notes:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
+* The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels| "Burst Error Channels"]].
-* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
+* From the above exercises, the following results can be further used:
-:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE&ndash;Modells sind
+:(a) The state probabilities of the GE model are
 :$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm
@@ Line 50: / Line 50: @@
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G
 }\hspace{0.05cm}.$$
-:(b) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE&ndash;Modells beträgt
+:(b) The mean error probability of the GE model is
 :$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}
 = \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$
-:(c) Die Korrelationsdauer des GE&ndash;Modells berechnet sich zu
+:(c) The correlation duration of the GE model is calculated as
 :$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
 B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1
@@ Line 60: / Line 60: @@
-===Fragebogen===
+===Questions===
 <quiz display=simple>
 {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC&ndash;Modell im Zustand "Good" bzw. im Zustand "Bad" befindet.

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Digitalsignalübertragung~~/~~Bündelfehlerkanäle~~}}	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels}}

	[[File:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]		[[File:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]

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−	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^5.3 ~~Bündelfehlerkanäle~~^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^5.3 Burst Error Channels^]]

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC&ndash;Modell im Zustand "Good&rdquo; bzw. im Zustand "Bad&rdquo; befindet.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC&ndash;Modell im Zustand "Good" bzw. im Zustand "Bad" befindet.
 |type="{}"}
 $\alpha_{\rm G} \hspace{0.05cm} = \ ${ 0.5975 3% }
@@ Line 103: / Line 103: @@
-'''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand "GOOD&rdquo; ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$.
+'''(2)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand "GOOD" ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$.
-*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand "BAD&rdquo; ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
+*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand "BAD" ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
 *Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC&ndash;Modells insgesamt zu
 :$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Digitalsignalübertragung~~\|^5.3 Bündelfehlerkanäle^]]	+	[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises\|^5.3 Bündelfehlerkanäle^]]