Channel Coding/Klassifizierung von Signalen - Revision history

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Guenter at 09:41, 25 June 2019

2019-06-25T09:41:39Z

Ayush at 18:52, 25 January 2017

2017-01-25T18:52:09Z

Ayush at 20:32, 8 January 2017

2017-01-08T20:32:36Z

Ayush at 20:31, 8 January 2017

2017-01-08T20:31:45Z

Ayush at 20:29, 8 January 2017

2017-01-08T20:29:44Z

Ayush at 20:22, 8 January 2017

2017-01-08T20:22:59Z

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 :<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
-so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft "symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft "symmetrisch" begründet ist.<br>
 <i>Hinweis:</i> Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit <i>z</i> &#8712; {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit <i>y</i>. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN &ndash;Modells nun <i>y</i><sub>A</sub>. Für das analoge Empfangssignal gilt <i>y</i><sub>A</sub> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i>.<br>
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 [[File:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]]<br>
-Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches "Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
+Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches "Digitalsignalübertragung" behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
 *dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,]<br>
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 == Binary Erasure Channel – BEC ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen "richtig&rdquo; und "falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
+Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen "richtig" und "falsch". Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
 [[File:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
 Der <i>Binary Erasure Channel</i> (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
-*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Kanalmodells ist binär &#8658; <i>x</i> &#8712; {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär &#8658;&nbsp;<i>y</i>&nbsp;&#8712;&nbsp;{0, 1, E}. Ein "E&rdquo; kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue "Symbol&rdquo; steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: Auslöschung.
+*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Kanalmodells ist binär &#8658; <i>x</i> &#8712; {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär &#8658;&nbsp;<i>y</i>&nbsp;&#8712;&nbsp;{0, 1, E}. Ein "E" kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue "Symbol" steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: Auslöschung.
 *Bitfehler werden durch das BEC&ndash;Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit <i>&lambda;</i> getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für  eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 &ndash; <i>&lambda;</i> beträgt.
-*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC&ndash; und AWGN&ndash;Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure&ndash;Entscheidungsgebiet ("E&rdquo;) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC&ndash;Modell (<i>G</i>&nbsp;=&nbsp;0) nun zwei Entscheidungsgrenzen <i>G</i><sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;<i>G</i> und <i>G</i><sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&ndash;<i>G</i> gibt, und es gilt:
+*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC&ndash; und AWGN&ndash;Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure&ndash;Entscheidungsgebiet ("E") grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC&ndash;Modell (<i>G</i>&nbsp;=&nbsp;0) nun zwei Entscheidungsgrenzen <i>G</i><sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;<i>G</i> und <i>G</i><sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&ndash;<i>G</i> gibt, und es gilt:
 ::<math>\lambda =  {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.</math>
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 == MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 <br>
-Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches "Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
+Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches "Digitalsignalübertragung" genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
 [[File:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]]<br>
-Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor <u><i>&upsilon;</i></u> so zu bestimmen, dass er "möglichst gut&rdquo; mit dem Informationswort <u><i>u</i></u> übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
+Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor <u><i>&upsilon;</i></u> so zu bestimmen, dass er "möglichst gut" mit dem Informationswort <u><i>u</i></u> übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
 :<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) </math>

@@ Line 59: / Line 59: @@
 :<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
-so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft "symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
 <i>Hinweis:</i> Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit <i>z</i> &#8712; {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit <i>y</i>. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN &ndash;Modells nun <i>y</i><sub>A</sub>. Für das analoge Empfangssignal gilt <i>y</i><sub>A</sub> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i>.<br>
@@ Line 67: / Line 67: @@
 [[File:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]]<br>
-Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
+Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches "Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
 *dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,]<br>
@@ Line 76: / Line 76: @@
 == Binary Erasure Channel – BEC ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
+Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen "richtig&rdquo; und "falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
 [[File:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
 Der <i>Binary Erasure Channel</i> (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
-*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Kanalmodells ist binär &#8658; <i>x</i> &#8712; {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär &#8658;&nbsp;<i>y</i>&nbsp;&#8712;&nbsp;{0, 1, E}. Ein &bdquo;E&rdquo; kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue &bdquo;Symbol&rdquo; steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: Auslöschung.
+*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Kanalmodells ist binär &#8658; <i>x</i> &#8712; {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär &#8658;&nbsp;<i>y</i>&nbsp;&#8712;&nbsp;{0, 1, E}. Ein "E&rdquo; kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue "Symbol&rdquo; steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: Auslöschung.
 *Bitfehler werden durch das BEC&ndash;Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit <i>&lambda;</i> getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für  eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 &ndash; <i>&lambda;</i> beträgt.
-*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC&ndash; und AWGN&ndash;Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure&ndash;Entscheidungsgebiet (&bdquo;E&rdquo;) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC&ndash;Modell (<i>G</i>&nbsp;=&nbsp;0) nun zwei Entscheidungsgrenzen <i>G</i><sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;<i>G</i> und <i>G</i><sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&ndash;<i>G</i> gibt, und es gilt:
+*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC&ndash; und AWGN&ndash;Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure&ndash;Entscheidungsgebiet ("E&rdquo;) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC&ndash;Modell (<i>G</i>&nbsp;=&nbsp;0) nun zwei Entscheidungsgrenzen <i>G</i><sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;<i>G</i> und <i>G</i><sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&ndash;<i>G</i> gibt, und es gilt:
 ::<math>\lambda =  {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.</math>
@@ Line 119: / Line 119: @@
 == MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 <br>
-Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
+Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches "Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
 [[File:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]]<br>
-Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor <u><i>&upsilon;</i></u> so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut&rdquo; mit dem Informationswort <u><i>u</i></u> übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
+Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor <u><i>&upsilon;</i></u> so zu bestimmen, dass er "möglichst gut&rdquo; mit dem Informationswort <u><i>u</i></u> übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
 :<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) </math>

@@ Line 15: / Line 15: @@
 *Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal <i>y</i> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i> alle reellen Werte annehmen. Der Signalwert <i>y</i> ist zwar wie <i>x</i>&#x0303; zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich.<br>
-[[File:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]]<br>
+[[File:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|center|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]]<br>
 Die rechte Grafik zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (in blau bzw. rot):

@@ Line 51: / Line 51: @@
 == Binary Symmetric Channel – BSC ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im Kapitel 1.1 zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC):<br>
+Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.1] zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC):<br>
 [[File:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
@@ Line 59: / Line 59: @@
 :<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
-so ist der Zusammenhang zum AWGN&ndash;Kanalmodell hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+so ist der Zusammenhang zum [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
 <i>Hinweis:</i> Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit <i>z</i> &#8712; {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit <i>y</i>. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN &ndash;Modells nun <i>y</i><sub>A</sub>. Für das analoge Empfangssignal gilt <i>y</i><sub>A</sub> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i>.<br>
@@ Line 68: / Line 68: @@
 Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
-*dem Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,<br>
+*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,]<br>
-*dem McCullough&ndash;Kanalmodell.<br><br>
+*dem [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_McCullough_.281.29 McCullough&ndash;Kanalmodell.]<br><br>
 Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC&ndash;Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert&ndash;Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird.<br>
@@ Line 76: / Line 76: @@
 == Binary Erasure Channel – BEC ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
+Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
 [[File:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
@@ Line 119: / Line 119: @@
 == MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 <br>
-Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im Kapitel 4.2 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
+Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://en.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
 [[File:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]]<br>
@@ Line 156: / Line 156: @@
 :<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>
-Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i </i></sub>|<sub> </sub><i><u>y</u></i>) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde, wenn <i><u>y</u></i> empfangen wird.{{end}}<br>
+Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i </i></sub>|<sub> </sub><i><u>y</u></i>) ist die [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 bedingte Wahrscheinlichkeit,] dass <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde, wenn <i><u>y</u></i> empfangen wird.{{end}}<br>
-Nach dem Satz von Bayes kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:
+Nach dem [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:
 :<math>{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) =
@@ Line 199: / Line 199: @@
 Dies lässt sich wie folgt begründen:
-*Die Hamming&ndash;Distanz <i>d</i><sub>H</sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte <i><u>y</u></i> und <i><u>x<sub>i</sub></u></i> mit jeweils <i>n</i> binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming&ndash;Distanz zwischen <i><u>y</u></i> = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2.<br>
+*Die [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming&ndash;Distanz] <i>d</i><sub>H</sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte <i><u>y</u></i> und <i><u>x<sub>i</sub></u></i> mit jeweils <i>n</i> binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming&ndash;Distanz zwischen <i><u>y</u></i> = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2.<br>
 *In <i>n</i> &ndash; <i>d</i><sub>H</Sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren  <i><u>y</u></i> und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> nicht. Im obigen Beispiel sind 5 der <i>n</i> = 7 Bit identisch. Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit <i>&epsilon;</i> bzw. deren Ergänzung 1 &ndash; <i>&epsilon;</i>.<br><br>
@@ Line 236: / Line 236: @@
 Anwendungen der ML/BSC&ndash;Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:
-*Single Parity&ndash;check Code (SPC)<br>
+*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity&ndash;check Code] (SPC)<br>
-*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>
+*[http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>
 == ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom Modell auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>&#x0303; und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>&#x0303; und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML&ndash;Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
+Das AWGN&ndash;Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom [http://en.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang Modell] auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>&#x0303; und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>&#x0303; und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML&ndash;Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
 *Der AWGN&ndash;Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das <i>White</i> im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:
@@ Line 273: / Line 273: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</u></i> | <u><i>x</i></u>&#x0303;<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
+*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</i></u> | <u><i>x</i></u>&#x0303;<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
 ::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
@@ Line 282: / Line 282: @@
 Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:<br>
-ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</u></i> aus:
+ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</i></u> aus:
 :<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}

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 f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.</math>
-Die beiden schraffierten Flächen (jeweils <i>&epsilon;</i>) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung <nobr><i>x</i> = 0</nobr> &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = +1 (blau) &nbsp;&nbsp;bzw.&nbsp;&nbsp; <i>x</i> = 1 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = &ndash;1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:
+Die beiden schraffierten Flächen (jeweils <i>&epsilon;</i>) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung <i>x</i> = 0 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = +1 (blau) &nbsp;&nbsp;bzw.&nbsp;&nbsp; <i>x</i> = 1 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = &ndash;1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:
 :<math>z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\

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 \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
+[[Aufgaben:1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung|A1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung]]
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	*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>		*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>

		+	== ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
		+	<br>
		+	Das AWGN–Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)–Blockcode unterscheidet sich vom Modell auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>̃ und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>̃ und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
		+	*Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das <i>White</i> im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:

		+	::<math>f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
		+	\prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l )
		+	\hspace{0.05cm}.</math>

		+	*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement (<i>l</i> = 1, ... , <i>n</i>) gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

		+	::<math>f({y_l \hspace{0.03cm}\| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) =
		+	\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]</math>
		+
		+	::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
		+	\frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot
		+	\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2
		+	\right ] \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+
		+	*Da <u><i>y</i></u> nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt entsprechend der ML–Entscheidungsregel <i>Wahrscheinlichkeitsdichten</i> untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:
		+
		+	::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte <u><i>y</i></u> und <i>x</i>̃ im <i>n</i>–dimensionalen Raum als die Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:
		+
		+	::<math>d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) =
		+	\sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C}
		+	\hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	*Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</u></i> \| <u><i>x</i></u>̃<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
		+
		+	::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	\exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2}
		+	\right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:<br>
		+
		+	ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</u></i> aus:
		+
		+	:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>