Dreimal Faltung - Revision history

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{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation
}}
[[File:P_ID533__Sig_A_3_8.png|right|frame|Impulsantwort  $h(t)$  und drei Eingangssignale  $x(t)$]]

Die Impulsantwort eines LZI-Systems hat im Zeitbereich zwischen  $0$  und  $2T$  den folgenden Verlauf:

:$$h( t ) = \frac{1}{T}\cdot \left( {1 - \frac{t}{ {2T}}} \right).$$

Außerhalb dieses Intervalls ist  $h(t) = 0$. Die zugehörige Spektralfunktion lautet:

:$$H( f ) = \frac{1}{ {8\left( {{\rm{\pi }}fT} \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm{j \cdot 4\pi }}fT - {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\pi }}\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}T} } \right).$$

Zur Berechnung des so genannten &bdquo;Gleichsignalübertragungsfaktors”   ⇒   $H(f = 0)$  ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:

:$$H( {f = 0} ) = \int_0^{2T} {h( t )\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 1.}$$

An den Eingang dieses Filters werden drei verschiedene Zeitsignale angelegt (siehe Skizze):
* $x_1(t)$  ist ein Gleichsignal mit der Höhe  $x_0 = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V}$.
* $x_2(t)$  ist ein Rechteckimpuls mit der Dauer  $T$  und der Höhe  $x_0 = 1\hspace{0.05cm} {\rm V}$, beginnend bei  $t = T$.
* $x_3(t)$  ist ein Cosinussignal mit der Frequenz  $f_0 = 3/T$  und der Amplitude  $x_0 = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V}$.

''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]  veranschaulicht.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Bei welchen der drei Signale ist es zweckmäßiger, das Ausgangssignal direkt im Zeitbereich zu berechnen?
|type="[]"}
- $y_1(t) = x_1(t) \ast h(t)$.
+ $y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$.
- $y_3(t) = x_3(t) \ast h(t)$.

{Wie lautet das Signal  $y_1(t)$  am Filterausgang, wenn am Eingang das Gleichsignal  $x_1(t) = 1 \hspace{0.03cm}{\rm V}$  anliegt? Geben Sie den Signalwert bei  $t = 2T$  an.
|type="{}"}
$y_1(t=2T)\ = \ $ { 1 3% }  ${\rm V}$

{Auf welchen Zeitbereich zwischen  $t_{\text{min}}$  und  $t_{\text{max}}$  ist das Ausgangssignal  $y_2(t) = x_2(t) \ast h(t)$  beschränkt, das heißt ungleich Null?
|type="{}"}
$t_{\text{min}}/T\ = \ $ { 1 3% }
$t_{\text{max}}/T \ = \ $ { 4 3% }

{Berechnen Sie die Werte des Signals  $y_2(t)$  zu den Zeiten  $t = 2T$  und  $t = 3T$.
|type="{}"}
$y_2(t=2T)\ = \ $ { 0.75 3% }  ${\rm V}$
$y_2(t=3T)\ = \ $ { 0.25 3% }  ${\rm V}$

{Wie lautet das Ausgangssignal  $y_3(t)$, wenn am Eingang das Cosinussignal  $x_3(t)$  anliegt? Geben Sie den Signalwert bei  $t =0$  an.
|type="{}"}
$y_3(t=0)\ = \ $ { 0. }  ${\rm V}$
</quiz>

===Musterlösung===

{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Richtig ist die Antwort 2:
*$x_1(t)$  und  $x_3(t)$  beinhalten jeweils nur eine Frequenz, nämlich  $f = 0$  bzw.  $f = f_0$ . Hier ist jeweils der Umweg über das Spektrum vorzuziehen.
*Beim Rechtecksignal  $x_2(t)$  ist die Berechnung über die Faltung günstiger, da die Fourierrücktransformation von  $Y_2(f)$  kompliziert ist.

'''(2)'''  Beim Eingangssignal  $x_1(t)$  ist das Ausgangssignal ebenfalls ein Gleichsignal, da folgende Gleichungen gelten:

:$$Y_1 (f) = X_1 (f) \cdot H(f)\quad {\rm{mit}}\quad X_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f)$$

:$$ \Rightarrow Y_1 (f) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f) \cdot H( {f = 0} ) = 1\;{\rm{V}} \cdot \delta (f) \; \Rightarrow \; y_1 (t) = 1\;{\rm{V}} \cdot H( {f = 0} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}}.$$

*Die Berechnung über die Faltung führt zum gleichen Ergebnis, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über die Impulsantwort im vorliegenden Fall gleich  $1$  ist.

'''(3)'''  Das gespiegelte Signal  $x_2(-t)$  hat Signalanteile zwischen  $-2T$  und  $-T$.
*Erst eine Verschiebung um  $T \hspace{-0.1cm}+ \hspace{-0.1cm}\varepsilon$  führt zu einer Überlappung mit  $h(t)$. Hierbei bezeichnet  $\varepsilon$  eine beliebig kleine, aber positive Zeit.

*Ist die Verschiebung allerdings größer als  $4T\hspace{-0.1cm} - \hspace{-0.1cm}\varepsilon$, so liefert die Integration über das Produkt ebenfalls den Wert Null. Daraus folgt:
:$$t_{\text{min}} \;\underline{= T}, \ \ \ t_{\text{max}} \;\underline{= 4T}.$$

[[File:P_ID534__Sig_A_3_8_d.png|right|frame|Faltung Rechteck und Dreieck ]]
'''(4)'''  Das Ergebnis der grafischen Faltung für die Zeitpunkte  $t = 2T$  und  $t = 3T$  kann man der nebenstehenden Skizze entnehmen.
*Der Wert bei  $t = 2T$  entspricht der rötlich unterlegten Fläche:

:$$y_2( {t = 2T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{T} + \frac{1}{ {2T}}} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.75 {\rm V}} .$$

*Die grün unterlegte Fläche kennzeichnet den Wert bei  $t = 3T$:

:$$y_2( {t = 3T} ) = \frac{1}{2}\cdot ( {\frac{1}{2T} + 0} ) \cdot T \cdot x_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.25 {\rm V}} .$$

Um den gesamten Signalverlauf zwischen  $t = T$  und  $t = 4T$  zu berechnen, müssen drei Bereiche getrennt betrachtet werden. Zur Vereinfachung der Darstellung wird im Folgenden  $x_0 = 1$  gesetzt   ⇒   Amplitudennormierung.

[[File:P_ID583__Sig_A_3_8_d1_neu.png|right|frame|Faltung für  $T \leq t \leq 2T$]]
'''(4a)'''  Für  $T \leq t \leq 2T$  liegt die untere Grenze bei  $τ_u = 0$, die obere Grenze bei  $τ_0 = t - T$:

:$$y_2 (t) = \int_{\tau _u }^{\tau _0 } {h(\tau )\,{\rm{d}}\tau = \int_0^{t - T} {\frac{1}{T}} }\cdot \left( {1 - \frac{\tau }{ {2T}}} \right)\,{\rm{d}}\tau .$$

*Mit dem unbestimmten Integral   $I(\tau ) = {\tau }/{T} - 0.25 \cdot \left( {{\tau }/{T}} \right)^2$   ergibt sich

:$$y_2 (t) = I(t - T) - I(0) = \frac{ {t - T}}{T} - 0.25 \cdot \left( {\frac{ {t - T}}{T}} \right)^2 $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_2 (t) = 1.5 \cdot {t}/{T} - 0.25\cdot \left( {{t}/{T}} \right)^2 - 1.25.$$

*Zur Verifizierung betrachten wir die beiden Grenzen. Man erhält die Werte  $y_2(T) = 0$  und  $y_2(2T) = 0.75$.

[[File:P_ID584__Sig_A_3_8_d2_neu.png|right|frame|Faltung für  $2T \leq t \leq 3T$]]
'''(4b)'''  Im Intervall  $2T \leq t \leq 3T$  gilt weiterhin  $τ_0 = t - T$, während nun  $τ_u = t - 2T$  ist:

::$$y_2 (t) = I(t - T) - I(t - 2T) = 1.75 - 0.5 \cdot {t}/{T}.$$

Dies entspricht einem linearen Abfall mit den beiden Grenzwerten 
:$$y_2(2T) = 0.75,$$
:$$y_2(3T) = 0.25.$$
 
[[File:P_ID585__Sig_A_3_8_d3_neu.png|right|frame|Faltung für  $3T \leq t \leq 4T$]]
'''(4c)'''  Für das Intervall  $3T \leq t \leq 4T$  gilt  $τ_0 = 2T$  und   $τ_u = t - 2T$:

:$$y_2 (t) = I(2T) - I(t - 2T) = - 2 \cdot {t}/{T} + 0.25\left( {c{t}/{T}} \right)^2 + 4.$$

Auch hier ergeben sich die richtigen Grenzwerte:
:$$y_2 (3T) = 0.25,$$
:$$y_2 (4T) = 0.$$
 
'''(5)'''  Diese Teilaufgabe könnte prinzipiell auch direkt mit der Faltung gelöst werden.
*Da  $x_3(t)$  aber eine gerade Funktion ist, kann hier nun auf die Spiegelung verzichtet werden und man erhält:

:$$y_3 (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(\tau ) \cdot x_3 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau = x_0 }\cdot \int_0^{2T} {h(\tau ) \cdot \cos (2{\rm{\pi }}f_0 (t + \tau )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}\tau .}$$

*Einfacher ist hier der Weg über die Spektren. $X(f)$  besteht aus zwei Diraclinien bei  $\pm 3f_0$. Somit muss auch nur für diese Frequenz der Frequenzgang berechnet werden:

:$$H( {f = 3f_0 } ) = \frac{1}{ {72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\big[ {1 - {\rm{j}}\cdot 12{\rm{\pi }} - {\rm{cos}}( {{\rm{12\pi }}} ) + {\rm{j}}\cdot \sin ( {{\rm{12\pi }}})} \big] = \frac{1}{ {72{\rm{\pi }}^{\rm{2}} }}\big[ 1 - {\rm j}\cdot 12{\rm \pi } - 1 + {\rm j}\cdot 0 \big]= { - {\rm{j}}} \cdot \frac{1}{ {6{\rm{\pi }}}}.$$

*Somit lautet das Spektrum des Ausgangssignals:

:$$Y(f) = - {\rm{j}} \cdot \frac{ {x_0 }}{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f - 3f_0 } \right) + {\rm{j}} \cdot \frac{ {x_0 }}{{{\rm{12\pi }}}}\cdot \delta \left( {f + 3f_0 } \right).$$

*Das Signal  $y_3(t)$  ist somit sinusförmig mit der Amplitude  $x_0/(6\pi )$.
*Bei  $t = 0$  ergibt sich der Signalwert  $y_3(t = 0)\; \underline{= 0}$.
{{ML-Fuß}}

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 :$$H( f ) = \frac{1}{ {8\left( {{\rm{\pi }}fT} \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm{j \cdot 4\pi }}fT - {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\pi }}\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}T} } \right).$$
-Zur Berechnung des so genannten &bdquo;Gleichsignalübertragungsfaktors" &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f = 0)$&nbsp; ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:
+Zur Berechnung des so genannten "Gleichsignalübertragungsfaktors" &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f = 0)$&nbsp; ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:
 :$$H( {f = 0} ) = \int_0^{2T} {h( t )\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 1.}$$

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 :$$H( f ) = \frac{1}{ {8\left( {{\rm{\pi }}fT} \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm{j \cdot 4\pi }}fT - {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\pi }}\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}T} } \right).$$
-Zur Berechnung des so genannten &bdquo;Gleichsignalübertragungsfaktors&rdquo; &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f = 0)$&nbsp; ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:
+Zur Berechnung des so genannten &bdquo;Gleichsignalübertragungsfaktors" &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f = 0)$&nbsp; ist diese Gleichung nicht geeignet, da sowohl der Klammerausdruck als auch der Nenner Null werden. Es gilt aber auch:
 :$$H( {f = 0} ) = \int_0^{2T} {h( t )\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 1.}$$

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-{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation
+{{quiz-Header|Buchseite=Signal Representation/The Convolution Theorem and Operation
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/The_Convolution_Theorem_and_Operation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
 *Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]&nbsp; veranschaulicht.

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signal_Representation/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
 *Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]]&nbsp; veranschaulicht.