Exercise 2.4: DSL/DMT with IDFT/DFT - Revision history

Guenter at 17:30, 25 March 2023

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Guenter at 13:14, 5 August 2019

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 }}
-[[File:P_ID1972__Bei_A_2_4.png|right|frame|time samples with different DMT spectral allocations]]
+[[File:EN_Bei_A_2_4.png|right|frame|time samples with different DMT spectral allocations]]
 A&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_as_Transmission_Technology#DMT_realization_with_IDFT.2 FDFT|"realization form"]]&nbsp; of the&nbsp; $\rm DMT$ method (stands for ''Discrete Multitone Transmission'') is based on the ''Inverse Discrete Fourier Transform'' &nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; at the transmitter and the ''Discrete Fourier Transform'' &nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; at the receiver.

@@ Line 54: / Line 54: @@
 $B \ = \ ${ 50 3% } $\ \rm kHz $
-{What are the spectral coefficients at allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$?
+{What are the spectral coefficients for allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$?
 |type="()"}
 - $D_{1} = 1- \rm j, \ all \ other \ 0,$
@@ Line 60: / Line 60: @@
 - $D_{1} = 1 + {\rm j}, \ D_{15} = 1 + \rm j, \ all \ others \ 0.$
-{What are the spectral coefficients at allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm B}$?
+{What are the spectral coefficients for allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm B}$?
 |type="()"}
 - $D_{2} = -1 - {\rm j}, \ D_{14} = -1 + \rm j, \ all \ other \ 0$,
@@ Line 72: / Line 72: @@
-{What is the crest factor&nbsp; $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$&nbsp; at allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm C}$?
+{What is the crest factor&nbsp; $(s_{\rm max}/s_{\rm eff})$&nbsp; for allocation&nbsp; $\boldsymbol{\rm C}$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm max}/s_{\rm eff} \ = \ ${ 1.85 3% }

@@ Line 10: / Line 10: @@
 At the transmitter&nbsp; $N/2-1$&nbsp; users are represented by the complex spectral coefficients&nbsp; $D_{k} \ (k = 1,$ ... , $N/2-1)$&nbsp; allocated to the frequencies&nbsp; $f_{k} = k \cdot f_{0}$&nbsp; . The fundamental frequency&nbsp; $f_{0}$&nbsp; is the reciprocal of the symbol duration&nbsp; $T$.
-*It holds&nbsp; $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$ if one channel is occupied, in the other case&nbsp; $D_{k} = 0$.
+*It holds&nbsp; $D_{k} \in \{ ±1 ± {\rm j} \}$ if one channel is allocated , in the other case&nbsp; $D_{k} = 0$.
 *The coefficients&nbsp; $D_{0}$&nbsp; and&nbsp; $D_{N/2}$&nbsp; are always zero.
 *The top coefficients are allocated conjugate-complex:
@@ Line 21: / Line 21: @@
 For ADSL/DMT,&nbsp; $N = 512$&nbsp; and&nbsp; $f_{0} = 4.3125 \ \rm kHz$. In the example considered here, let the parameters be assumed as follows for simplicity:
 :$$N = 16,\hspace{0.2cm}\delta t = 10\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm}.$$
-In the above table, for three different&nbsp; $D_{k}$ occupancies, the sample values&nbsp; $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$&nbsp; according to the IDFT are given. The corresponding spectral coefficients&nbsp; $D_{k}\ (k = 0$, ... , $15)$ are sought.
+In the above table, for three different&nbsp; $D_{k}$ allocations, the sample values&nbsp; $s_{l} (l = 0$, ... , $15)$&nbsp; according to the IDFT are given. The corresponding spectral coefficients&nbsp; $D_{k}\ (k = 0$, ... , $15)$ are sought.
@@ Line 91: / Line 91: @@
 '''(3)'''&nbsp; Correct is <u>the second proposed solution</u>:
-* From the $16$ samples $s_{l}$ in the first column of the table &nbsp;$($occupancy $\boldsymbol{\rm A})$&nbsp; we see that $s(t)$ describes a harmonic oscillation with period $T_{0} = T$ (only one oscillation). The amplitude is equal to $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$ and the phase is $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
+* From the $16$ samples $s_{l}$ in the first column of the table &nbsp;$($allocation $\boldsymbol{\rm A})$&nbsp; we see that $s(t)$ describes a harmonic oscillation with period $T_{0} = T$ (only one oscillation). The amplitude is equal to $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$ and the phase is $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
 *Thus, for the continuous-time signal, we can write &nbsp;$($with $f_{0} = 1/T)$:
 :$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$

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	^]]		^]]

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	^]]		^]]

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 [[File:P_ID1972__Bei_A_2_4.png|right|frame|Zeitabtastwerte bei verschiedenen DMT-Spektralbelegungen]]
-Eine&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]]&nbsp; des&nbsp; $\rm DMT$–Verfahrens (steht für ''Discrete Multitone Transmission'') basiert auf der ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; beim Sender sowie der ''Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; beim Empfänger.
+Eine&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|Realisierungsform]]&nbsp; des&nbsp; $\rm DMT$–Verfahrens (steht für ''Discrete Multitone Transmission'') basiert auf der ''Inversen Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; beim Sender sowie der ''Diskreten Fouriertransformation'' &nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; beim Empfänger.
 Beim Sender werden&nbsp; $N/2-1$&nbsp; Nutzer durch die komplexen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D_{k} \ (k = 1,$ ... , $N/2–1)$&nbsp; den Frequenzen&nbsp; $f_{k} = k \cdot f_{0}$&nbsp; zugewiesen. Die Grundfrequenz&nbsp; $f_{0}$&nbsp; ist der Kehrwert der Symboldauer&nbsp; $T$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_als_Übertragungstechnik|xDSL als Übertragungstechnik]].
 *Das Sendesignal hat bei DSL die Form
 :$$s(t) = \sum_{k = 1}^{K} \big [ 2 \cdot {\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k f_0 \cdot t ) - 2 \cdot {\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k f_0 \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das System ist für $K = N/2 – 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
+'''(1)'''&nbsp; Das System ist für $K = N/2 - 1 \underline{= 7 \ {\rm Nutzer}}$ ausgelegt $(N = 16)$.
@@ Line 91: / Line 91: @@
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-* Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle (Belegung $\boldsymbol{\rm A}$) erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$  und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
+* Aus den $16$ Abtastwerten $s_{l}$ in der ersten Spalte der Tabelle &nbsp;$($Belegung $\boldsymbol{\rm A})$&nbsp; erkennt man, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer $T_{0} = T$ beschreibt (nur eine Schwingung). Die Amplitude ist gleich $2 \cdot \sqrt{2} =2.828$  und die Phase beträgt $\phi_0 = 45^\circ \ (π/4)$.
-*Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden (mit   $f_{0} = 1/T$):
+*Damit kann für das zeitkontinuierliche Signal geschrieben werden &nbsp;$($mit   $f_{0} = 1/T)$:
 :$$s(t) = 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_0 t + \pi /4) \hspace{0.05cm}.$$
 *Mit der angegebenen trigonometrischen Umformung und ${\rm cos} \ (π/4) \ = \ {\rm sin} \ (π/4) \ = \ \sqrt{2}$ gilt weiterhin:
@@ Line 108: / Line 108: @@
 :$$S(f) = (1 + {\rm j}) \cdot \delta (f - f_0) + (1 - {\rm j}) \cdot \delta (f + f_0)\hspace{0.05cm}.$$
 Der Koeffizient $D_1$ beschreibt das Gewicht bei der ersten Diracfunktion (also bei $f = f_0$), der Koeffizient $D_{15} = D_{-1}$ das Gewicht der Diracfunktion bei $f = -f_0$. Hierbei ist die implizite periodische Fortsetzung bei der DFT (bzw. IDFT) zu beachten.
@@ Line 115: / Line 116: @@
 *Die Amplitude ist gegenüber der Belegung $\boldsymbol{\rm A}$ unverändert. Die Phase $\phi_0$ erkennt man aus dem ersten Maximum bei $l = 2$:
 :$$ s(t) \ = \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot ( t - 2 \cdot \Delta t)) =  \ 2 \cdot \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi \cdot 3 f_0 \cdot t + \phi_0), \hspace{0.3cm} \phi_0 = 12 \pi \cdot \frac{\Delta t}{T} = \frac{3 \pi}{4} \hspace{0.05cm}.$$
-*Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe 3) erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
+*Nach gleicher Vorgehensweise wie bei Aufgabe '''(3)''' erhält man nun mit $ {\rm cos}(3π/4) \ = \sin(3π/4) = –\sqrt{2}/2$:
 :$${\rm Re}\{D_3\} = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im}\{D_3\} = -1\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
-* Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben (4) und (5).
+* Aufgrund der Linearität der IDFT ergeben sich die Koeffizienten $D_1$, $D_3$, $D_{13}$ und $D_{15}$ entsprechend den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)'''.