Exercise 2.4Z: Repetition to IDFT - Revision history

Noah at 18:22, 7 March 2023

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Noah at 18:22, 7 March 2023

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Guenter at 13:21, 5 March 2023

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Guenter: Guenter moved page Aufgabe 2.4Z: Wiederholung zur IDFT to Exercise 2.4Z: Repetition to IDFT

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Javier: Text replacement - "Signal_Representation/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)" to "Signal_Representation/Discrete_Fourier_Transform_(DFT)"

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Guenter at 13:38, 5 August 2019

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 Hints:
 *This exercise refers to the theoretical foundations of the chapter&nbsp; [[Signal_Representation/Discrete_Fourier_Transform_(DFT)|"Discrete Fourier Transform"]]&nbsp; of the book "Signal Representation" and is identical to the one there&nbsp; [[Aufgaben:Exercise_5.2:_Inverse_Discrete_Fourier_Transform|"Exercise 5.2"]].
-You can check your solution using the interactive applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|"Discrete Fourier Transform"]]&nbsp;.
+*You can check your solution using the interactive applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|"Discrete Fourier Transform"]]&nbsp;.
 *DFT and IDFT also play a major role in&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_as_Transmission_Technology#DMT_realization_with_IDFT.2FDFT|"DSM/DSL"]]&nbsp;.
 *In the corresponding chapter, spectral coefficients are denoted by&nbsp; $D_k$&nbsp; and time samples are denoted by&nbsp; $s_l$. We apologize for this nomenclature discrepancy.

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−	[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises\|^2.3 xDSL ~~als Übertragungstechnik~~	+	[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises\|^2.3 xDSL Transmission Technology

	^]]		^]]

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−	[[Category:~~Aufgaben zu Beispiele von Nachrichtensystemen~~\|^2.3 xDSL als Übertragungstechnik	+	[[Category:Examples of Communication Systems: Exercises\|^2.3 xDSL als Übertragungstechnik

	^]]		^]]

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels&nbsp; [[Signal_Representation/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2]].
+*Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels&nbsp; [[Signal_Representation/Discrete_Fourier_Transform_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2]].
 *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; überprüfen.
 *DFT und IDFT spielen auch bei&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|DSM/DSL]]&nbsp; eine große Rolle.

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 *Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen des Kapitels&nbsp; [[Signal_Representation/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; des Buches „Signaldarstellung” und ist identisch mit der dortigen&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Aufgabe 5.2]].
 *Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; überprüfen.
-*DFT und IDFT spielen auch bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|DSM/DSL]]&nbsp; eine große Rolle.
+*DFT und IDFT spielen auch bei&nbsp; [[Examples_of_Communication_Systems/xDSL_als_Übertragungstechnik#DMT.E2.80.93Realisierung_mit_IDFT.2FDFT|DSM/DSL]]&nbsp; eine große Rolle.
 *Im entsprechenden Kapitel werden die Spektralkoeffizienten mit&nbsp; $D_k$&nbsp; bezeichnet, die Zeitabtastwerte mit&nbsp; $s_l$. Wir bitten, diese Nomenklaturdiskrepanz zu entschuldigen.
 *Für die beiden Laufvariablen gelten mit dem DFT–Parameter&nbsp; $N = 8$: &nbsp; $0 \le k \le 7, \hspace{0.2cm}0 \le l \le 7 \hspace{0.05cm}.$

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 }}
-[[File:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur&nbsp; $\rm (IDFT)$]]
+[[File:P_ID1971__Sig_A_5_2.png|right|frame|Fünf Mustersätze zur&nbsp; $\rm IDFT$]]
 Bei der Diskreten Fouriertransformation&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten&nbsp; $d(\nu) \hspace{0.15cm}  {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \nu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(\mu) \hspace{0.15cm} {\rm mit} \hspace{0.15cm}  \mu = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der IDFT–Gleichung erhält man mit $D(\mu) = 0$ für $\mu \neq 0$ für die Zeitkoeffizienten mit den Indizes&nbsp; $0 ≤ \nu ≤ 7$:
 :$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) \ = \ 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{d(0) = d(1) \ = \ 1}.$$
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 :$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Hier sind alle Spektralkoeffizienten $0$ außer $D_{1} = D_{7} = 0.5$. Daraus folgt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
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 '''(3)'''&nbsp; Gegenüber der Teilaufgabe (2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich $2 \cdot f_{\rm A}$ anstelle von $f_{\rm A}$:
 :$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {1}/{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + {1}/{2}\cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
 Damit beschreibt die Folge $〈d(\nu)〉$ zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für $0 ≤ \nu ≤ 7$:
 :$$d(\nu) \ = \ 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0 }\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
 und damit zu den Zeitkoeffizienten
-:$$\underline{d(0) =}d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}\underline{d(1)} =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
+:$$d(0) = d(2) =d(4) =d(6)= +1, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = -1 \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = +1, \hspace{0.2cm}d(1) = -1 }\hspace{0.05cm}.$$
-Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D(4) = 0.5$ und $D(-4) = 0.5$ ergeben zusammen $D(4) = 1$.
+*Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen.
-'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu)$ aus Spalte $\boldsymbol{\rm E}$ ergeben sich als die Summen der Spalten $\boldsymbol{\rm A}$ und $\boldsymbol{\rm D}$. Deshalb wird aus der alternierenden Folge $〈d(\nu)〉$ entsprechend Teilaufgabe (4) die um 1 nach oben verschobene Folge:
+'''(5)'''&nbsp; Auch die Diskrete Fouriertransformation ist linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar.
 :$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\underline{d(0) = 2, \hspace{0.2cm}d(1) =0 }\hspace{0.05cm}. $$