Gaußsche 2D-Zufallsgrößen (Applet) - Revision history

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	{{LntAppletLink\|gauss}}		{{LntAppletLink\|gauss}}
			[[de:Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Applet)]]

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	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.~~9CT_seit_2014~~.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_since_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.~~28bei_L~~.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.~~28am_LNT_seit_1974~~.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[~~Biografien_und_Bibliografien~~/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.		*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].}}		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Theorieteil]].}}


Line 113:		Line 113:

	*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.		*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
	*Die  [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade\|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.		*Die  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade\|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.


Line 126:		Line 126:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[~~Stochastische_Signaltheorie~~/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29\|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):		$\text{Definition:}$  Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29\|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
	:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}		:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}

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	*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.		*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
	*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.		*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
	*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/~~Zweidimensionale_Zufallsgrößen~~#~~Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion~~\|Theorieteil]].}}		*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Random_Variables#Joint_probability_density_function\|Theorieteil]].}}


Line 113:		Line 113:

	*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.		*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
	*Die  [[Theory_of_Stochastic_Signals/~~Zweidimensionale_Zufallsgrößen~~#Korrelationsgerade\|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.		*Die  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Random_Variables#Korrelationsgerade\|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.


Line 136:		Line 136:
	:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg\|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$		:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg\|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
	*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:		*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$
Line 260:		Line 259:
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten~~#Prof._Dr.-Ing._habil.~~_G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29~~\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/LNTwww_members_from_LNT#Prof._Dr.-Ing._habil._Günter_Söder_(at_LNT_from_1974-2024)\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/~~An_LNTwww_beteiligte_Studierende~~#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_since_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/Students_involved_in_LNTwww#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_since_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

← Older revision		Revision as of 16:19, 28 May 2021
Line 105:		Line 105:
	Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.		Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

	<u>Ausnahme:</u>  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF\|Aufgabe 4.4]]  im Buch "Stochastische Signaltheorie~~”~~, Teilaufgabe  '''(5)'''.		<u>Ausnahme:</u>  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF\|Aufgabe 4.4]]  im Buch "Stochastische Signaltheorie", Teilaufgabe  '''(5)'''.
	[[File:Sto_App_Bild3.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]		[[File:Sto_App_Bild3.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
	Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:		Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
Line 130:		Line 130:


	Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF~~”~~ und der" 2D-VTF~~”~~:		Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF" und der" 2D-VTF":
	*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF~~”~~ und "2D–VTF~~”~~ ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:		*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF" und "2D–VTF" ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
	:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$		:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
	*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:		*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
Line 138:		Line 138:
	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$		F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF~~”~~ der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

Line 153:		Line 153:
	*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.		*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
	*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.		*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
	*Lösung nach Drücken von "Musterlösung~~”~~.		*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".
	*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.		*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
	*Für die "1D-WDF~~”~~ gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.		*Für die "1D-WDF" gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.


	Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset~~”~~:		Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset":
	*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.		*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
	*Ausgabe eines "Reset–Textes~~”~~ mit weiteren Erläuterungen zum Applet.		*Ausgabe eines "Reset–Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


Line 188:		Line 188:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	'''(5)'''  Stimmt die Aussage: "Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$~~”~~. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}		'''(5)'''  Stimmt die Aussage: "Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$". Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}

	::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.		::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
Line 236:		Line 236:
	'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart		'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

	'''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF~~”~~		'''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF"

	'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF~~”~~		'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF"

	'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)		'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

	'''(G)'''     Darstellungsbereich für "1D-WDF~~”~~ bzw. "Höhenlinien~~”~~		'''(G)'''     Darstellungsbereich für "1D-WDF" bzw. "Höhenlinien"

	'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF~~”~~)		'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF")

	'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl		'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl
Line 260:		Line 260:
	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript~~”~~ erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5~~”~~ umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).

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	Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.		Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

	<u>Ausnahme:</u>  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF\|Aufgabe 4.4]]  im Buch ~~&bdquo;~~Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  '''(5)'''.		<u>Ausnahme:</u>  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF\|Aufgabe 4.4]]  im Buch "Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  '''(5)'''.
	[[File:Sto_App_Bild3.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]		[[File:Sto_App_Bild3.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
	Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:		Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
Line 130:		Line 130:


	Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der ~~&bdquo;~~1D-VTF” und der~~&bdquo;~~ 2D-VTF”:		Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF” und der" 2D-VTF”:
	*Der Funktionalzusammenhang zwischen ~~&bdquo;~~2D–WDF” und ~~&bdquo;~~2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:		*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D–WDF” und "2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
	:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$		:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
	*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:		*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
Line 138:		Line 138:
	:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}		:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
	F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$		F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
	*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die ~~&bdquo;~~2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die "2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

Line 153:		Line 153:
	*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.		*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
	*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.		*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
	*Lösung nach Drücken von ~~&bdquo;~~Musterlösung”.		*Lösung nach Drücken von "Musterlösung”.
	*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.		*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
	*Für die ~~&bdquo;~~1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.		*Für die "1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.


	Die Nummer '''0''' entspricht einem ~~&bdquo;~~Reset”:		Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset”:
	*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.		*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
	*Ausgabe eines ~~&bdquo;~~Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.		*Ausgabe eines "Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


Line 188:		Line 188:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	'''(5)'''  Stimmt die Aussage: ~~&bdquo;~~Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}		'''(5)'''  Stimmt die Aussage: "Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}

	::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.		::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
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	'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart		'''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

	'''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von ~~&bdquo;~~1D-WDF”		'''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF”

	'''(E)'''     Darstellungsbereich für ~~&bdquo;~~2D-WDF”		'''(E)'''     Darstellungsbereich für "2D-WDF”

	'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)		'''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

	'''(G)'''     Darstellungsbereich für ~~&bdquo;~~1D-WDF” bzw. ~~&bdquo;~~Höhenlinien”		'''(G)'''     Darstellungsbereich für "1D-WDF” bzw. "Höhenlinien”

	'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (~~&bdquo;~~1D-WDF”)		'''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF”)

	'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl		'''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl
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	==Über die Autoren==		==Über die Autoren==
	Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.		Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
	*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit ~~&bdquo;~~FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).		*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29\|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29\|Günter Söder]]).
	* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf ~~&bdquo;~~HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).		* 2019 wurde das Programm von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29\|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf "HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29\|Tasnád Kernetzky]]).