Mengentheoretische Grundlagen - Revision history

Javier: Text replacement - "„" to """

2021-05-28T14:19:37Z

Text replacement - "„" to """

Javier: Text replacement - "”" to """

2021-05-28T14:18:43Z

Text replacement - "”" to """

Javier: Text replacement - "[[Informationstheorie/" to "[[Information_Theory/"

2020-07-09T12:34:37Z

Text replacement - "[[Informationstheorie/" to "[[Information_Theory/"

Javier: Text replacement - "[[Stochastische_Signaltheorie/" to "[[Theory_of_Stochastic_Signals/"

2020-07-09T09:46:05Z

Text replacement - "[[Stochastische_Signaltheorie/" to "[[Theory_of_Stochastic_Signals/"

Tasnad: Text replacement - "[File:" to "[File:"

2020-05-26T14:09:28Z

Text replacement - "[File:" to "[File:"

Guenter: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Header |Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung |Vorherige Seite=Einige grundlegende Definitionen |Nächste Seite=Statistische Abhängigkeit und Unabhängigke…“

2019-12-19T16:40:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Header |Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung |Vorherige Seite=Einige grundlegende Definitionen |Nächste Seite=Statistische Abhängigkeit und Unabhängigke…“

New page

{{Header
|Untermenü=Wahrscheinlichkeitsrechnung
|Vorherige Seite=Einige grundlegende Definitionen
|Nächste Seite=Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit
}}
==Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge==
 
[[File:P_ID1442__Sto_T_1_2_S1.png | right|frame|Mengendarstellung im Venndiagramm]]
In späteren Kapitel wird manchmal auf die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre Mengenlehre]  Bezug genommen.  Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst werden.  Die Thematik wird auch im Lernvideo  [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]  am Beispiel europäischer Staaten behandelt.

Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das  '''Venndiagramm'''  gemäß der Grafik:
*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse  $A_i$  als Flächenbereiche dargestellt.  Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit  $A_1$,  $A_2$  und  $A_3$, sondern mit  $A$,  $B$  und  $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge  $G$.
*Die Grundmenge  $G$  beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das  '''Sichere Ereignis''', das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:   ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels” die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.
*Dagegen beinhaltet die  '''Leere Menge'''  $ϕ$  kein einziges Element.  Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das  '''Unmögliche Ereignis'''  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(ϕ) = 0$  an.  Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”' die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.

Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis  $A$  mit  ${\rm Pr}(A) = 0$  wirklich nie eintreten kann:
*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert  $n$  ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt  ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn  $n$  durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.
*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich), dass irgendwann auch der exakte Rauschwert  $n = 0$  auftritt.

==Vereinigungsmenge==
 
Anhand des Venndiagramms werden nun einige mengentheoretische Verknüpfungen erläutert.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Vereinigungsmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch: ''Set Union'' ).  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$

In der Literatur ist auch die Bezeichnung  ''Summenmenge''  gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.  In unserem Tutorial verwenden wir jedoch ausschließlich das  $∪$-Zeichen.}}

[[File: P_ID1443__Sto_T_1_2_S2_neu.png |right|frame| Vereinigungsmenge im Venndiagramm]]
Anhand der Grafik sind die folgenden Gesetzmäßigkeiten der Mengenlehre leicht einzusehen:
:$$A \cup \it \phi = A \rm \hspace{3.6cm}(Vereinigung \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
:$$A\cup G = G \rm \hspace{3.6cm}(Vereinigung \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
:$$A\cup A = A \hspace{3.6cm}(\rm Tautologiegesetz),$$
:$$A\cup B = B\cup A \hspace{2.75cm}(\rm Kommutativgesetz),$$
:$$(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C) \hspace{0.45cm}(\rm Assoziativgesetz).$$

Ist über die Ereignismengen  $A$  und  $B$  nichts weiter bekannt, so können für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge nur eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
:$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$

*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn  $A$  eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]  von  $B$  ist oder umgekehrt.
*Die obere Schranke gilt für  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$  Betrachtet man die beiden Ereignisse
* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,

so beinhaltet die Vereinigungsmenge vier Elemente:   $(A \cup B) = \{2, 4, 5, 6 \}$   ⇒   ${\rm Pr} (A \cup B) = 4/6 = 2/3$.
*Die untere Schranke ergibt sich zu  ${\rm Pr} (A \cup B) \ge {\rm Max}\big({\rm Pr} (A),\ {\rm Pr} (B)\big ) = 3/6.$
*Für die obere Schranke gilt  $ {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B) = 5/6.$}}

==Schnittmenge==
 
Eine weitere wichtige mengentheoretische Verknüpfung stellt die Schnittmenge dar.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Schnittmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle diejenigen Elemente, die sowohl in der Menge  $A$  als auch in der Menge  $B$  enthalten sind  (englisch: ''Intersecting Set'' ). Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
:$$C = A \cap B \hspace{0.2cm}(= A \cdot B).$$

In der Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung ''Produktmenge''  gebräuchlich und man verwendet teilweise das Multiplikationssymbol. }}

[[File:P_ID17__Sto_T_1_2_S3.png |right|frame| Schnittmenge im Venndiagramm]]
In der Grafik ist die Schnittmenge violett dargestellt.  Analog zur Vereinigungsmenge sind hier folgende Gesetzmäßigkeiten zu nennen:
:$$A \cap \it \phi = \it \phi \rm \hspace{3.75cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}leeren \hspace{0.15cm}Menge),$$
:$$A \cap G = A \rm \hspace{3.6cm}(Schnitt \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}der \hspace{0.15cm}Grundmenge),$$
:$$A\cap A = A \rm \hspace{3.6cm}(Tautologiegesetz),$$
:$$A\cap B = B\cap A \rm \hspace{2.75cm}(Kommutativgesetz),$$
:$$(A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \rm \hspace{0.45cm}(Assoziativgesetz).$$
 
*Ist über  $A$  und  $B$  nichts weiter bekannt, so kann für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge keine Aussage getroffen werden.
*Gilt jedoch  ${\rm Pr} (A) \le 1/2$  und gleichzeitig  ${\rm Pr} (B) \le 1/2$, so kann eine untere und eine obere Schranke angegeben werden:
:$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big({\rm Pr} (A),\ {\rm Pr} (B)\big ).$$

*${\rm Pr}(A ∩ B)$  wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit” genannt und mit  ${\rm Pr}(A, \ B)$  bezeichnet.
*${\rm Pr}(A ∩ B)$  ist gleich der oberen Schranke, wenn  $A$  eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]  von  $B$  ist oder umgekehrt.
*Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten wieder die beiden Ereignisse
* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich  $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$, und
* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig”$ = \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,

Die Schnittmenge beinhaltet nur ein einziges Element:   $(A ∩ B) = \{ 6 \}$   ⇒   ${\rm Pr} (A ∩ B) = 1/6$.
*Die obere Schranke ergibt sich zu  ${\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big ({\rm Pr} (A), \, {\rm Pr} (B)\big ) = 2/6.$
*Die untere Schranke der Schnittmenge ist hier wegen  ${\rm Pr} (A) \le 1/2$  und  ${\rm Pr} (B) \le 1/2$  gleich Null.}}

==Komplementärmenge==
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''Komplementärmenge'''  (englisch:  ''Complementary Set'')  von  $A$  wird oft durch eine überstreichende Linie  $(\overline{A})$  gekennzeichnet.  Sie beinhaltet alle die Elemente, die in der Menge  $A$  nicht enthalten sind, und es gilt für deren Wahrscheinlichkeit:
:$${\rm Pr}(\overline{A}) = 1- {\rm Pr}(A).$$}}

[[File:P_ID460__Sto_T_1_2_S4.png | right|frame|Komplementärmenge im Venndiagramm]]
Im dargestellten Venndiagramm ist die zu  $A$  komplementäre Menge schraffiert dargestellt.  Aus diesem Schaubild sind einige mengentheoretische Beziehungen zu erkennen:
*Die Komplementärmenge der komplementären Menge von  $A$  ist die Menge  $A$  selbst:
:$$\overline{\overline{A}} = A.$$
*Die Vereinigungsmenge einer Menge  $A$  mit ihrer Komplentärmenge ergibt die Grundmenge:
:$${\rm Pr}(A \cup \overline{A}) = {\rm Pr}(G) = \rm 1.$$
*Die Schnittmenge von $A$ mit ihrer Komplementärmenge ergibt die leere Menge:
:$${\rm Pr}(A \cap \overline{A}) = {\rm Pr}({\it \phi}) \rm = 0.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$  Ausgehend von der Menge
* $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als  $5$” $= \{1, 2, 3, 4\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/3$

lautet die zugehörige Komplentärmenge:
* $\overline{A} :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich  $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (\overline{A})= 1 - {\rm Pr} (A) = 1 - 2/3 = 1/3.$}}

==Echte Teilmenge – Unechte Teilmenge==
 
[[File:P_ID19__Sto_T_1_2_S5.png | right|frame| Teilmengen im Venndiagramm]]
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$  Man nennt  $A$  eine  '''echte Teilmenge'''  von  $B$  (englisch:  ''Strict Subset'')  und schreibt hierfür  $A ⊂ B$,
*wenn alle Elemente von  $A$  auch in  $B$  enthalten sind,
*aber nicht gleichzeitig alle Elemente von  $B$  auch in  $A$.

In diesem Fall gilt für die Wahrscheinlichkeiten:
:$${\rm Pr}(A) < {\rm Pr}(B).$$

Diese mengentheoretische Relation wird durch das skizzierte Venndiagramm veranschaulicht.

Dagegen bezeichnet man  $A$  als eine  '''unechte Teilmenge'''  von  $B$  und verwendet die Notation
:$$A \subseteq B = (A \subset B) \cup (A = B),$$
wenn  $A$  entweder eine echte Teilmenge von  $B$  ist oder wenn  $A$  und  $B$  gleiche Mengen sind.

*Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann die Größenrelation  ${\rm Pr} (A) \le {\rm Pr} (B)$.
*Das Gleichheitszeichen gilt nur für den Sonderfall  $A = B$.}}

Daneben gelten aber auch die beiden als  '''Absorptionsgesetze'''  bekannten Gleichungen:
:$$(A \cap B) \cup A = A ,$$
:$$(A \cup B) \cap A = A,$$

da die Schnittmenge  $A ∩ B$  stets eine Teilmenge von  $A$  ist, aber gleichzeitig auch  $A$  eine Teilmenge der Vereinigungsmenge  $A ∪ B$  ist.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels”   ⇒   $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 3/6$, und
* $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 4/6$.

Man erkennt, dass  $A$  eine (echte) Teilmenge der Menge  $B$  ist.  Dementsprechend gilt auch  ${\rm Pr} (A) < {\rm Pr} (B).$ }}

==Theoreme von de Morgan==
 
[[File:P_ID23__Sto_T_1_2_S6.png |frame| Zu den Theoremen von de Morgan | rechts]]
Bei vielen Aufgaben aus der Mengenlehre sind die beiden Theoreme von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan de Morgan]  äußerst nützlich. Diese lauten:
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},$$
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

Diese Gesetzmäßigkeiten sind im Schaubild veranschaulicht:
*Die Menge  $A$  ist rot dargestellt und die Menge  $B$  blau.
*Die Komplentärmenge  $\overline {A}$  von  $A$  ist in horizontaler Richtung schraffiert.
*Die Komplentärmenge  $\overline {B}$  von  $B$  ist in vertikaler Richtung schraffiert.
*Das Komplement  $\overline{A \cup B}$  der Vereinigungsmenge  ${A \cup B}$  ist sowohl horizontal als auch vertikal schraffiert.
*Es ist damit gleich der Schnittmenge  $\overline{A} \cap \overline{B}$  der beiden Komplentärmengen von  $A$  und  $B$:
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$$

Auch die zweite Form des de Morgan-Theorems lässt sich mit diesem Venndiagramm grafisch verdeutlichen:

*Die Schnittmenge  $A ∩ B$  (im Bild violett dargestellt) ist weder horizontal noch vertikal schraffiert.
*Das Komplement  $\overline{A ∩ B}$  der Schnittmenge ist dementsprechend entweder horizontal, vertikal oder in beiden Richtungen schraffiert.
*Nach dem zweiten Theorem von de Morgan ist das Komplement der Schnittmenge gleich der Vereinigungsmenge der beiden Komplentärmengen von  $A$  und  $B$:
:$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 5:}$  Wir betrachten die beiden Mengen
* $A : =$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$,
* $B : =$ „die Augenzahl ist größer als  $2$” $= \{3, 4, 5, 6\}$.

Daraus folgen die beiden komplementären Mengen
* $\overline {A} : =$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$,
* $\overline {B} : =$ „die Augenzahl ist kleiner als  $3$” $= \{1, 2\}$.

Weiter erhält man mit den obigen Theoremen die folgenden Teilmengen:
:$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{2\}\hspace{0.5 cm}\rm und \hspace{0.5cm} \overline{\it A \cap \it B} =\overline{\it A} \cup \overline{\it B} = \{1,2,4,6\}.$$}}

==Disjunkte Mengen==
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Zwei Mengen  $A$  und  $B$  nennt man  '''disjunkt'''  (englisch:  ''disjoint'')  oder  '''miteinander unvereinbar''',
*wenn es kein einziges Element gibt,
*das sowohl in  $A$  als auch in  $B$  enthalten ist.}}

[[File:P_ID433__Sto_T_1_2_S7.png |frame| Disjunkte Mengen im Venndiagramm | rechts]]
Das Schaubild zeigt zwei disjunkte Mengen  $A$  und  $B$  im Venndiagramm.

In diesem Sonderfall gelten die folgenden Aussagen:
*Die Schnittmenge zweier disjunkter Mengen  $A$  und  $B$  ergibt stets die leere Menge:
:$${\rm Pr}(A \cap B) = {\rm Pr}(\phi) = \rm 0.$$
*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen  $A$  und  $B$  ist immer gleich der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten:
:$${\rm Pr}( A \cup B) = {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B).$$
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 6:}$  Bei unserem Standardexperiment sind die beiden Mengen
* $A :=$ „die Augenzahl ist kleiner als  $3$”$ = \{1, 2\}$   ⇒   ${\rm Pr}( A) = 2/6$, und
* $B :=$ „die Augenzahl ist größer als  $3$” $ = \{4, 5,6\}$   ⇒   ${\rm Pr}( B) = 3/6$

zueinander disjunkt, da  $A$  und  $B$  kein einziges gemeinsames Element beinhalten.
*Die Schnittmenge ergibt die leere Menge:  ${A \cap B} = \phi$.
*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge  ${A \cup B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$  ist gleich  ${\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B) = 5/6.$}}

==Additionstheorem==
 
Nur bei disjunkten Mengen  $A$  und  $B$  gilt für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge der Zusammenhang  ${\rm Pr}( A \cup B) = {\rm Pr}( A) + {\rm Pr}(B)$.  Wie errechnet sich diese Wahrscheinlichkeit aber bei allgemeinen, nicht notwendigerweise disjunkten Ereignissen?

[[File:P_ID21__Sto_T_1_2_S8.png | right|frame| Zum Additionstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
Betrachten Sie das rechte Venndiagramm mit der violett dargestellten Schnittmenge  $A ∩ B$.
*Die rote Menge beinhaltet alle Elemente, die zu  $A$  gehören, aber nicht zu  $B$.
*Die Elemente von  $B$, die nicht gleichzeitig in  $A$  enthalten sind, sind blau dargestellt.
*Alle roten, blauen und violetten Flächen zusammen ergeben die Vereinigungsmenge  $A ∪ B$.

Aus dieser mengentheoretischen Darstellung erkennt man folgende Zusammenhänge:
:$${\rm Pr}(A) \hspace{0.8cm}= {\rm Pr}(A \cap B) + {\rm Pr}(A \cap \overline{B}),$$
:$${\rm Pr}(B) \hspace{0.8cm}= {\rm Pr}(A \cap B) \rm +{\rm Pr}(\overline{A} \cap {B}),$$
:$${\rm Pr}(A \cup B) ={\rm Pr}(A \cap B) +{\rm Pr} ({A} \cap \overline{B}) \rm + {\rm Pr}(\overline{A} \cap {B}).$$

Addiert man die ersten beiden Gleichungen und subtrahiert davon die dritte, so erhält man:
:$${\rm Pr}(A) \rm +{\rm Pr}(B) -{\rm Pr}(A \cup B) = {\rm Pr}(A \cap B).$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Durch Umstellen dieser Gleichung kommt man zum sogenannten  '''Additionstheorem'''  (englisch:  ''Addition Rule'')  für zwei beliebige, nicht notwendigerweise disjunkte Ereignisse:
:$${\rm Pr}(A \cup B) = {\rm Pr}(A) + {\rm Pr}(B) - {\rm Pr}(A \cap B).$$}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 7:}$  Wir betrachten die beiden Mengen
* $A :=$ „die Augenzahl ist ungeradzahlig” $= \{1, 3, 5\}$   ⇒   ${\rm Pr}(A) = 3/6$, und
* $B :=$ „die Augenzahl ist größer als  $2$”$ = \{3, 4, 5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr}(B) = 4/6$.

Damit ergeben sich für die Wahrscheinlichkeiten
*der Vereinigungsmenge   ⇒   ${\rm Pr}(A ∪ B) = 5/6$, und
*der Schnittmenge   ⇒   ${\rm Pr}(A ∩ B) = 2/6$.

Die Zahlenwerte zeigen die Gültigkeit des Additionstheorems:   $5/6 = 3/6 + 4/6 − 2/6$.}}

==Vollständiges System==
 
Im letzten Abschnitt zu diesem Kapitel betrachten wir wieder mehr als zwei mögliche Ereignisse, nämlich allgemein  $I$.  Diese Ereignisse werden im Folgenden mit  $A_i$  bezeichnet, und es gilt für den Laufindex:   $1 ≤ i ≤ I$.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Eine Konstellation mit den Ereignissen  $A_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_i, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , A_I$  bezeichnet man dann und nur dann als ein  '''vollständiges System''', wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

'''(1)'''   Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt:
:$$A_i \cap A_j = \it \phi \hspace{0.15cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}alle\hspace{0.15cm}\it i \ne j.$$
'''(2)'''   Die Vereinigung aller Ereignismengen ergibt die Grundmenge:
:$$\bigcup_{i=1}^{I} A_i = G.$$}}

Aufgrund dieser beiden Voraussetzungen gilt dann für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten:
:$$\sum_{i =1}^{ I} {\rm Pr}(A_i) = 1.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 8:}$  Die Ereignismengen  $A_1 := \{1, 5\}$  und  $A_2 := \{2, 3\}$  ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels” zusammen mit der Menge  $A_3 := \{4, 6\}$  ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel”.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 9:}$  Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße  $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
:$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm},
\hspace{0.2cm}p_2 = {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$

Die möglichen Ergebnisse  $x_i$  der Zufallsgröße  $X$  sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$  liefert grundsätzlich das Ergebnis  $1$.}}

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 10:}$  Es gelte  $X= \{0, 1, 2 \}$  und  $P_X (X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$. Dann gilt:
:$${\rm Pr}(X=0) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=1) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=2) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$

Bei der Zufallsgröße  $X = \{1, \pi, {\rm e} \}$  und gleichem  $P_X(X) = \big[0.2, \ 0.5, \ 0.3\big]$  lauten die Zuordnungen:
:$${\rm Pr}(X=1) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X=\pi) = 0.5 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X={\rm e}) = 0.3 \hspace{0.05cm}.$$

''Hinweise:''
*Die  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]  $P_X(X)$  macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  der Zufallsgröße  $X$.
*Diese zusätzliche Information liefert die  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]  (WDF).}}

==Aufgaben zum Kapitel==
 
[[Aufgaben:1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)|Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)]]

[[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]

[[Aufgaben:1.3 Fiktive_Uni_Irgenwo|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgenwo]]

[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]

{{Display}}

@@ Line 78: / Line 78: @@
 :$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big({\rm Pr} (A),\  {\rm Pr} (B)\big ).$$
-*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit" genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
+*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch "Verbundwahrscheinlichkeit" genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
 *${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; ist gleich der oberen Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp;  von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
 *Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
@@ Line 146: / Line 146: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels"  &nbsp; &rArr; &nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment "Werfen eines Würfels"  &nbsp; &rArr; &nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse
 * $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 3/6$,  und
 * $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 4/6$.
@@ Line 270: / Line 270: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen&nbsp; $A_1 := \{1, 5\}$&nbsp; und&nbsp; $A_2 := \{2, 3\}$&nbsp; ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels" zusammen mit der Menge&nbsp; $A_3 := \{4, 6\}$&nbsp; ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel".}}
+$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen&nbsp; $A_1 := \{1, 5\}$&nbsp; und&nbsp; $A_2 := \{2, 3\}$&nbsp; ergeben beim Zufallsexperiment "Werfen eines Würfels" zusammen mit der Menge&nbsp; $A_3 := \{4, 6\}$&nbsp; ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment "Werfen einer Roulettekugel".}}

@@ Line 78: / Line 78: @@
 :$$0 \le {\rm Pr} (A ∩ B) \le {\rm Min}\ \big({\rm Pr} (A),\  {\rm Pr} (B)\big ).$$
-*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit&rdquo; genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
+*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit" genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
 *${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; ist gleich der oberen Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp;  von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
 *Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
@@ Line 146: / Line 146: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;  &nbsp; &rArr; &nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten bei unserem Standardexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels"  &nbsp; &rArr; &nbsp; $G =  \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ nun die beiden Ereignisse
 * $A :=$ „die Augenzahl ist ungerade”$ = \{1, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 3/6$,  und
 * $B :=$ „die Augenzahl ist eine Primzahl” $= \{1, 2, 3, 5\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 4/6$.
@@ Line 270: / Line 270: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen&nbsp; $A_1 := \{1, 5\}$&nbsp; und&nbsp; $A_2 := \{2, 3\}$&nbsp; ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo; zusammen mit der Menge&nbsp; $A_3 := \{4, 6\}$&nbsp; ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo;.}}
+$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die Ereignismengen&nbsp; $A_1 := \{1, 5\}$&nbsp; und&nbsp; $A_2 := \{2, 3\}$&nbsp; ergeben beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen eines Würfels" zusammen mit der Menge&nbsp; $A_3 := \{4, 6\}$&nbsp; ein vollständiges System, nicht jedoch beim Experiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel".}}

@@ Line 274: / Line 274: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
+$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden&nbsp; [[Information_Theory/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
 :$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm},
@@ Line 291: / Line 291: @@
 ''Hinweise:''
-*Die&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp;  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.
+*Die&nbsp; [[Information_Theory/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp;  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.
 *Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF).}}

@@ Line 41: / Line 41: @@
 :$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le   {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$
-*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
+*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
-*Die obere Schranke gilt für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].
+*Die obere Schranke gilt für&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].
@@ Line 79: / Line 79: @@
 *${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit&rdquo; genannt und mit&nbsp; ${\rm Pr}(A, \ B)$&nbsp; bezeichnet.
-*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; ist gleich der oberen Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp;  von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
+*${\rm Pr}(A ∩ B)$&nbsp; ist gleich der oberen Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp;  von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
-*Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
+*Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].
@@ Line 292: / Line 292: @@
 ''Hinweise:''
 *Die&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp;  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.
-*Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF).}}
+*Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF).}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

← Older revision	Revision as of 14:09, 26 May 2020
(No difference)