WDF und VTF bei Gaußschen 2D-Zufallsgrößen - Revision history

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Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen $XY\hspace…“

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==Programmbeschreibung==
 
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen  $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)  $\sigma_X$  und  $\sigma_Y$  ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{XY}$ zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:  $m_X = m_Y = 0$.

Das Applet zeigt
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
* die zugehörige Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  $f_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$  als blaue Kurve; ebenso  $f_{Y}(y)$  für die zweite Zufallsgröße,
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$  als 3D-Plot,
* die Verteilungsfunktion  ⇒   $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  $F_{X}(x)$  der Zufallsgröße  $X$; ebenso  $F_{Y}(y)$  als rote Kurve.

Das Applet verwendet das Framework  [https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]

==Theoretischer Hintergrund==
 
===Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion   ⇒   2D–WDF===

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer  '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''  $XY =(X, Y)$  zusammenzufassen. Dann gilt:

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$ 
Die  '''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''  ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF,  englisch:  ''Probability Density Function'', kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  an der Stelle  $(x, y)$:
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
*$∩$  kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
*$X$  und  $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und  $x \in X$  sowie   $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}

Anhand dieser 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße  $XY$  vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen   ⇒   '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''':
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen  $f_X(x)$  und  $f_Y(y)$
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten  $X$  bzw.  $Y$,
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen   ⇒   '''Korrelation'''  verwendet man
* die  '''Kovarianz'''  $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y ,$$
*den  '''Korrelationskoeffizienten'''  nach Normierung auf die beiden Effektivwerte  $σ_X$  und $σ_Y$  der beiden Komponenten:
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$ 
*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
*Sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$ unkorreliert, so ist  $ρ_{XY} = 0$.
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $X$  und  $Y$ ist  $ρ_{XY}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $X$–Wert im statistischen Mittel auch  $Y$  größer ist als bei kleinerem  $X$.
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $Y$  mit steigendem  $X$  im Mittel kleiner wird.}}
 

===2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen===

Für den Sonderfall  '''Gaußscher Zufallsgrößen'''  – der Name geht auf den Wissenschaftler  [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]  zurück – können wir weiterhin vermerken:
*Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße  $XY$  mit Mittelwerten  $m_X = 0$  und  $m_Y = 0$  sowie dem Korrelationskoeffizienten  $ρ = ρ_{XY}$  lautet:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$
*Ersetzt man  $x$  durch  $(x - m_X)$  sowie  $y$  durch  $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{X}(x)$  und  $f_{Y}(y)$  einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen  $σ_X$  bzw.  $σ_Y$.
*Bei unkorrelierten Komponenten  $X$  und  $Y$ muss in obiger Gleichung  $ρ = 0$  eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF  $f_{XY}(x, y)$  folgt aus der  ''Unkorreliertheit''  auch direkt die  ''statistische Unabhängigkeit:''
:$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:
*Bei keiner anderen WDF kann aus der  ''Unkorreliertheit''  auf die  ''statistische Unabhängigkeit''  geschlossen werden.
*Man kann aber stets   ⇒   für jede beliebige 2D–WDF  $f_{XY}(x, y)$  von der  ''statistischen Unabhängigkeit''  auf die  ''Unkorreliertheit''  schließen, weil:
*Sind zwei Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''  Abhängigkeiten   ⇒   sie sind dann auch unkorreliert  ⇒   $ρ = 0$. }}
 
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===

[[File:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
Aus der Bedingungsgleichung  $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$  können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten  $X$  und  $Y$ unkorreliert  $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
*'''Kreise'''  (falls  $σ_X = σ_Y$,   grüne Kurve), oder
*'''Ellipsen'''  (für  $σ_X ≠ σ_Y$,   blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.
 
===Korrelationsgerade===

Als  '''Korrelationsgerade'''  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften:
[[File:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und Korrelationsgerade  $y = K(x)$]]

*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Messpunkte gemittelt – ist minimal:
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$

*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$

===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===

Bei korrelierten Komponenten  $(ρ_{XY} ≠ 0)$  sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall  $σ_X = σ_Y$.

Ausnahme:  $ρ_{XY}=\pm 1$   ⇒   Diracwand; siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]  im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe  '''(5)'''.
[[File:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.

*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
*Die  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]  $K(x)$  ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten  $ρ_{XY}$  auch vom Verhältnis der beiden Streuungen  $σ_X$  und  $σ_Y$  ab.
*Der Neigungswinkel  $α$  der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der  $x$–Achse hängt ebenfalls von  $σ_X$,  $σ_Y$  und  $ρ_{XY}$  ab:
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
*Die (rote) Korrelationsgerade  $y = K(x)$  einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
* $K(x)$  kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.
 
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion   ⇒   2D–VTF===

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$  Die  '''2D-Verteilungsfunktion'''  ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]  (VTF):
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$}}

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF” und der&bdquo; 2D-VTF”:
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D–WDF” und &bdquo;2D–VTF” ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach  $x$  und  $y$  angeben:
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
*Bezüglich der Verteilungsfunktion  $F_{XY}(x, y)$  gelten folgende Grenzwerte:
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
*Im Grenzfall $($unendlich große  $x$  und  $y)$  ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF” der Wert  $1$. Daraus erhält man die  '''Normierungsbedingung'''  für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$  Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 

==Versuchsdurchführung==
 
[[File:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung”.
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir  $\rho$  anstelle von  $\rho_{XY}$.
*Für die &bdquo;1D-WDF” gilt:  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.

Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset”:
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines &bdquo;Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''  Machen Sie sich anhand der Voreinstellung  $(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$  mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für  $\rm WDF$  und  $\rm VTF$.}}

::* $\rm WDF$  ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei  $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der  $x$–Achse.
::* $\rm VTF$  ergibt sich aus  $\rm WDF$  durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu  $1)$  tritt bei  $x=3, \ y=3$  auf.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''  Nun lautet die Einstellung  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 0)$  und  $F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Das WDF–Maximum ist  $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen  $\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
::* Für den VTF-Wert gilt:  $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''  Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(0,\ 1)$  und  $F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Es gilt  $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}] \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
::* Das Programm liefert  $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''  Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für  $f_{XY}(1,\ 0)$  und  $F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}

::* Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''  Stimmt die Aussage: &bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für  $\rho \ne 0$”. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  für  $\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$  und  $\rho = 0$.}}

::* Nein! Auch für  $\ \rho = 0$  sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls  $\sigma_X \ne \sigma_Y$.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  hat die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur  $x$–Achse, für $\sigma_X \ll \sigma_Y$  parallel zur  $y$–Achse.
::* Für $\sigma_X \gg \sigma_Y$  ist der Anstieg der  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$  in Richtung der  $y$–Achse deutlich steiler als in Richtung der  $x$–Achse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\alpha$  der Ellipsen–Hauptachse?}}

::* Für  $\rho > 0$  ist  $\alpha = 45^\circ$  und für  $\rho < 0$  ist  $\alpha = -45^\circ$. Für  $\rho = 0$  sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen–Hauptachse.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$  den Korrelationskoeffizienten  $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel  $\theta$  der Korrelationsgeraden  $K(x)$?}}

::* Für  $\sigma_X=\sigma_Y$  ist  $\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem  $\rho > 0$  zu. In allen Fällen gilt  $\theta < \alpha = 45^\circ$. Für  $\rho = 0.7$  ergibt sich  $\theta = 35^\circ$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''  Variieren Sie ausgehend von  $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  die Parameter  $\sigma_Y$  und  $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel  $\alpha$  und  $\theta$?}}

::* Für  $\sigma_Y<\sigma_X$  ist  $\alpha < 45^\circ$  und für  $\sigma_Y>\sigma_X$  dagegen  $\alpha > 45^\circ$.
::* Bei allen Einstellungen gilt:  '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen–Hauptachse'''.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''  Gehen Sie von  $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$  aus und variieren Sie  $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}

::* Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''  Nun gelte  $\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall  $\rho \to 1$  zutreffen?}}

::* Die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen–Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:  $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
::* Im Grenzfall  $\rho \to 1$  wäre  $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die  $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$  keine Anteile. Das heißt:
::* Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''  ⇒   Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.

==Zur Handhabung des Applets==
 
[[File:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
    '''(A)'''     Parametereingabe per Slider:  $\sigma_X$,  $\sigma_Y$ und  $\rho$

    '''(B)'''     Auswahl:  Darstellung von WDF oder VTF

    '''(C)'''     Reset:  Einstellung wie beim Programmstart

    '''(D)'''     Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF”

    '''(E)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF”

    '''(F)'''     Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)

    '''(G)'''     Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF” bzw. &bdquo;Höhenlinien”

    '''(H)'''     Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF”)

    '''( I )'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl

    '''(J)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenstellung

    '''(K)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung einblenden

    '''( L)'''     Bereich für die Versuchsdurchführung: Musterlösung
 
Werte–Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)
 

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
* 2019 wurde das Programm von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf &bdquo;HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|gauss}}

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 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_since_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28at_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28at_LNT_since_1974.29|Günter Söder]]).
 * 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{XY} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_X = σ_Y$.
-<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch "Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
+<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch "Stochastische Signaltheorie", Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
 [[File:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
@@ Line 130: / Line 130: @@
-Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF&rdquo; und der" 2D-VTF&rdquo;:
+Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF" und der" 2D-VTF":
-*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF&rdquo; und "2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
+*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF" und "2D&ndash;VTF" ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 :$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
@@ Line 138: / Line 138: @@
 :$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
-*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF" der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
@@ Line 153: / Line 153: @@
 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von "Musterlösung&rdquo;.
+*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".
 *Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
-*Für die "1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
+*Für die "1D-WDF" gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
-Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset&rdquo;:
+Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset":
 *Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
-*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
+*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
@@ Line 188: / Line 188: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;"Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
+'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;"Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$". Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
 ::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
@@ Line 236: / Line 236: @@
 &nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF"
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF"
 &nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "1D-WDF&rdquo; bzw. "Höhenlinien&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "1D-WDF" bzw. "Höhenlinien"
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF&rdquo;)
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF")
 &nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl
@@ Line 260: / Line 260: @@
 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{XY} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_X = σ_Y$.
-<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
+<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch "Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
 [[File:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
@@ Line 130: / Line 130: @@
-Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF&rdquo; und der&bdquo; 2D-VTF&rdquo;:
+Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der "1D-VTF&rdquo; und der" 2D-VTF&rdquo;:
-*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
+*Der Funktionalzusammenhang zwischen "2D&ndash;WDF&rdquo; und "2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:
 :$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta   .$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
@@ Line 138: / Line 138: @@
 :$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
-*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die "2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
@@ Line 153: / Line 153: @@
 *Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
-*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
+*Lösung nach Drücken von "Musterlösung&rdquo;.
 *Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
-*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
+*Für die "1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
-Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
+Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset&rdquo;:
 *Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
-*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
+*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;&bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
+'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;"Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
 ::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
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 &nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
-&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von "1D-WDF&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "2D-WDF&rdquo;
 &nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
-&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;
+&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für "1D-WDF&rdquo; bzw. "Höhenlinien&rdquo;
-&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
+&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik ("1D-WDF&rdquo;)
 &nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl
@@ Line 260: / Line 260: @@
 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
-*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
+*Die erste Version wurde 2003 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
+* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).

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 *$∩$&nbsp; kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
 *$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
-*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}
+*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}
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 *Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
-*Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet.
+*Die&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet.
@@ Line 126: / Line 126: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF):
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF):
 :$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$}}