Zusatzaufgaben:1.1 Einfaches Pfadverlustmodell - Revision history

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−	~~{{quiz-Header\|Buchseite=Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung~~
−	}}
−
−	~~[[File:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png\|right\|frame\|Bandbreitenorganisation bei DSL]]~~
−	~~Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das sog. Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:~~
−	~~:$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$~~
−	~~:$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in $dB$. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:~~
−	* die Distanz $d$ von Sender und Empfänger,
−	* die Bezugsentfernung $d_0 = 1 \ \rm m$,
−	* der Pfadverlustexponent $\gamma$,
−	* die Wellenlänge $\lambda$ der elektromagnetischen Welle.
−
−	~~Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$:~~
−	~~:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte <i>Freiraumdämpfung</i>, charakterisiert durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$. Die Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt allerdings nur im <i>Fernfeld</i>, also wenn der Abstand $d$ zwischen Sender und Empfänger größer ist als die &bdquo;Fraunhofer–Distanz”
−	~~:$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$–Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:~~
−	~~:$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~''Hinweis:''~~
−	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung\|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
−	* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$.
−
−
−
−	~~===Fragebogen===~~
−
−	~~<quiz display=simple>~~
−	~~{Welche Pfadverlustexponenten gelten für die Szenarien (A) und (B)?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$\gamma_{\rm A}$ = { 2 3% }~~
−	~~$\gamma_{\rm B}$ = { 2.5 3% }~~
−
−	~~{Welches Szenario beschreibt die Freiraumdämpfung?~~
−	~~\|type="[]"}~~
−	~~+ Szenario (A),~~
−	~~- Szenario (B).~~
−
−	~~{Welche Signalfrequenzen liegen den Szenarien (A) und (B) zugrunde?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$f_{\rm A}$ = { 240 3% } $\ \rm MHz$~~
−	~~$f_{\rm B}$ = { 151.4 3% } $\ \rm MHz$~~
−
−	~~{Gilt das Freiraum–Szenario für alle Distanzen zwischen $1 \ \rm m$ und $10 \ \rm km$?~~
−	~~\|type="()"}~~
−	~~+ Ja,~~
−	~~- Nein.~~
−	~~</quiz>~~
−
−	~~===Musterlösung===~~
−	~~{{ML-Kopf}}~~
−	~~'''(1)'''  Die (einfachste) Pfadverlustgleichung lautet:~~
−	~~:$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~Beim Szenario (A) beträgt der Abfall pro Dekade (zum Beispiel zwischen $d_0 = 1 \ \rm m$ und $d = 10 \ \rm m$) genau $20 \ \rm dB$ und beim Szenario (B) $25 \ \rm dB$. Daraus folgt:~~
−	~~:$$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−
−	~~'''(2)'''  Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ gekennzeichnet ist.~~
−
−
−	~~'''(3)'''  Der Pfadverlust bei $d_0 = 1 \ \rm m$ ist in beiden Fällen $V_0 = 20 \ \rm dB$. Beim Szenario (A) gilt weiter:~~
−	~~:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}~~
−	~~\frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}} = 10 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}~~
−	~~\lambda_{\rm A} = 4 \pi \cdot 0.1\,{\rm m} = 1.257\,{\rm m}~~
−	~~\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~Die Frequenz $f_{\rm A}$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda_{\rm A}$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ zusammen:~~
−	~~:$$f_{\rm A} = \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}} = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz}~~
−	~~\hspace{0.15cm} \underline{\approx 240 \,\,{\rm MHz}}~~
−	~~\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−	~~Dagegen gilt für das Szenario (B):~~
−	:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$
−	~~:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31~~
−	~~\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}~~
−	~~{\lambda_{\rm B}} = \frac{10}{6.31} \cdot {\lambda_{\rm A}}$$~~
−	~~:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}~~
−	~~{f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 151.4 \,\,{\rm MHz}}~~
−	~~\hspace{0.05cm}.$$~~
−
−
−	'''(4)'''  Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Beim Freiraum–Szenario (A) beträgt die Fraunhofer–Distanz $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$. Es gilt also stets $d > d_{\rm F}$. Auch beim Szenario (B) ist wegen $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$ bzw. $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$ der gesamte dargestellte Verlauf richtig.
−	~~{{ML-Fuß}}~~
−
−
−
−	~~[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation\|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung^]]~~

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-−
 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung
 }}
-[[File:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png|right|frame]]
+[[File:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png|right|frame|Bandbreitenorganisation bei DSL]]
 Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das sog. Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:
 :$$V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
 :$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in dB. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:
+Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in $dB$. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:
 * die Distanz $d$ von Sender und Empfänger,
 * die Bezugsentfernung $d_0 = 1 \ \rm m$,
 * der Pfadverlustexponent $\gamma$,
 * die Wellenlänge $\lambda$ der elektromagnetischen Welle.
 Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$:
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 :$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$ &ndash;Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
+Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$&ndash;Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
 :$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
-* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$.
+* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c  = 3 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$.
-{{Display}}

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 :$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweis:''
+''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
 * Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$.
 {{Display}}

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 ''Hinweis:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
-* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 m/s$.
+* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$.
 {{Display}}

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 :$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|'''Kapitel 1.1''']]. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 m/s$.
+''Hinweis:''
 {{Display}}

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−	Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 m$:	+	Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$:
	:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

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 Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_P(d)$ in dB. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:
 * die Distanz $d$ von Sender und Empfänger,
-* die Bezugsentfernung $d$_0 = 1 m$,
+* die Bezugsentfernung $d_0 = 1 m$,
 * der Pfadverlustexponent $\gamma$,
 * die Wellenlänge $\lambda$ der elektromagnetischen Welle.