Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2: Distortions? Or no Distortion?"

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Gemessen werden die Signale am Ausgang der drei Systeme, die in der Grafik dargestellt sind:
 
Gemessen werden die Signale am Ausgang der drei Systeme, die in der Grafik dargestellt sind:
 
$$v_1(t) =  2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm}$$
 
$$v_1(t) =  2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm}$$
$$v_2(t) =  1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$
+
$$v_2(t) =  1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t +  1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$
$$ +  1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$
+
$$v_3(t)=  1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t) - 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$
$$v_3(t)=  1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$
 
$$- 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$
 
  
 
Anzumerken ist, dass hier die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile als vernachlässigbar klein angenommen werden.
 
Anzumerken ist, dass hier die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile als vernachlässigbar klein angenommen werden.

Revision as of 11:45, 11 January 2017

P ID949 Mod A 1 2.png

Die drei Nachrichtensysteme $S_1$, $S_2$ und $S_3$ werden hinsichtlich der durch sie verursachten Verzerrungen analysiert. Zu diesem Zwecke wird an den Eingang eines jeden Systems das cosinusförmige Testsignal $$q(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )$$ angelegt. Die Signalfrequenz ist stets $f_N = 1 kHz$.

Gemessen werden die Signale am Ausgang der drei Systeme, die in der Grafik dargestellt sind: $$v_1(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm}$$ $$v_2(t) = 1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + 1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$ $$v_3(t)= 1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t) - 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$

Anzumerken ist, dass hier die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile als vernachlässigbar klein angenommen werden.


Hinweis:Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.2 des vorliegenden Buches und das Kapitel 2.2 von „Lineare zeitinvariante Systeme”. Bei nichtlinearen Verzerrungen ist das Sinken–$\text{SNR}$ $ρ_υ = 1/K^{ 2 }$, wobei der Klirrfaktor $K$ das Verhältnis der Effektivwerte aller Oberwellen und Grundfrequenz angibt.


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind nach dieser Messung über das System '$S_1$ möglich?

$S_1$ könnte ein ideales System sein.
$S_1$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
$S_1$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
$S_1$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

2

Schreiben Sie das zweite Signal in der Form $υ_2(t) = α · q(t – τ)$ und bestimmen Sie die Kenngrößen.

$\alpha$ =

$τ$=

$μs$

3

Welche Aussagen sind nach dieser Messung über das System '$S_2$ möglich?

$S_2$ könnte ein ideales System sein.
$S_2$ könnte ein verzerrungsfreies System sein.
$S_2$ könnte ein linear verzerrendes System sein.
$S_2$ könnte ein nichtlinear verzerrendes System sein.

4

Von welcher Art sind die Verzerrungen beim System $S_3$?

Es handelt sich um lineare Verzerrungen.
Es handelt sich um nichtlineare Verzerrungen.

5

Berechnen Sie das Sinken–$\text{SNR}$ von System $S_3$.

$ρ_{υ3}$=


Musterlösung

1. $S_1$ könnte durchaus ein ideales System sein, nämlich dann, wenn für alle Frequenzen $f_N$ die Bedingung $υ(t) = q(t)$ erfüllt wäre. Auch die zweite Alternative ist möglich, da das ideale System ein Sonderfall der verzerrungsfreien Systeme darstellt. Würde bei einer anderen Frequenz $f = f_N$ die Bedingung $υ(t) = q(t)$ allerdings nicht erfüllt, so würde ein linear verzerrendes System vorliegen, dessen Frequenzgang bei der Frequenz $f_N$ zufällig gleich 1 wäre. Dagegen kann ein nichtlinear verzerrendes System aufgrund fehlender Oberwellen ausgeschlossen werden. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.


2.Entsprechend den Ausführungen im Kapitel 2.3 von „Signaldarstellung” gelten folgende Gleichungen: $$A \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) + B \cdot \sin(\omega_{\rm N} t ) = C \cdot \cos(\omega_{\rm N} t - \varphi)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \sqrt{A^2 + B^2},\hspace{0.5cm}\varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {A}{B}\hspace{0.05cm}$$ Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man $$C = \sqrt{(1 \,{\rm V})^2 + (1 \,{\rm V})^2}= 1.414\,{\rm V}\hspace{0.05cm}$$ Der Dämpfungsfaktor des Systems hat somit den Wert $α = 1.414/2 = 0.707$. Für die Phase gilt: $$ \varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {1 \,{\rm V}}{1 \,{\rm V}} = 45^{\circ} = \frac {\pi}{4}\hspace{0.05cm}.$$ Die Umformung $cos(ω_N · t – φ) = cos(ω_N · (t – τ))$ erlaubt Aussagen über die Laufzeit: $$\tau =\frac {\varphi}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {\pi /4}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {1}{8 \cdot 1 \,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$


3.Das System S2 ist nach den Ausführungen zur Teilaufgabe a) weder ideal noch nichtlinear verzerrend. Dagegen sind die Alternativen 2 und 3 möglich, je nachdem, ob die berechneten Werte von $α$ und $τ$ für alle Frequenzen erhalten bleiben oder nicht. Mit einer einzigen Messung bei nur einer Frequenz kann diese Frage nicht geklärt werden.


4.Das Signal $υ_3(t)$ beinhaltet eine Oberwelle dritter Ordnung. Deshalb ist die Verzerrung nichtlinear.


5.Mit den Amplituden $A_1 = 1.5 V$ und $A_3 = –0.3 V$ erhält man für den Klirrfaktor: $$ K_3 =\frac {|A_3|}{|A_1|} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$ Deshalb beträgt das Sinken–$\text{SNR}$ entsprechend der angegebenen Gleichung $ρ_{υ3} = 1/K3^{ 2 } = 25$. Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der allgemeinen Berechnung. Aus den Amplituden von Quellensignal und Grundwelle des Sinkensignals erhält man für den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor: $$ \alpha =\frac {1.5 \,{\rm V}}{2 \,{\rm V}} = 0.75\hspace{0.05cm}.$$ Das von den nichtlinearen Verzerrungen herrührende Fehlersignal lautet deshalb: $$\varepsilon_3(t) = v_3(t) - \alpha \cdot q(t) = - 0.3 \,{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$ Damit ergibt sich die Verzerrungsleistung: $$P_{\varepsilon 3}= \frac{1}{2} \cdot (0.3 \,{\rm V})^2 = 0.045 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$ Mit der Leistung des Quellensignals, $$P_{q}= \frac{1}{2} \cdot (2\,{\rm V})^2 = 2 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},$$ erhält man unter Berücksichtigung des Dämpfungsfaktors: $$\rho_{v3} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon 3}} = \frac{0.75^2 \cdot 2 {\rm V}^2}{0.045 } \hspace{0.15cm}\underline {= 25}\hspace{0.05cm}.$$