Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2Z: Sets of Digits"

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{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen}}
 
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[[File:P_ID81__Sto_Z_1_2.png|right|]]
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Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen 1 und 9. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:
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Die Grundmenge  $G$  sei die Menge aller Ziffern zwischen  $1$  und  $9$.  Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:
  
<math>A = [die\ Ziffern\ \leqslant 3],</math>
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:$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
$$ B = [\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}],$$
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:$$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$
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:$$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$
  
 
Daneben seien noch weitere Mengen definiert:
 
Daneben seien noch weitere Mengen definiert:
$$D = (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B),$$
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:$$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$
$$E = (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B), $$
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:$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$
$$F = (A \cup C) \cap \bar B, $$
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:$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$
$$G = (\bar A \cap \bar C) \cup (A \cap B \cap C).$$
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:$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$
Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.
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Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2. Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
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Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen&nbsp; $D$,&nbsp; $E$,&nbsp; $F$&nbsp; und&nbsp; $H$&nbsp; gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. <br>Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
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- $A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
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+ $A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
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- Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge.
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+ Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge.
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+ Die Komplementärmenge zu&nbsp; $A \cap B \cap C$&nbsp; ergibt die Grundmenge&nbsp; $G$.
  
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+ Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
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+ Die Komplementärmengen von&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; sind identisch.
+ $F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
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+ $F$&nbsp; ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von&nbsp; $B$.
- Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
+
- Die Mengen&nbsp; $B$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $D$&nbsp; bilden ein vollständiges System.
+ Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.
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+ Die Mengen&nbsp; $A$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $H$&nbsp; bilden ein vollständiges System.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:Für die weiteren Mengen gilt:
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Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:
 
 
$ D = (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) =$
 
 
 
$ =[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}] \cup [\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}] = \{1, 2, 6, 9\}$,
 
 
 
$ E = E = (A \cup B) \cap (\bar A \cup \bar B) = (A \cap \bar A) \cup (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) \cup (\bar A \cap \bar B) =$
 
 
 
$= (A \cap \bar B) \cup (\bar A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\}$,
 
 
 
$F = (A \cup C= \cap \bar B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\}$,
 
  
$H = (\bar A \cap \bar C) \cup (A \cap B \cap C) = (\bar A \cap \bar C) \cup \Phi = \{4, 9\}$.
+
:$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B)  
:'''1.''' Der erste Vorschlag (a1) ist falsch: $A$ und $B$ beinhalten jeweils die „3”.
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=\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$  
  
(a2) ist richtig: Es liegt kein gemeinsames Element vor.
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:$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$
  
(a3) ist falsch: $B$ und $C$ beinhalten jeweils die „6”.
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:$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$
:'''2.''' Der erste Vorschlag (b1) ist falsch: Es fehlt die „4”.
 
  
<u>(b2) ist richtig </u>: $ A \cap B \cap C = \Phi$ (keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten).
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:$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$
  
Bildung der Komplementärmenge:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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* $A$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; haben kein gemeinsames Element.
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* $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhalten jeweils die&nbsp; $3$.
 +
*$B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; beinhalten jeweils die&nbsp; $6$.
  
$ \overline{A \cap B \cap C} = \bar \Phi = G$.
 
:'''3.''' Der <u>erste Vorschlag (c1) ist richtig</u>: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
 
  
(c2) ist richtig: Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt:
 
  
$X \cap \bar B \subset \bar B \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Keine Ziffer ist gleichzeitig in&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; enthalten &nbsp; &rArr; &nbsp;  $ A \cap B \cap C = \phi$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
 +
*Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die&nbsp; $4$.
  
(c3) ist falsch: Beispielsweise sind $B$ und $C$ nicht disjunkt.
 
  
(c4) ist richtig:
 
  
$A = \{1, 2, 3\},$         $C = \{5, 6, 7, 8\},$         $H = \{4, 9\}.$
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1,  2 und 4</u>:
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*Der erste Vorschlag ist richtig: &nbsp; Die Mengen&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
 +
*Auch der zweite Vorschlag ist richtig: &nbsp; Allgemein, das heißt für beliebige&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; gilt:&nbsp; $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$ &nbsp; Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
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*Auch der letzte Vorschlag ist richtig: &nbsp; $A = \{1, 2, 3\},$&nbsp;  $C = \{5, 6, 7, 8\}$&nbsp; und&nbsp; $H = \{4, 9\}$ bilden ein "vollständiges System".
 +
*Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; nicht disjunkt sind.
  
Richtig sind also die Vorschläge 1, 2 und 4.
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^1.2 Mengentheoretische Grundlagen
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^1.2 Mengentheoretische Grundlagen
 
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Revision as of 15:20, 28 May 2021

Ziffernmengen  $A$,  $B$,  $C$

Die Grundmenge  $G$  sei die Menge aller Ziffern zwischen  $1$  und  $9$.  Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
$$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$
$$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert:

$$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$
$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$
$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$
$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen  $D$,  $E$,  $F$  und  $H$  gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$A$  und  $B$  sind disjunkte Mengen.
$A$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.
$B$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.

2

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Vereinigungsmenge  $A \cup B \cup C$  ergibt die Grundmenge  $G$.
Die Komplementärmenge zu  $A \cap B \cap C$  ergibt die Grundmenge  $G$.

3

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Komplementärmengen von  $D$  und  $E$  sind identisch.
$F$  ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von  $B$.
Die Mengen  $B$,  $C$  und  $D$  bilden ein vollständiges System.
Die Mengen  $A$,  $C$  und  $H$  bilden ein vollständiges System.


Musterlösung

Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:

$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$
$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

  • $A$  und  $C$  haben kein gemeinsames Element.
  • $A$  und  $B$  beinhalten jeweils die  $3$.
  • $B$  und  $C$  beinhalten jeweils die  $6$.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Keine Ziffer ist gleichzeitig in  $A$,  $B$  und  $C$  enthalten   ⇒   $ A \cap B \cap C = \phi$   ⇒   $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
  • Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die  $4$.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Der erste Vorschlag ist richtig:   Die Mengen  $D$  und  $E$  enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
  • Auch der zweite Vorschlag ist richtig:   Allgemein, das heißt für beliebige  $X$  und  $B$  gilt:  $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$   Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
  • Auch der letzte Vorschlag ist richtig:   $A = \{1, 2, 3\},$  $C = \{5, 6, 7, 8\}$  und  $H = \{4, 9\}$ bilden ein "vollständiges System".
  • Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil  $B$  und  $C$  nicht disjunkt sind.