Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.3: DSB-AM Realization"

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/ ZSB-Amplitudenmodulation
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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation
 
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[[File:P_ID1000__Mod_A_2_3.png|right|frame|Nichtlineare Kennlinie zur AM–Realisierung]]
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[[File:P_ID1000__Mod_A_2_3.png|right|frame|Nichtlineare Kennlinie <br>zur AM&ndash;Realisierung]]
Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie
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Zur Realisierung der so genannten&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”&nbsp; soll ein Verstärker mit der Kennlinie
 
:$$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$
 
:$$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$
verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 \ \rm V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.
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verwendet werden. Hierbei sind &nbsp;$x = x(t)$&nbsp; und &nbsp;$y = y(t)$&nbsp; als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen.&nbsp; Der Parameter &nbsp;$U = 3 \ \rm V$&nbsp; gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.
  
Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2\ \rm  V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal
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Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt &nbsp;$A_0 = 2\ \rm  V$&nbsp; betrieben.&nbsp; Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal
 
:$$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus:
 
Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus:
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:$$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$
  
Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer ''Taylorreihe'' um den Arbeitspunkt entwickelt werden:
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Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer&nbsp; ''Taylorreihe''&nbsp; um den Arbeitspunkt entwickelt werden:
 
:$$y(x)  = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+
 
:$$y(x)  = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+
   \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + ...$$
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   \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + \text{ ...}$$
In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden:
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In Abhängigkeit der Hilfsgröße &nbsp;$w(t)$&nbsp; kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden:
:$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) + ...$$
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:$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) +\text{ ...}$$
Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_{\rm T}$, $f_{\rm T}±f_{\rm N}$ sowie $f_{\rm T}±2f_{\rm N}$ werden durch den Bandpass entfernt.
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Das ZSB–AM–Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; erhält man durch die Bandbegrenzung von &nbsp;$y(t)$&nbsp; auf den Frequenzbereich von &nbsp;$\text{23 kHz}$&nbsp; bis &nbsp;$\text{37 kHz}$.&nbsp; Das heißt: &nbsp;Alle anderen Frequenzen als &nbsp;$f_{\rm T}$, &nbsp;$f_{\rm T}±f_{\rm N}$&nbsp; sowie &nbsp;$f_{\rm T}±2f_{\rm N}$&nbsp; werden durch den Bandpass entfernt.
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Die Grafik zeigt die Kennlinie &nbsp;$g(x)$&nbsp; sowie die Näherungen &nbsp;$g_1(x)$, &nbsp;$g_2(x)$&nbsp; und &nbsp;$g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht.&nbsp; Man erkennt, dass die Näherung &nbsp;$g_3(x)$&nbsp; im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von &nbsp;$g(x)$&nbsp; nicht mehr zu unterscheiden ist.
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Die Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist.
 
  
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]] im Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;.
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]]&nbsp; im Buch "Lineare zeitinvariante Systeme".
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{In welchem Wertebereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) - A_0$ ein.
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{In welchem Bereich kann das Eingangssignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; variieren?&nbsp; Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße &nbsp;$w(t) = x(t) - A_0$&nbsp; an.
 
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$w_{\rm min} \ = \ $ { -2.06--1.94 } $\ \text{V}$
 
$w_{\rm min} \ = \ $ { -2.06--1.94 } $\ \text{V}$
 
$w_{\rm max} \ = \ ${ 2 3% }$\ \text{V}$
 
$w_{\rm max} \ = \ ${ 2 3% }$\ \text{V}$
  
{Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe.
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{Berechnen Sie die Koeffizienten &nbsp;$c_0$&nbsp; und &nbsp;$c_1$&nbsp; der Taylorreihe.
 
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$c_0 \ = \ $ { 1.46 3% } $\ \text{V}$
 
$c_0 \ = \ $ { 1.46 3% } $\ \text{V}$
 
$c_1 \ = \ $ { 0.513 3% }  
 
$c_1 \ = \ $ { 0.513 3% }  
  
{Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie?
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{Wie lauten die Koeffizienten &nbsp;$c_2$&nbsp; und &nbsp;$c_3$&nbsp; der nichtlinearen Kennlinie?
 
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$c_2\ = \ $ { -0.088--0.084 }  $\ \rm V^{ -1 }$
 
$c_2\ = \ $ { -0.088--0.084 }  $\ \rm V^{ -1 }$
 
$c_3\ = \ $ { 0.0095 3% }  $\ \rm V^{ -2 }$
 
$c_3\ = \ $ { 0.0095 3% }  $\ \rm V^{ -2 }$
  
{Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?
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{Zeigen Sie, dass sich eine&nbsp; „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man &nbsp;$c_3$&nbsp; als vernachlässigbar klein betrachtet.&nbsp; Wie groß ist der Modulationsgrad &nbsp;$m$?
 
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$m \ = \ $ { 0.335 3% }  
 
$m \ = \ $ { 0.335 3% }  
  
{Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachten kann?
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{Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man &nbsp;$c_3$&nbsp; nicht als vernachlässigbar klein betrachten kann?
 
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- Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_{\rm T}$ wird nicht verändert.
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- Das Gewicht der Spektrallinie bei &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; wird nicht verändert.
+ $s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$.
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+ $s(t)$&nbsp; beinhaltet nun auch Diraclinien bei &nbsp;$f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$.
 
+ Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
 
+ Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
 
- Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.
 
- Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''Aus $x(t) = A_0 + z(t) + q(t)$ erhält man mit $A_0 = 2 V$ und $A_T = A_N = 1 V$ den möglichen Bereich $0 V ≤ x(t) ≤ 4 V$. Die Hilfsgröße $w(t)$ kann somit Werte zwischen $w_{min} = –2 V$ und $w_{max} = +2 V$ annehmen.
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'''(1)'''&nbsp; Aus&nbsp; $x(t) = A_0 + z(t) + q(t)$&nbsp; erhält man mit&nbsp; $A_0 = 2\ \rm  V$&nbsp; und&nbsp; $A_{\rm T} = A_{\rm N} = 1 \ \rm  V$&nbsp; den möglichen Bereich&nbsp; $0 \ {\rm V} ≤ x(t) ≤ 4\ \rm  V$.  
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*Die Hilfsgröße&nbsp; $w(t)$&nbsp; kann somit Werte zwischen&nbsp; $w_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = -2 \ \rm V}$&nbsp; und&nbsp; $w_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = +2 \ \rm V}$&nbsp; annehmen.
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'''(2)'''&nbsp; Der Koeffizient&nbsp; $c_0$&nbsp; ist gleich dem Kennlinienwert im Arbeitspunkt.&nbsp; Mit&nbsp; $A_0 = 2 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $U = 3 \ \rm V$&nbsp; erhält man:
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:$$c_0 = y(A_0) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-A_0/U}\right) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.460\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
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*Entsprechend gilt für den Taylorkoeffizienten&nbsp; $c_1$:
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:$$c_1 = y\hspace{0.06cm}'(A_0)= {\rm e} ^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.513}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Die weiteren Ableitungen&nbsp; $(n ≥ 2)$&nbsp; lauten:
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:$$y^{(n)}(A_0)= \frac{(-1)^{n-1}}{U^{n-1}} \cdot {\rm e} ^{-A_0/U} \hspace{0.05cm}.$$
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*Daraus ergeben sich folgende Koeffizienten:
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:$$ c_2  =  \frac{1}{2!} \cdot y^{(2)}(A_0)= \frac{1}{2U} \cdot {\rm e}^{-A_0/U} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.086\,{\rm V^{-1}}}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$c_3  =  \frac{1}{3!} \cdot y^{(3)}(A_0)= \frac{1}{6U^2} \cdot {\rm e}^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0095\,{\rm V^{-2}}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Setzt man&nbsp; $c_3 = 0$, so lautet das Ausgangssignal des Verstärkers:
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:$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot (z(t) + q(t)) + c_2 \cdot (z^2(t) + q^2(t) + 2 \cdot z(t) \cdot q(t))\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Nach dem Bandpass verbleiben somit noch folgende Signalanteile:
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:$$s(t)  =  c_1 \cdot z(t) + 2 \cdot c_2 \cdot z(t) \cdot q(t)
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  =  \left[c_1 \cdot A_{\rm T} + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
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*Der Modulationsgrad ist dann als Quotient der „Amplitude” der Nachrichtenschwingung zur „Amplitude” des Trägers zu bestimmen:
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:$$m = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}}{|c_1| \cdot A_{\rm T}} = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm N}}{|c_1| }= \frac{2 \cdot 0.086 \cdot 1\,{\rm V}}{0.513 }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.335}\hspace{0.05cm}.$$
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'''2.'''Der Koeffizient $c_0$ ist gleich dem Kennlinienwert im Arbeitspunkt. Mit $A_0 = 2 V$, $U = 3 V$ erhält man:
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'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
$$c_0 = y(A_0) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-A_0/U}\right) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.460\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
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*Unter Berücksichtigung des kubischen Anteils beinhaltet&nbsp; $y(t)$&nbsp; noch folgende weitere Anteile:
Entsprechend gilt für den Taylorkoeffizienten $c_1$:
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:$$y_3(t)  =  c_3 \cdot (z(t) + q(t))^3
$$c_1 = y\hspace{0.06cm}'(A_0)= {\rm e} ^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.513}\hspace{0.05cm}.$$
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=  c_3 \cdot z^3(t) + 3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)+ 3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t) + c_3 \cdot q^3(t) \hspace{0.05cm}.$$
'''3.'''Die weiteren Ableitungen $(n ≥ 2)$ lauten:
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*Der erste Term führt zu Anteilen bei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; und&nbsp; $3f_{\rm T}$, der letzte bei&nbsp; $f_{\rm N}$&nbsp; und&nbsp; $3f_{\rm N}$.&nbsp; Der zweite Term ergibt einen Anteil bei&nbsp; $f_{\rm N}$&nbsp; und weitere bei&nbsp; $2f_{\rm T} ± f_{\rm N}$:
$$y^{(n)}(A_0)= \frac{(-1)^{n-1}}{U^{n-1}} \cdot {\rm e} ^{-A_0/U} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T}^2 \cdot A_{\rm N} \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm N} t) + \cos(2\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ergeben sich folgende Koeffizienten:
+
*Entsprechend führt der dritte Summand in obiger Gleichung zu
$$ c_2  =  \frac{1}{2!} \cdot y^{(2)}(A_0)= \frac{1}{2U} \cdot {\rm e}^{-A_0/U} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.086\,{\rm V^{-1}}}\hspace{0.05cm},$$
+
:$$3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}^2 \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(\omega_{\rm T} t)\cdot \cos(2 \omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
$$c_3  =  \frac{1}{3!} \cdot y^{(3)}(A_0)= \frac{1}{6U^2} \cdot {\rm e}^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0095\,{\rm V^{-2}}}\hspace{0.05cm}.$$
+
*Innerhalb des Frequenzbereichs von&nbsp; $\text{23 kHz}$&nbsp; bis&nbsp; $\text{37 kHz}$&nbsp; kommt es also tatsächlich zu einer Veränderung der Spektrallinie bei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; und es entstehen neue Diraclinien bei&nbsp; $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$, also bei&nbsp; $\text{24 kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\text{36 kHz}$.  
'''4.''' Setzt man $c_3 = 0$, so lautet das Ausgangssignal des Verstärkers:
+
*Die dadurch verbundenen Verzerrungen sind somit nichtlinear &nbsp; &rArr; &nbsp; Antwort 3 ist richtig und Antwort 4 ist falsch.
$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot (z(t) + q(t)) + c_2 \cdot (z^2(t) + q^2(t) + 2 \cdot z(t) \cdot q(t))\hspace{0.05cm}.$$
 
Nach dem Bandpass verbleiben somit noch folgende Signalanteile:
 
$$s(t)  =  c_1 \cdot z(t) + 2 \cdot c_2 \cdot z(t) \cdot q(t)$$
 
$$  =  \left[c_1 \cdot A_{\rm T} + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
 
Der Modulationsgrad ist dann als Quotient der „Amplitude” der Nachrichtenschwingung zur „Amplitude” des Trägers zu bestimmen:
 
$$m = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}}{|c_1| \cdot A_{\rm T}} = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm N}}{|c_1| }= \frac{2 \cdot 0.086 \cdot 1\,{\rm V}}{0.513 }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.335}\hspace{0.05cm}.$$
 
'''5.'''Unter Berücksichtigung des kubischen Anteils beinhaltet y(t) noch folgende weitere Anteile:
 
$$y_3(t)  =  c_3 \cdot (z(t) + q(t))^3$$
 
$$ =  c_3 \cdot z^3(t) + 3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)+ 3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t) + c_3 \cdot q^3(t) \hspace{0.05cm}.$$
 
Der erste Term führt zu Anteilen bei $fT$ und $3f_T$, der letzte bei $f_N$ und $3f_N$. Der zweite Term ergibt einen Anteil bei $f_N$ und weitere bei $2f_T ± f_N$:
 
$$3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)= \frac{3}{2 } \cdot A_{\rm T}^2 \cdot A_{\rm N} \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm N} t) + \cos(2\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
 
Entsprechend führt der dritte Summand in obiger Gleichung zu
 
$$3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t)= \frac{3}{2 } \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}^2 \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(\omega_{\rm T} t)\cdot \cos(2 \omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
 
Innerhalb des Frequenzbereichs von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$ kommt es also tatsächlich zu einer Veränderung der Spektrallinie bei $f_T$ und es entstehen neue Diraclinien bei $f_T ± 2f_N$, also bei $\text{24 kHz}$ und $\text{36 kHz}$. Die dadurch verbundenen Verzerrungen sind somit nichtlinear. Das heißt: Es treffen die Aussagen 2 und 3 zu.
 
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]]

Revision as of 15:26, 28 May 2021

Nichtlineare Kennlinie
zur AM–Realisierung

Zur Realisierung der so genannten  „ZSB–AM mit Träger”  soll ein Verstärker mit der Kennlinie

$$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$

verwendet werden. Hierbei sind  $x = x(t)$  und  $y = y(t)$  als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen.  Der Parameter  $U = 3 \ \rm V$  gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.

Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt  $A_0 = 2\ \rm V$  betrieben.  Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal

$$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus:

$$ z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$
$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße

$$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer  Taylorreihe  um den Arbeitspunkt entwickelt werden:

$$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+ \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + \text{ ...}$$

In Abhängigkeit der Hilfsgröße  $w(t)$  kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) +\text{ ...}$$

Das ZSB–AM–Signal  $s(t)$  erhält man durch die Bandbegrenzung von  $y(t)$  auf den Frequenzbereich von  $\text{23 kHz}$  bis  $\text{37 kHz}$.  Das heißt:  Alle anderen Frequenzen als  $f_{\rm T}$,  $f_{\rm T}±f_{\rm N}$  sowie  $f_{\rm T}±2f_{\rm N}$  werden durch den Bandpass entfernt.

Die Grafik zeigt die Kennlinie  $g(x)$  sowie die Näherungen  $g_1(x)$,  $g_2(x)$  und  $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht.  Man erkennt, dass die Näherung  $g_3(x)$  im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von  $g(x)$  nicht mehr zu unterscheiden ist.





Hinweise:


Fragebogen

1

In welchem Bereich kann das Eingangssignal  $x(t)$  variieren?  Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße  $w(t) = x(t) - A_0$  an.

$w_{\rm min} \ = \ $

$\ \text{V}$
$w_{\rm max} \ = \ $

$\ \text{V}$

2

Berechnen Sie die Koeffizienten  $c_0$  und  $c_1$  der Taylorreihe.

$c_0 \ = \ $

$\ \text{V}$
$c_1 \ = \ $

3

Wie lauten die Koeffizienten  $c_2$  und  $c_3$  der nichtlinearen Kennlinie?

$c_2\ = \ $

$\ \rm V^{ -1 }$
$c_3\ = \ $

$\ \rm V^{ -2 }$

4

Zeigen Sie, dass sich eine  „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man  $c_3$  als vernachlässigbar klein betrachtet.  Wie groß ist der Modulationsgrad  $m$?

$m \ = \ $

5

Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man  $c_3$  nicht als vernachlässigbar klein betrachten kann?

Das Gewicht der Spektrallinie bei  $f_{\rm T}$  wird nicht verändert.
$s(t)$  beinhaltet nun auch Diraclinien bei  $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$.
Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.


Musterlösung

(1)  Aus  $x(t) = A_0 + z(t) + q(t)$  erhält man mit  $A_0 = 2\ \rm V$  und  $A_{\rm T} = A_{\rm N} = 1 \ \rm V$  den möglichen Bereich  $0 \ {\rm V} ≤ x(t) ≤ 4\ \rm V$.

  • Die Hilfsgröße  $w(t)$  kann somit Werte zwischen  $w_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = -2 \ \rm V}$  und  $w_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = +2 \ \rm V}$  annehmen.


(2)  Der Koeffizient  $c_0$  ist gleich dem Kennlinienwert im Arbeitspunkt.  Mit  $A_0 = 2 \ \rm V$  und  $U = 3 \ \rm V$  erhält man:

$$c_0 = y(A_0) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-A_0/U}\right) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.460\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend gilt für den Taylorkoeffizienten  $c_1$:
$$c_1 = y\hspace{0.06cm}'(A_0)= {\rm e} ^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.513}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die weiteren Ableitungen  $(n ≥ 2)$  lauten:

$$y^{(n)}(A_0)= \frac{(-1)^{n-1}}{U^{n-1}} \cdot {\rm e} ^{-A_0/U} \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergeben sich folgende Koeffizienten:
$$ c_2 = \frac{1}{2!} \cdot y^{(2)}(A_0)= \frac{1}{2U} \cdot {\rm e}^{-A_0/U} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.086\,{\rm V^{-1}}}\hspace{0.05cm},$$
$$c_3 = \frac{1}{3!} \cdot y^{(3)}(A_0)= \frac{1}{6U^2} \cdot {\rm e}^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0095\,{\rm V^{-2}}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Setzt man  $c_3 = 0$, so lautet das Ausgangssignal des Verstärkers:

$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot (z(t) + q(t)) + c_2 \cdot (z^2(t) + q^2(t) + 2 \cdot z(t) \cdot q(t))\hspace{0.05cm}.$$
  • Nach dem Bandpass verbleiben somit noch folgende Signalanteile:
$$s(t) = c_1 \cdot z(t) + 2 \cdot c_2 \cdot z(t) \cdot q(t) = \left[c_1 \cdot A_{\rm T} + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Modulationsgrad ist dann als Quotient der „Amplitude” der Nachrichtenschwingung zur „Amplitude” des Trägers zu bestimmen:
$$m = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}}{|c_1| \cdot A_{\rm T}} = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm N}}{|c_1| }= \frac{2 \cdot 0.086 \cdot 1\,{\rm V}}{0.513 }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.335}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

  • Unter Berücksichtigung des kubischen Anteils beinhaltet  $y(t)$  noch folgende weitere Anteile:
$$y_3(t) = c_3 \cdot (z(t) + q(t))^3 = c_3 \cdot z^3(t) + 3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)+ 3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t) + c_3 \cdot q^3(t) \hspace{0.05cm}.$$
  • Der erste Term führt zu Anteilen bei  $f_{\rm T}$  und  $3f_{\rm T}$, der letzte bei  $f_{\rm N}$  und  $3f_{\rm N}$.  Der zweite Term ergibt einen Anteil bei  $f_{\rm N}$  und weitere bei  $2f_{\rm T} ± f_{\rm N}$:
$$3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T}^2 \cdot A_{\rm N} \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm N} t) + \cos(2\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend führt der dritte Summand in obiger Gleichung zu
$$3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}^2 \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(\omega_{\rm T} t)\cdot \cos(2 \omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$
  • Innerhalb des Frequenzbereichs von  $\text{23 kHz}$  bis  $\text{37 kHz}$  kommt es also tatsächlich zu einer Veränderung der Spektrallinie bei  $f_{\rm T}$  und es entstehen neue Diraclinien bei  $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$, also bei  $\text{24 kHz}$  und  $\text{36 kHz}$.
  • Die dadurch verbundenen Verzerrungen sind somit nichtlinear   ⇒   Antwort 3 ist richtig und Antwort 4 ist falsch.