Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"

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Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
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:Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter <i>z</i><sub>1</sub>, <i>T</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2</sub> und <i>T</i><sub>2</sub> wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen. Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird. Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich <i>y</i>(<i>t</i>) = <i>&alpha;</i> &middot; <i>x</i>(<i>t</i> &ndash; <i>&tau;</i>) gilt.
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*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
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* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  
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*Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
  
:Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
 
  
:* ein Diracpuls <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) im Zeitabstand <i>T</i><sub>0</sub> = 1 ms gemäß
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Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
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* ein [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
 
:$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
 
:$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
:dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand <i>f</i><sub>0</sub> = 1/<i>T</i><sub>0</sub> = 1 kHz:
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:dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
 
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* ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
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:* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen <i>f</i><sub>2</sub> = 250 Hz und <i>f</i><sub>3</sub> = 1250 Hz:
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* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
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:$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = \frac{1}{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$
  
 
:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3. Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5 und <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms vorweggenommen:
 
:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3. Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5 und <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms vorweggenommen:

Revision as of 16:19, 3 February 2017

Zweiwegekanal

Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$): $$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$

  • Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
  • Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
  • Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.


Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

  • ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
  • ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
  • die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = \frac{1}{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3. Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0.5 und T2 = 1 ms vorweggenommen:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \hspace{0.45cm} \approx 1.118, \\ b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Parametersatz „z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0” ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „z1 ≠ 0, z2 = 0” bzw. „z1 = 0, z2 ≠ 0 erfasst.”
Die Werte „z1 ≠ 0” und „z2 ≠ 0” führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn T1 und T2 bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0.5, T2 = 1 ms. Berechnen Sie den Frequenzgang H(f) dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von 1 kHz?

$Re[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ =

$Im[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ =

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie unter c) liegt nun der Diracpuls x1(t) an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal y1(t) zu?

y1(t) ist gegenüber x1(t) um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
y1(t) ist gegenüber x1(t) verschoben.
y1(t) weist gegenüber x1(t) Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal y2(t) als Systemantwort auf das Cosinussignal x2(t). Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt t = 0 auf?

$y_2(t = 0)$ =

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale x3(t) und y3(t) zu?

y3(t) weist gegenüber x3(t) keine Verzerrungen auf.
y3(t) weist gegenüber x3(t) Dämpfungsverzerrungen auf.
y3(t) weist gegenüber x3(t) Phasenverzerrungen auf.


Musterlösung

1.  Mit z1 = 1, T1 = 0 und z2 = 0 ist h(t) = δ(t) und dementsprechend H(f) = 1, so dass stets y(t) = x(t) gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort h(t) besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei t = T1. Dieser Fall ist im Modell durch z2 = 0 berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
$$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$
und es wird y(t) = z1 · x(tT1) gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig z1 und z2 von 0 verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.
2.  Die Fouriertransformation der Impulsantwort h(t) führt auf die Gleichung:
$$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$
Mit z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0.5, T2 = 1 ms erhält man daraus:
$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies:
$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),\\ {\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$
Bei der Frequenz f = f1 = 1 kHz – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.
3.  Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von f1 = 1 kHz der Betragsfunktion |H(f)| = 1.5 und die Phasenfunktion b(f) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum X1(f) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt y(t) = 1.5 · x(t). Damit ist allein die erste Antwort richtig.
4.  Die Betragsfunktion lautet:
$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\ = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\ = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
Für die Frequenz f2 = 0.25 kHz erhält man somit:
$$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz f2:
$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
$$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$
und es gilt für das Ausgangssignal:
$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$
Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
5.  Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor α = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
Mit f3 = 1.25 kHz und T2 = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion:
$$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz f2 = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für f3 die Phasenlaufzeit nur mehr τ3 = 60 μs beträgt.
Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = \\ = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$
Es gibt also Phasenverzerrungen ⇒ Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen φ2 = φ3 = 27° gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten τ2 und τ3 gleich sein und die Phasenwerte φ2 und φ3 linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.