Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"

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Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
 
Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
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:$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
 
t - T_2).$$
 
t - T_2).$$
  
 
*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und  $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
 
*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und  $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  
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* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird. Das bedeutet:  
*Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
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*Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
  
  
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* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 
* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:
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*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird das Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$, $T_2 = 1 \ \rm ms$ angegeben:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}  \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
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:$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}  \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
  
  
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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+ Der Parametersatz &bdquo;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&rdquo; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
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+ Der Parametersatz $[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0]$ ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen &bdquo;$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $&rdquo; bzw. &bdquo;&bdquo;$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $&rdquo;
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+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen $[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 ]$ bzw. $[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 ]$ erfasst.
- Die Werte &bdquo;$z_1 \ne 0$&rdquo; und &bdquo;$z_2 \ne 0$&rdquo; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
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- Die Werte $[z_1 \ne 0]$ und $[z_2 \ne 0]$ führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
  
  
{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
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{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
 
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${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 1.5 3% }
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${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $ { 1.5 3% }
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${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $ { 0. }
  
  
{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$  an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
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{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$  an. <br>Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
 
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+ $y_1(t)$  ist gegenüber $x_1(t)$  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
 
+ $y_1(t)$  ist gegenüber $x_1(t)$  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
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{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
 
{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
 
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$y_2(t = 0) \ =$  { 0.996 3% }
+
$y_2(t = 0) \ = \ $  { 0.996 3% }
  
  
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu?
+
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale $x_3(t)$ und $y_3(t)$ zu?
 
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- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
 
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.

Revision as of 16:49, 8 March 2018

Impulsantwort des Zweiwegekanals

Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):

$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$
  • Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
  • Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird. Das bedeutet:
  • Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.


Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

  • ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
  • ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
  • die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird das Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$, $T_2 = 1 \ \rm ms$ angegeben:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Parametersatz $[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0]$ ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen $[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 ]$ bzw. $[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 ]$ erfasst.
Die Werte $[z_1 \ne 0]$ und $[z_2 \ne 0]$ führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals.
Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $

${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$ an.
Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?

$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
$y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?

$y_2(t = 0) \ = \ $

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale $x_3(t)$ und $y_3(t)$ zu?

$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.


Musterlösung

(1)  Mit $z_1 = 1$, $T_1 = 0$ und $z_2 =0$ ist $h(t) = \delta(t)$ und dementsprechend $H(f) = 1$, so dass stets $y(t) = x(t)$ gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort $h(t))$ besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei $t = T_1$. Dieser Fall ist im Modell durch $z_2 =0$ berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang: $$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$

und es wird $y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1)$ gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig $z_1$ und $z_2$ von $0$ verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.


(2)  Die Fouriertransformation der Impulsantwort $h(t)$ führt auf die Gleichung: $$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$

Mit erhält man daraus: $$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$

Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies: $${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),$$ $${\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$

Bei der Frequenz $f = f_1 =1 \ \rm kHz$ – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.


(3)  Aus diesem Ergebnis folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von $f_1 =1 \ \rm kHz$ die Betragsfunktion $|H(f)|$ = 1.5 und die Phasenfunktion $b(f) = 0$ ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils $0$.

Da aber das Spektrum $X_1(f)$ des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt $y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$. Damit ist allein die erste Antwort richtig.


(4)  Die Betragsfunktion lautet: $$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} $$ $$ßRightarrow \; |H(f)| = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)} = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$

Für die Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$ erhält man somit: $$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$

Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$: $$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$ $$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$

Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz: $$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$

und es gilt für das Ausgangssignal: $$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$

Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit: $$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$


(5)  Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor $\alpha = 1.118$ beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen. Mit $f_3 = 1.25 \ \rm kHz$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich für die Phasenfunktion: $$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$

also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz $f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für $f_3$ die Phasenlaufzeit nur mehr $\tau = 60 \ μ \rm s$ beträgt.

Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden: $$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms})$$ $$\Rightarrow \; \; y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$

Es gibt also Phasenverzerrungen  ⇒  Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen $\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$ gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten

  • die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$ gleich sein,
  • die Phasenwerte $\varphi_2$ und $\varphi_3$ linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.