Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"

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[[File:P_ID912__LZI_A_2_6.png|right|Zweiwegekanal]]
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[[File:P_ID912__LZI_A_2_6.png|right|frame|Impulsantwort des Zweiwegekanals]]
Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
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Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert&nbsp; $($mit&nbsp; $T_1 < T_2)$:
$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
+
:$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
 
t - T_2).$$
 
t - T_2).$$
  
*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und  $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
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*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter&nbsp; $z_1$,&nbsp; $T_1$,&nbsp; $z_2$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  
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* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird. Das bedeutet: &nbsp; Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich&nbsp; $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$&nbsp; gilt.
*Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
 
  
  
 
Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
 
Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
* ein [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
+
* ein&nbsp; [[Signal_Representation/Time_Discrete_Signal_Representation#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im Zeitabstand&nbsp; $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
:$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
+
:$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,\hspace{0.5cm} X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k
:dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
 
:$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k
 
 
\cdot f_0) ,$$
 
\cdot f_0) ,$$
* ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
+
* ein Cosinussignal mit der Frequenz&nbsp; $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
 
:$$x_2(t) =  \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) ,$$
 
:$$x_2(t) =  \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) ,$$
  
* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
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* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen&nbsp; $f_2 = 250 \ \rm Hz$&nbsp; und&nbsp; $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
 
:$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +  \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+
*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:
+
*Um Ihnen Rechnungen zu ersparen, geben wir das Ergebnis für den Parametersatz&nbsp; $\big [z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp; $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$&nbsp; an:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}  \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
+
:$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}  \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
+
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Parametersatz &bdquo;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&rdquo; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
+
+ Der Parametersatz&nbsp; $\big[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0 \big]$&nbsp; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen &bdquo;$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $&rdquo; bzw. &bdquo;&bdquo;$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $&rdquo;
+
+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen&nbsp; $\big[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 \big]$&nbsp; bzw.&nbsp; $\big[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 \big]$&nbsp; erfasst.
- Die Werte &bdquo;$z_1 \ne 0$&rdquo; und &bdquo;$z_2 \ne 0$&rdquo; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
+
- Die Werte&nbsp; $\big[z_1 \ne 0\big]$&nbsp; und&nbsp; $\big[z_2 \ne 0\big]$&nbsp; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn&nbsp; $T_1$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; bestmöglich angepasst sind.
  
  
{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
+
{Es gelte&nbsp; $\big[z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp; $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$.&nbsp; Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $1 \ \rm kHz$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 1.5 3% }
+
${\rm Re}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $ { 1.5 3% }
${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 0. }
+
${\rm Im}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $ { 0. }
  
  
{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$  an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
+
{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; liegt nun der Diracpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; an. <br>Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $y_1(t)$  ist gegenüber $x_1(t)$  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
+
+ $y_1(t)$&nbsp; ist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
- $y_1(t)$  ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
+
- $y_1(t)$&nbsp; ist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; verschoben.
- $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.
+
- $y_1(t)$&nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; Verzerrungen auf.
  
  
{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
+
{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; als Systemantwort auf das Cosinussignal &nbsp;$x_2(t)$. &nbsp; Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y_2(t = 0) \ =$  { 0.996 3% }
+
$y_2(t = 0) \ = \ $  { 0.996 3% }
  
  
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu?
+
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_3(t)$&nbsp; zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
+
- $y_3(t)$&nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; keine Verzerrungen auf.
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
+
- $y_3(t)$&nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; Dämpfungsverzerrungen auf.
+ $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.
+
+ $y_3(t)$&nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; Phasenverzerrungen auf.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0 und <i>z</i><sub>2</sub> = 0 ist <i>h</i>(<i>t</i>) = <i>&delta;</i>(<i>t</i>) und dementsprechend <i>H</i>(<i>f</i>) = 1, so dass stets <i>y</i>(<i>t</i>) = <i>x</i>(<i>t</i>) gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei <i>t</i> = <i>T</i><sub>1</sub>. Dieser Fall ist im Modell durch <i>z</i><sub>2</sub> = 0 berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
:$$H(f)=  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$
+
*Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&nbsp; ist &nbsp;$h(t) = \delta(t)$&nbsp; und dementsprechend &nbsp;$H(f) = 1$, so dass stets &nbsp;$y(t) = x(t)$&nbsp; gelten wird.  
 +
*Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei &nbsp;$t = T_1$.  
 +
*Dieser Fall ist im Modell durch &nbsp;$z_2 =0$&nbsp; berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
 +
:$$H(f)=  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1} \ \Rightarrow \ y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1).$$
 +
*Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig &nbsp;$z_1$&nbsp; und &nbsp;$z_2$&nbsp; von Null verschieden sind.
  
:und es wird <i>y</i>(<i>t</i>) = <i>z</i><sub>1</sub> &middot; <i>x</i>(<i>t</i> &ndash; <i>T</i><sub>1</sub>) gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig <i>z</i><sub>1</sub> und <i>z</i><sub>2</sub> von 0 verschieden sind. Richtig sind demnach <u>die Aussagen 1 und 2</u>.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Fouriertransformation der Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) führt auf die Gleichung:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Die Fouriertransformation der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; führt auf die Gleichung:
 
:$$H(f) =  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}
 
:$$H(f) =  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}
 
   .$$
 
   .$$
  
:Mit <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5, <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms erhält man daraus:
+
*Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$&nbsp; und  &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; erhält man daraus:
 
:$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
 
:$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
  
:Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
+
*Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
:$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}),\\
+
:$${\rm Re}\big[H(f)\big] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Re}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 1.5}, $$
{\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}).$$
+
:$${\rm Im}\big[H(f)\big] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Im}\big[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)\big] = 0}, $$
  
:Bei der Frequenz <i>f</i> = <i>f</i><sub>1</sub> = 1 kHz &ndash; und auch allen Vielfachen davon &ndash; ist <u>der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von <i>f</i><sub>1</sub> = 1 kHz der Betragsfunktion |<i>H</i>(<i>f</i>)| = 1.5 und die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum <i>X</i><sub>1</sub>(<i>f</i>) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt <i>y</i>(<i>t</i>) = 1.5 &middot; <i>x</i>(<i>t</i>). Damit ist <u>allein die erste Antwort</u> richtig.
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Antwort</u>:
 +
*Aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.  
 +
*Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils Null.
 +
*Da aber das Spektrum &nbsp;$X_1(f)$&nbsp; des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt &nbsp;$y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.
 +
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die Betragsfunktion lautet:
+
 
:$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\
+
'''(4)'''&nbsp; Die Betragsfunktion lautet:
   = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) +  0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\
+
:$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} $$
 +
:$$\Rightarrow \; |H(f)|   = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) +  0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}
 
   = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
 
   = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
  
:Für die Frequenz <i>f</i><sub>2</sub> = 0.25 kHz erhält man somit:
+
*Für die Frequenz &nbsp;$f_2 =0.25 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
 
:$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
 
:$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
  
:Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz <i>f</i><sub>2</sub>:
+
*Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz&nbsp; $f_2 =0.25 \ \rm kHz$:
 
:$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm
 
:$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm
 
Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2
 
Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2
Line 107: Line 120:
 
arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
 
arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
  
:Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
+
*Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
 
:$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2}  = \frac {0.464}{2 \pi \cdot
 
:$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2}  = \frac {0.464}{2 \pi \cdot
 
0.25\,{\rm  kHz}} \approx 0.3\,{\rm  ms},$$
 
0.25\,{\rm  kHz}} \approx 0.3\,{\rm  ms},$$
  
:und es gilt für das Ausgangssignal:
+
* Für das Ausgangssignal gilt somit:
 
:$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz}\cdot (t -
 
:$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz}\cdot (t -
 
0.3\,{\rm  ms})).$$
 
0.3\,{\rm  ms})).$$
  
:Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
+
*Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
 
:$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz} \cdot
 
:$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz} \cdot
 
0.3\,{\rm  ms}) \approx 1.118 \cdot  0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
 
0.3\,{\rm  ms}) \approx 1.118 \cdot  0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor <i>&alpha;</i> = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
 
  
:Mit <i>f</i><sub>3</sub> = 1.25 kHz und <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion:
+
'''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen haben den gleichen Dämpfungsfaktor &nbsp;$\alpha = 1.118$&nbsp;, daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
 +
 
 +
*Mit &nbsp;$f_3 = 1.25 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; ergibt sich für die Phasenfunktion:
 
:$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 
:$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 
2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
 
2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
  
:also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz <i>f</i><sub>2</sub> = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für <i>f</i><sub>3</sub> die Phasenlaufzeit nur mehr <i>&tau;</i><sub>3</sub> = 60 &mu;s beträgt.
+
:also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz &nbsp;$f_2 = 0.25 \ \rm kHz$.  
 +
*Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für &nbsp;$f_3$&nbsp; die Phasenlaufzeit nur mehr &nbsp;$\tau = 60 &micro; \rm s$&nbsp; beträgt.
  
:Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
+
*Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
 
:$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 
:$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 
1.118
 
1.118
\cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm  ms}) = \\
+
\cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm  ms})$$
= 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot  t - 27^\circ) + 1.118 \cdot
+
:$$\Rightarrow \; \; y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot  t - 27^\circ) + 1.118 \cdot
 
\cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
 
\cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
  
:Es gibt also Phasenverzerrungen&nbsp;&#8658;&nbsp;<u>Antwort 3</u>, obwohl für beide Schwingungen <i>&phi;</i><sub>2</sub> = <i>&phi;</i><sub>3</sub> = 27&deg; gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten <i>&tau;</i><sub>2</sub> und <i>&tau;</i><sub>3</sub> gleich sein und die Phasenwerte <i>&phi;</i><sub>2</sub> und <i>&phi;</i><sub>3</sub> linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
+
Richtig ist demnach die <u>Antwort 3</u>:
 +
*Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen &nbsp;$\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$&nbsp; gilt.  
 +
*Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten  
 +
**die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$  gleich sein, und
 +
**die Phasenwerte &nbsp;$\varphi_2$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_3$&nbsp; linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]
+
[[Category:Linear and Time-Invariant Systems: Exercises|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]

Revision as of 13:40, 23 March 2021

Impulsantwort des Zweiwegekanals

Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert  $($mit  $T_1 < T_2)$:

$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$
  • Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter  $z_1$,  $T_1$,  $z_2$  und  $T_2$  wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
  • Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird. Das bedeutet:   Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich  $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$  gilt.


Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

  • ein  Diracpuls  $x_1(t)$  im Zeitabstand  $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion  $X_1(f)$  ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand  $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,\hspace{0.5cm} X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
  • ein Cosinussignal mit der Frequenz  $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
  • die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen  $f_2 = 250 \ \rm Hz$  und  $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$





Hinweise:

  • Um Ihnen Rechnungen zu ersparen, geben wir das Ergebnis für den Parametersatz  $\big [z_1 = 1$,  $T_1 = 0$,  $z_2 =0.5$,  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$  an:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Parametersatz  $\big[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0 \big]$  ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen  $\big[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 \big]$  bzw.  $\big[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 \big]$  erfasst.
Die Werte  $\big[z_1 \ne 0\big]$  und  $\big[z_2 \ne 0\big]$  führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn  $T_1$  und  $T_2$  bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte  $\big[z_1 = 1$,  $T_1 = 0$,  $z_2 =0.5$,  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$.  Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  dieses Kanals.
Welche Werte gibt es bei Vielfachen von  $1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in Teilaufgabe  (2)  liegt nun der Diracpuls  $x_1(t)$  an.
Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal  $y_1(t)$  zu?

$y_1(t)$  ist gegenüber  $x_1(t)$  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
$y_1(t)$  ist gegenüber  $x_1(t)$  verschoben.
$y_1(t)$  weist gegenüber  $x_1(t)$  Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal  $y_2(t)$  als Systemantwort auf das Cosinussignal  $x_2(t)$.   Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$y_2(t = 0) \ = \ $

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale  $x_3(t)$  und  $y_3(t)$  zu?

$y_3(t)$  weist gegenüber  $x_3(t)$  keine Verzerrungen auf.
$y_3(t)$  weist gegenüber  $x_3(t)$  Dämpfungsverzerrungen auf.
$y_3(t)$  weist gegenüber  $x_3(t)$  Phasenverzerrungen auf.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1 und 2:

  • Mit  $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$  ist  $h(t) = \delta(t)$  und dementsprechend  $H(f) = 1$, so dass stets  $y(t) = x(t)$  gelten wird.
  • Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort  $h(t)$  besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei  $t = T_1$.
  • Dieser Fall ist im Modell durch  $z_2 =0$  berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
$$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1} \ \Rightarrow \ y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1).$$
  • Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig  $z_1$  und  $z_2$  von Null verschieden sind.


(2)  Die Fouriertransformation der Impulsantwort  $h(t)$  führt auf die Gleichung:

$$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$
  • Mit  $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$  und  $T_2 = 1 \ \rm ms$  erhält man daraus:
$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
  • Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies:
$${\rm Re}\big[H(f)\big] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Re}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 1.5}, $$
$${\rm Im}\big[H(f)\big] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Im}\big[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)\big] = 0}, $$


(3)  Richtig ist nur die erste Antwort:

  • Aus  (2)  folgt für alle Vielfachen von  $f_1 =1 \ \rm kHz$  die Betragsfunktion  $|H(f)| = 1.5$  und die Phasenfunktion  $b(f) \equiv 0$.
  • Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils Null.
  • Da aber das Spektrum  $X_1(f)$  des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt  $y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.


(4)  Die Betragsfunktion lautet:

$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} $$
$$\Rightarrow \; |H(f)| = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)} = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
  • Für die Frequenz  $f_2 =0.25 \ \rm kHz$  erhält man somit:
$$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
  • Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz  $f_2 =0.25 \ \rm kHz$:
$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
$$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
  • Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$
  • Für das Ausgangssignal gilt somit:
$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$
  • Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$


(5)  Beide Frequenzen haben den gleichen Dämpfungsfaktor  $\alpha = 1.118$ , daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.

  • Mit  $f_3 = 1.25 \ \rm kHz$  und  $T_2 = 1 \ \rm ms$  ergibt sich für die Phasenfunktion:
$$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz  $f_2 = 0.25 \ \rm kHz$.
  • Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für  $f_3$  die Phasenlaufzeit nur mehr  $\tau = 60 \ µ \rm s$  beträgt.
  • Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms})$$
$$\Rightarrow \; \; y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$

Richtig ist demnach die Antwort 3:

  • Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen  $\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$  gilt.
  • Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten
    • die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$ gleich sein, und
    • die Phasenwerte  $\varphi_2$  und  $\varphi_3$  linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.