Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.10: Rayleigh Fading"

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H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten <i>&auml;quivalenten Tiefpassbereich</i>. Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch [[Signaldarstellung]] zu einem komplexen Signal:
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H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten <i>&auml;quivalenten Tiefpassbereich</i>.&nbsp; Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel "Bandpassartige Signale" im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]&nbsp; zu einem komplexen Signal:
 
:$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$
 
:$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$
  
Der Realteil $x(t)$ kennzeichnet hierbei die <i>Inphasekomponente</i> und der Imagin&auml;rteil $y(t)$ die <i>Quadraturkomponente</i>.
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Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; kennzeichnet hierbei die&nbsp; <i>Inphasekomponente</i>&nbsp; und der Imagin&auml;rteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; die&nbsp; <i>Quadraturkomponente</i>.
  
Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger. In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
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Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger.&nbsp;  
*Der Realteil $x(t)$ und auch der Imagin&auml;rteil $y(t)$ sind jeweils gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei.
 
*$x(t)$ und $y(t)$ besitzen jeweils die gleiche Streuung $\sigma$ und sind voneinander unabh&auml;ngig.
 
*Innere Bindungen der Signale $x(t)$ und $y(t)$ aufgrund des Dopplereffekts sollen hier nicht beachtet werden.
 
  
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In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
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*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; und auch der&nbsp; Imagin&auml;rteil $y(t)$&nbsp; sind jeweils gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei.
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*$x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; besitzen jeweils die gleiche Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; und sind voneinander unabh&auml;ngig.
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*Innere Bindungen der Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; aufgrund des Dopplereffekts sollen hier nicht beachtet werden.
  
Das komplexe Signal $z(t)$ kann man auch nach Betrag und Phase darstellen:
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Das komplexe Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; kann man auch nach Betrag und Phase darstellen:
 
:$$ z(t)= a(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j}  \phi(t)}.$$
 
:$$ z(t)= a(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j}  \phi(t)}.$$
*Aufgrund der Symmetrie bez&uuml;glich $x(t)$ und $y(t)$ ist die Phase $\phi(t)$ gleichverteilt.  
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*Aufgrund der Symmetrie bez&uuml;glich&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; gleichverteilt.  
*Dagegen ist der Betrag $a(t) = |z(t)|$ rayleighverteilt, was zu der Namensgebung <i>Rayleighfading</i> gef&uuml;hrt hat.
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*Dagegen ist der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; rayleighverteilt, was zu der Namensgebung "Rayleighfading" gef&uuml;hrt hat.
 
*Als weitere Gr&ouml;&szlig;e definieren wir noch die Momentanleistung  
 
*Als weitere Gr&ouml;&szlig;e definieren wir noch die Momentanleistung  
 
:$$ p(t)=x^{\rm 2}(t)+y^{\rm 2}( t)=a^{\rm 2}(t).$$
 
:$$ p(t)=x^{\rm 2}(t)+y^{\rm 2}( t)=a^{\rm 2}(t).$$
  
Die Zufallsgröße $p$ ist hier [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|(einseitig) exponentialverteilt]]. Deren WDF lautet f&uuml;r $p>0$:
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Die Zufallsgröße&nbsp; $p$&nbsp; ist hier&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|(einseitig) exponentialverteilt]].&nbsp; Deren WDF lautet f&uuml;r&nbsp; $p>0$:
 
:$$f_p(p)=\frac{1}{2\sigma^{\rm 2}}\cdot {\rm e}^{ -p/(\sigma^{\rm 2})}.$$
 
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F&uuml;r alle negativen $p$&ndash;Werte gilt natürlich $f_p(p)= 0$, da $p$ eine Leistung kennzeichnet.
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*Die Streuungen der beiden Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ &nbsp;seien jeweils $\sigma = 1$.  
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*Die Streuungen der beiden Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$ &nbsp;seien jeweils&nbsp; $\sigma = 1$.  
 
*Alle Gr&ouml;&szlig;en sind deshalb als normiert zu verstehen.
 
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+ Kleine Momentanleistungen sind wahrscheinlicher als gro&szlig;e.
 
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- Die Phase $\phi(t) = \pi/2$ bedeutet auch &bdquo;Imagin&auml;rteil $y(t) = 0$&rdquo;.
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- Die Phase&nbsp; $\phi(t) = \pi/2$&nbsp; bedeutet auch "Imagin&auml;rteil $y(t) = 0$".
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+ Die Phase&nbsp; $\phi(t) = -\pi/2$&nbsp; bedeutet auch "Realteil $x(t) = 0$".
  
  
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{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die (normierte) Momentanleistung&nbsp; $p(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $4$?
 
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{Berechnen Sie ausgehend von $f_p(p)$ die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $a$. Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r $a=1$?
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*Die erste Aussage trifft aufgrund der Exponentialverteilung für&nbsp; $p(t)$&nbsp; zu.
Ein Phasenwinkel $\phi(t) = \pm \pi/2 (\pm 90^\circ)$ bedeutet, dass der Realteil Realteil $x(t) = 0$ ist.  
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* Ein Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = \pm \pi/2 \ (\pm 90^\circ)$&nbsp; bedeutet, dass der Realteil&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; ist.
Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$ ist der Phasenwinkel $\phi(t) = +90^\circ)$, bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel $\phi(t) = -90^\circ)$.  
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* Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$&nbsp; ist der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = +90^\circ$, bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = -90^\circ$.
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*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
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:$${\rm Pr}(p(t) > 4) = \int_{\rm 4}^{\infty}{1}/{2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}\,{\rm d} p={\rm e}^{\rm -2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Mit $\sigma = 1$ gilt f&uuml;r die WDF der Momentanleistung:
 
$$f_p(p)= {\rm 1}/{\rm 2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}.$$
 
  
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
 
$${\rm Pr}(p(t) > 4) = \int_{\rm 4}^{\infty}{1}/{2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}\,{\rm d} p={\rm e}^{\rm -2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{=0.135}.$$
 
  
'''(3)'''&nbsp; Da $p(t) =a(t)^2$ gilt und zudem $a < 0$ nicht möglich ist, ist das Ereignis &bdquo;$a(t) > 2$&rdquo; identisch mit dem Ereignis &bdquo;$p(t) > 4$rdquo;. Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a(t) > 2)  \hspace{0.15cm}\underline{=0.135}$ wie unter (2) berechnet.
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'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $p(t) =a^2(t)$&nbsp; gilt und zudem &nbsp;$a(t) < 0$&nbsp; nicht möglich ist, ist das Ereignis &nbsp;$a(t) > 2$&nbsp; identisch mit dem Ereignis &nbsp;$p(t) > 4$:
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*Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a(t) > 2)  \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}$&nbsp; wie unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt:
 
'''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt:
$$f_a(a)=\frac{f_p(p)}{|g'(p)|}\Bigg |_{\, p=h(a)}.$$
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:$$f_a(a)=\frac{f_p(p)}{|g'(p)|}\Bigg |_{\, p=h(a)}.$$
 
 
Die Transformationskennlinie lautet:
 
$$g'(p)=\frac{ {\rm d} a}{  {\rm d} p}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{p}}.$$
 
  
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*Die Transformationskennlinie lautet:
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:$$g\hspace{0.05cm}'(p)=\frac{ {\rm d} a}{  {\rm d} p}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{p}}.$$
  
Diese ist stets positiv. Daraus folgt für die Rayleigh&ndash;WDF:
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*Diese ist stets positiv.&nbsp; Daraus folgt für die Rayleigh&ndash;WDF:
$$f_a(a)=\sqrt {p}\cdot {\rm e}^{ -p/\rm 2}\Big|_{ p=a^{\rm 2}}= a\cdot {\rm e}^{\, -a^{\rm 2}/\rm 2}.$$
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:$$f_a(a)=\sqrt {p}\cdot {\rm e}^{ -p/\rm 2}\Big|_{ p=a^{\rm 2}}= a\cdot {\rm e}^{\, -a^{\rm 2}/\rm 2}.$$
  
F&uuml;r $a = 1$ ergibt sich somit der Wert $f_a(a = 1)= {\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=0.607} $.
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*F&uuml;r&nbsp; $a = 1$&nbsp; ergibt sich somit der Wert&nbsp; $f_a(a = 1)= {\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=0.607} $.
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^3.7 Weitere Verteilungen^]]
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Revision as of 15:29, 28 May 2021

Zur Rayleigh-WDF

Häufig beschreibt man ein Bandpassübertragungssystem im sogenannten äquivalenten Tiefpassbereich.  Diese Darstellung führt entsprechend dem Kapitel "Bandpassartige Signale" im Buch  Signaldarstellung  zu einem komplexen Signal:

$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$

Der Realteil  $x(t)$  kennzeichnet hierbei die  Inphasekomponente  und der Imaginärteil  $y(t)$  die  Quadraturkomponente.

Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschließlich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empfänger. 

In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:

  • Der Realteil  $x(t)$  und auch der  Imaginärteil $y(t)$  sind jeweils gaußverteilt und mittelwertfrei.
  • $x(t)$  und  $y(t)$  besitzen jeweils die gleiche Streuung  $\sigma$  und sind voneinander unabhängig.
  • Innere Bindungen der Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  aufgrund des Dopplereffekts sollen hier nicht beachtet werden.


Das komplexe Signal  $z(t)$  kann man auch nach Betrag und Phase darstellen:

$$ z(t)= a(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j} \phi(t)}.$$
  • Aufgrund der Symmetrie bezüglich  $x(t)$  und  $y(t)$  ist die Phase  $\phi(t)$  gleichverteilt.
  • Dagegen ist der Betrag  $a(t) = |z(t)|$  rayleighverteilt, was zu der Namensgebung "Rayleighfading" geführt hat.
  • Als weitere Größe definieren wir noch die Momentanleistung
$$ p(t)=x^{\rm 2}(t)+y^{\rm 2}( t)=a^{\rm 2}(t).$$

Die Zufallsgröße  $p$  ist hier  (einseitig) exponentialverteilt.  Deren WDF lautet für  $p>0$:

$$f_p(p)=\frac{1}{2\sigma^{\rm 2}}\cdot {\rm e}^{ -p/(\sigma^{\rm 2})}.$$

Für alle negativen $p$–Werte gilt natürlich  $f_p(p)= 0$, da  $p$  eine Leistung kennzeichnet.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Weitere Verteilungen.
  • Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Rayleighverteilung.
  • Die Streuungen der beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  seien jeweils  $\sigma = 1$.
  • Alle Größen sind deshalb als normiert zu verstehen.



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen stets zu?

Kleine Momentanleistungen sind wahrscheinlicher als große.
Die Phase  $\phi(t) = \pi/2$  bedeutet auch "Imaginärteil $y(t) = 0$".
Die Phase  $\phi(t) = -\pi/2$  bedeutet auch "Realteil $x(t) = 0$".

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die (normierte) Momentanleistung  $p(t)$  größer als  $4$?

${\rm Pr}(p(t) > 4) \ = \ $

$\ \%$

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag  $a(t)$  größer als  $2$  ist?

${\rm Pr}(a(t) > 2) \ = \ $

$\ \%$

4

Berechnen Sie ausgehend von  $f_p(p)$  die WDF der Zufallsgröße  $a$.  Welcher WDF-Wert ergibt sich für  $a=1$?

$f_a(a = 1)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:

  • Die erste Aussage trifft aufgrund der Exponentialverteilung für  $p(t)$  zu.
  • Ein Phasenwinkel  $\phi(t) = \pm \pi/2 \ (\pm 90^\circ)$  bedeutet, dass der Realteil  $x(t) = 0$  ist.
  • Bei positivem Imaginärteil  ⇒  $y(t) > 0$  ist der Phasenwinkel  $\phi(t) = +90^\circ$, bei negativem Imaginärteil beträgt der Phasenwinkel  $\phi(t) = -90^\circ$.


(2)  Mit  $\sigma = 1$  gilt für die WDF der Momentanleistung:

$$f_p(p)= {\rm 1}/{\rm 2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}.$$
  • Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
$${\rm Pr}(p(t) > 4) = \int_{\rm 4}^{\infty}{1}/{2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}\,{\rm d} p={\rm e}^{\rm -2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}.$$


(3)  Da  $p(t) =a^2(t)$  gilt und zudem  $a(t) < 0$  nicht möglich ist, ist das Ereignis  $a(t) > 2$  identisch mit dem Ereignis  $p(t) > 4$:

  • Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(a(t) > 2) \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}$  wie unter  (2)  berechnet.


(4)  Allgemein gilt:

$$f_a(a)=\frac{f_p(p)}{|g'(p)|}\Bigg |_{\, p=h(a)}.$$
  • Die Transformationskennlinie lautet:
$$g\hspace{0.05cm}'(p)=\frac{ {\rm d} a}{ {\rm d} p}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{p}}.$$
  • Diese ist stets positiv.  Daraus folgt für die Rayleigh–WDF:
$$f_a(a)=\sqrt {p}\cdot {\rm e}^{ -p/\rm 2}\Big|_{ p=a^{\rm 2}}= a\cdot {\rm e}^{\, -a^{\rm 2}/\rm 2}.$$
  • Für  $a = 1$  ergibt sich somit der Wert  $f_a(a = 1)= {\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=0.607} $.