Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.10Z: Rayleigh? Or Rice?"

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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße $x$ ist wie folgt gegeben:
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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße  $x$  ist wie folgt gegeben:
$$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$
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Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:
 
Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:
 
:$$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$
 
:$$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$
  
Bekannt ist, dass der Wert $x_0 = 2$ am häufigsten auftritt. Das bedeutet auch, dass die WDF $f_x(x)$ bei $x = x_0 $ maximal ist.
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*Bekannt ist, dass der Wert  $x_0 = 2$  am häufigsten auftritt.  
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*Das bedeutet auch, dass die WDF  $f_x(x)$  bei  $x = x_0 $  maximal ist.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
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*Insbesondere wird auf die Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] und  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung|Riceverteilung]] Bezug genommen .
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*Insbesondere wird auf die Seiten  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]]  und  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung|Riceverteilung]]  Bezug genommen .
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Sie können Ihre Ergebnisse mit Berechnungstool [[WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] überprüfen.
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*Sie können Ihre Ergebnisse mit interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  überprüfen.
 
*Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral:
 
*Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral:
 
:$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2}  \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$
 
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- Es handelt sich um eine riceverteilte Zufallsgröße.
 
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- Das Zentralmoment 3. Ordnung ($\mu_3$ ist $0$.
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- Die Kurtosis hat den Wert $K_x = 3$.
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- Die Kurtosis hat den Wert  $K_x = 3$.
  
  
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor. Diese ist um den Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> unsymmetrisch, so dass <i>&mu;</i><sub>3</sub> &ne; 0 ist.  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>allein der zweite Lösungsvorschlag</u>.
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*Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine <u>Rayleighverteilung</u> vor.  
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*Diese ist um den Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; unsymmetrisch, so dass&nbsp; $\mu_3 \ne 0$&nbsp; ist.
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*Nur bei einer gau&szlig;verteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e gilt f&uuml;r die Kurtosis&nbsp; $K = 3$.
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*Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgepr&auml;gterer WDF&ndash;Ausl&auml;ufer ein gr&ouml;&szlig;erer Wert&nbsp; $(K = 3.245)$, und zwar  unabh&auml;ngig von&nbsp; $\lambda$.
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:$$\frac{{\rm d} f_x(x)}{{\rm d}  x} = \frac{\rm 1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({2  \lambda^{\rm 2}})}+\frac{ x}{ \lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{2 x}{2 \lambda^{\rm 2}}).$$
  
:Nur bei einer gau&szlig;verteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e gilt f&uuml;r die Kurtosis <i>K</i> = 3. Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgepr&auml;gterer WDF&ndash;Ausl&auml;ufer ein gr&ouml;&szlig;erer Wert (<i>K</i> = 3.245), und zwar unabh&auml;ngig von <i>&lambda;</i>. Richtig ist <u>allein der zweite Lösungsvorschlag</u>.
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*Daraus folgt als Bestimmungsgleichung f&uuml;r&nbsp; $x_0$&nbsp; (nur die positive Lösung ist sinnvoll):
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:$$\frac{1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad  \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Ableitung der WDF nach <i>x</i> liefert:
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*Somit erh&auml;lt man f&uuml;r den Verteilungsparameter&nbsp; $\lambda = x_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
:$$\frac{\rm d\it f_x(x)}{\rm d \it x} = \frac{\rm 1}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}+\frac{\it x}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{\rm 2\it x}{\rm 2\it \lambda^{\rm 2}}).$$
 
  
:Daraus folgt als Bestimmungsgleichung f&uuml;r <i>x</i><sub>0</sub> (nur die positive Lösung ist sinnvoll):
 
:$$\frac{\it 1}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(\rm 2 \it \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-\frac{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad  \Rightarrow  \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$
 
  
:Somit erh&auml;lt man f&uuml;r den Verteilungsparameter <i>&lambda;</i> = <i>x</i><sub>0</sub> <u>= 2</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle <i>r</i> = <i>x</i><sub>0</sub> = <i>&lambda;</i>:
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'''(3)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle&nbsp; $r = x_0 = \lambda$:
:$$\rm Pr(\it x<x_{\rm 0})=\rm Pr(\it x \le x_{\rm 0})=
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:$${\rm Pr}(x<x_{\rm 0})={\rm Pr}( x \le x_{\rm 0})=
\it F_x(x_{\rm 0})=\rm 1-\rm e^{-{\it\lambda^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}=\rm 1-\rm e^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.393}.$$
+
F_x(x_{\rm 0})=1-{\rm e}^{-{\lambda^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}=1-{\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 39.3\%}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:
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'''(4)'''&nbsp; Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:
 
:$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$
 
:$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$
  
:Der Mittelwert ist nat&uuml;rlich gr&ouml;&szlig;er als der h&auml;ufigste Wert <i>x</i><sub>0</sub> (= Maximalwert der WDF), da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.
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*Der Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; ist nat&uuml;rlich gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $x_0$&nbsp; $(=$ Maximalwert der WDF$)$, da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.
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:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Allgemein gilt f&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
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'''(5)'''&nbsp; Allgemein gilt f&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
:$$\rm Pr(\it x>m_x)=\rm 1-\it F_x(m_x).$$
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:$${\rm Pr}(x>m_x)=1- F_x(m_x).$$
  
:Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis aus (d) erh&auml;lt man:
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*Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erh&auml;lt man:
:$$\rm Pr(\it x>{m_x})=\rm e^{-{\it m_x^{\rm 2}}/({\rm 2\it\lambda^{\rm 2})}}=\rm e^{\rm -\pi/\rm 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.456}.$$
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:$${\rm Pr}(x>m_x)={\rm e}^{-{m_x^{\rm 2}}/({ 2\lambda^{\rm 2})}}={\rm e}^{-\pi/ 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 45.6\%}.$$
 
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^3.7 Weitere Verteilungen^]]
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Revision as of 13:44, 23 March 2021

Beschreibt die vorliegende WDF Rayleigh oder Rice?

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße  $x$  ist wie folgt gegeben:

$$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$

Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:

$$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$
  • Bekannt ist, dass der Wert  $x_0 = 2$  am häufigsten auftritt.
  • Das bedeutet auch, dass die WDF  $f_x(x)$  bei  $x = x_0 $  maximal ist.




Hinweise:

$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Es handelt sich um eine riceverteilte Zufallsgröße.
Es handelt sich um eine rayleighverteilte Zufallsgröße.
Das Zentralmoment 3. Ordnung   ⇒   $\mu_3$  ist Null.
Die Kurtosis hat den Wert  $K_x = 3$.

2

Welchen Zahlenwert hat hier der Verteilungsparameter  $\lambda$?

$\lambda \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  kleiner als  $x_0 = 2$  ist?

${\rm Pr}(x < x_0 ) \ = \ $

$\ \%$

4

Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße  $x$? Interpretation.

$m_x \ = \ $

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  größer als sein Mittelwert  $m_x$?

${\rm Pr}(x > m_x) \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Richtig ist allein der zweite Lösungsvorschlag.

  • Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor.
  • Diese ist um den Mittelwert  $m_x$  unsymmetrisch, so dass  $\mu_3 \ne 0$  ist.
  • Nur bei einer gaußverteilten Zufallsgröße gilt für die Kurtosis  $K = 3$.
  • Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgeprägterer WDF–Ausläufer ein größerer Wert  $(K = 3.245)$, und zwar unabhängig von  $\lambda$.


(2)  Die Ableitung der WDF nach  $x$  liefert:

$$\frac{{\rm d} f_x(x)}{{\rm d} x} = \frac{\rm 1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({2 \lambda^{\rm 2}})}+\frac{ x}{ \lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{2 x}{2 \lambda^{\rm 2}}).$$
  • Daraus folgt als Bestimmungsgleichung für  $x_0$  (nur die positive Lösung ist sinnvoll):
$$\frac{1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$
  • Somit erhält man für den Verteilungsparameter  $\lambda = x_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.


(3)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle  $r = x_0 = \lambda$:

$${\rm Pr}(x<x_{\rm 0})={\rm Pr}( x \le x_{\rm 0})= F_x(x_{\rm 0})=1-{\rm e}^{-{\lambda^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}=1-{\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 39.3\%}.$$


(4)  Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$
  • Der Mittelwert  $m_x$  ist natürlich größer als  $x_0$  $(=$ Maximalwert der WDF$)$, da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.


(5)  Allgemein gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(x>m_x)=1- F_x(m_x).$$
  • Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis der Teilaufgabe  (4)  erhält man:
$${\rm Pr}(x>m_x)={\rm e}^{-{m_x^{\rm 2}}/({ 2\lambda^{\rm 2})}}={\rm e}^{-\pi/ 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 45.6\%}.$$