Exercise 3.10Z: Rayleigh? Or Rice?

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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße $x$ ist wie folgt gegeben: $$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$

Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:

$$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$

Bekannt ist, dass der Wert $x_0 = 2$ am häufigsten auftritt. Das bedeutet auch, dass die WDF $f_x(x)$ bei $x = x_0 $ maximal ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
• Insbesondere wird auf die Seiten Rayleighverteilung und Riceverteilung Bezug genommen .
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Sie können Ihre Ergebnisse mit Berechnungstool WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen überprüfen.
• Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral:

$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	Es handelt sich um eine riceverteilte Zufallsgröße.
	Es handelt sich um eine rayleighverteilte Zufallsgröße.
	Das Zentralmoment 3. Ordnung   ⇒   $\mu_3$ ist $0$.
	Die Kurtosis hat den Wert $K_x = 3$.

2

Welchen Zahlenwert hat hier der Verteilungsparameter $\lambda$?

$\lambda \ = $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner als $x_0$ ist?

${\rm Pr}(x < x_0 ) \ = $

4

Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße $x$? Interpretation.

$m_x \ = $

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ größer als sein Mittelwert $m_x$?

${\rm Pr}(x > m_x) \ = $

Musterlösung

Solution

1.  Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor. Diese ist um den Mittelwert m_x unsymmetrisch, so dass μ₃ ≠ 0 ist.

Nur bei einer gaußverteilten Zufallsgröße gilt für die Kurtosis K = 3. Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgeprägterer WDF–Ausläufer ein größerer Wert (K = 3.245), und zwar unabhängig von λ. Richtig ist allein der zweite Lösungsvorschlag.

2.  Die Ableitung der WDF nach x liefert:

$$\frac{\rm d\it f_x(x)}{\rm d \it x} = \frac{\rm 1}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}+\frac{\it x}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{\rm 2\it x}{\rm 2\it \lambda^{\rm 2}}).$$

Daraus folgt als Bestimmungsgleichung für x₀ (nur die positive Lösung ist sinnvoll):

$$\frac{\it 1}{\it \lambda^{\rm 2}}\cdot\rm e^{\it -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(\rm 2 \it \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-\frac{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$

Somit erhält man für den Verteilungsparameter λ = x₀ = 2.

3.  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle r = x₀ = λ:

$$\rm Pr(\it x<x_{\rm 0})=\rm Pr(\it x \le x_{\rm 0})= \it F_x(x_{\rm 0})=\rm 1-\rm e^{-{\it\lambda^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}=\rm 1-\rm e^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.393}.$$

4.  Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$

Der Mittelwert ist natürlich größer als der häufigste Wert x₀ (= Maximalwert der WDF), da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.

5.  Allgemein gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$$\rm Pr(\it x>m_x)=\rm 1-\it F_x(m_x).$$

Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis aus (d) erhält man:

$$\rm Pr(\it x>{m_x})=\rm e^{-{\it m_x^{\rm 2}}/({\rm 2\it\lambda^{\rm 2})}}=\rm e^{\rm -\pi/\rm 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.456}.$$