Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.14: Error Probability Bounds"

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Für den häufig verwendeten Faltungscode mit  
 
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* der Coderate $R = 1/2$,
 
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* dem Gedächtnis $m = 2$,
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* der Übertragungsfunktionsmatrix
 
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:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$
 
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:$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X}  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ ... $ kann hierfür auch geschrieben werden:
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Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \text{...} \ $ kann hierfür auch geschrieben werden:
:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 + ... \hspace{0.10cm} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$
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Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.
 
Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.
  
Anhand dieser Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:
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Anhand dieser beiden  Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:
* Die <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i> wird durch die <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b></span> begrenzt:
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* Die <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i> wird durch die <b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b> begrenzt:
 
:$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
  
* Dagegen ist die <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i> stets kleiner (oder gleich) der <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Viterbi&ndash;Schranke</b></span>:
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* Dagegen ist die <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i> stets kleiner (oder gleich) der <b>Viterbi&ndash;Schranke</b>:
 
::<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} }  
 
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].  
 
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* Der Bhattacharyya&ndash;Parameter für BSC lautet:
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* Der Bhattacharyya&ndash;Parameter für BSC lautet: &nbsp; $\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}$.
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* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters $\varepsilon$ angegeben:
* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters $\epsilon$ angegeben:
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** die Bhattacharyya&ndash;Schranke ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
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** die Viterbi&ndash;Schranke $\rm Pr(Viterbi)$.
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* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\varepsilon = 10^{&ndash;2}$ und $\varepsilon = 10^{&ndash;4}$ berechnen.
* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\epsilon = 10^{&ndash;2}$ und $\epsilon = 10^{&ndash;4}$ berechnen.
 
 
* Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
 
* Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
 
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
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{Wie lautet die Bhattacharyya&ndash;Schranke?
 
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{Für welche Werte $\epsilon < \epsilon_0$ sind die beiden Schranken nicht anwendbar?
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Revision as of 12:13, 23 January 2018

Unvollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke

Für den häufig verwendeten Faltungscode mit

  • der Coderate $R = 1/2$,
  • dem Gedächtnis $m = 2$, und
  • der Übertragungsfunktionsmatrix
$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$

lautet die erweiterte Pfadgewichtsfunktion:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \text{...} \ $ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.

Anhand dieser beiden Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:

  • Die Burstfehlerwahrscheinlichkeit wird durch die Bhattacharyya–Schranke begrenzt:
$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit stets kleiner (oder gleich) der Viterbi–Schranke:
\[{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} } \hspace{0.05cm}.\]



Hinweise:

    der Bhattacharyya–Parameter $\beta$,
    die Bhattacharyya–Schranke ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
    die Viterbi–Schranke $\rm Pr(Viterbi)$.
  • Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\varepsilon = 10^{–2}$ und $\varepsilon = 10^{–4}$ berechnen.
  • Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Welcher Bhattacharyya–Parameter ergibt sich für das BSC–Modell?

$\varepsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.4cm} \beta \ = \ $

$\varepsilon = 10^{–4} \text{:} \hspace{0.4cm} \beta \ = \ $

2

Wie lautet die Bhattacharyya–Schranke?

$\varepsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–4}$
$\varepsilon = 10^{–4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–9}$

3

Wie lautet die Viterbi–Schranke?

$\varepsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–4}$
$\varepsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–9}$

4

Für welche Werte $\varepsilon < \varepsilon_0$ sind die beiden Schranken nicht anwendbar?

$\varepsilon_0 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Der Bhattacharyya–Parameter ergibt sich für das BSC–Modell mit $\epsilon = 0.01$ zu

$$\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)} = 2 \cdot \sqrt{0.01 \cdot 0.99} \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.199} \hspace{0.05cm}.$$

Für noch kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeiten $\epsilon$ kann näherungsweise geschrieben werden:

$$\beta \approx 2 \cdot \sqrt{\varepsilon } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \beta \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.02} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} ≤ {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$. Für den betrachteten Faltungscode der Rate 1/2, dem Gedächtnis $m = 2$ und $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$ lautet die Pfadgewichtsfunktion:

$$T(X) = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) = \frac{\beta^5 }{1- 2\beta}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon = 10^{-2}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.199^5 }{1- 2\cdot 0.199} \hspace{0.2cm}\underline {\approx 5.18 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.85cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{1- 2\cdot 0.02} \hspace{0.38cm}\underline {\approx 3.33 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Zur Berechnung der Viterbi–Schranke gehen wir von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion aus:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U X^5}{1- 2UX} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Ableitung dieser Funktion nach dem Eingangsparameter $U$ lautet:
$$\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = \frac{(1- 2UX) \cdot X^5 - U X^5 \cdot (-2X)}{(1- 2UX)^2} = \frac{ X^5}{(1- 2UX)^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Gleichung liefert für $U = 1$ und $X = \beta$ die Viterbi–Schranke:
$$\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = \frac{(1- 2UX) \cdot X^5 - U X^5 \cdot (-2X)}{(1- 2UX)^2} = \frac{U X^5}{(1- 2UX)^2} \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon = 10^{-2}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.199^5 }{(1- 2\cdot 0.199)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 8.61 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.85cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{(1- 2\cdot 0.02)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 3.47 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$

Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:

$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + ... $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + ... $$

Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi–Schranke:

$${\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 + ... =$$
$$\hspace{2.25cm} = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$

Für $\epsilon = 10^{–2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$–Term abbricht:

$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$

Der Abbruchfehler – bezogen auf $8.61 \cdot 10^{–4}$ – beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\epsilon = 10^{–4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ macht man durch den Abbruch nahezu keinen Fehler:

$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$


(4) 
Bhattacharyya– und Viterbi–Schranke für BSC
Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert „unendlich”. Für noch größere $\beta$–Werte wird die Bhattacharyya–Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi–Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0^2 - \varepsilon_0 + 0.0625 = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0 = 0.5 \cdot (1 - \sqrt{0.75}) \underline {\approx 0.067}\hspace{0.05cm}.$$