Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.14: Error Probability Bounds"

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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
  
[[File:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC–Modell]]
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[[File:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC–Modell (unvollständige Tabelle)]]
 
Für den häufig verwendeten Faltungscode mit  
 
Für den häufig verwendeten Faltungscode mit  
* der Coderate $R = 1/2$,
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* der Coderate  $R = 1/2$,
* dem Gedächtnis $m = 2$, und  
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* dem Gedächtnis  $m = 2$, und  
 
* der Übertragungsfunktionsmatrix
 
* der Übertragungsfunktionsmatrix
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$
 
:$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$
  
lautet die [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Erweiterte_Pfadgewichtsfunktion|erweiterte Pfadgewichtsfunktion]]:
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lautet die  [[Channel_Coding/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Erweiterte_Pfadgewichtsfunktion|erweiterte Pfadgewichtsfunktion]]:
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X}  \hspace{0.05cm}.$$
  
Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 +  \text{...} \ $ kann hierfür auch geschrieben werden:
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Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung  $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 +  \text{...} \ $  kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 +\text{...}  \hspace{0.10cm} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 +\text{...}  \hspace{0.10cm} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$
  
Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.
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Die "einfache" Pfadgewichtsfunktion  $T(X)$  ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable  $U = 1$  setzt.
  
 
Anhand dieser beiden  Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:
 
Anhand dieser beiden  Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:
* Die <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i> wird durch die <b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b> begrenzt:
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* Die&nbsp; <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i>&nbsp; wird durch die&nbsp; <b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b>&nbsp; begrenzt:
 
:$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
  
* Dagegen ist die <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i> stets kleiner (oder gleich) der <b>Viterbi&ndash;Schranke</b>:
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* Dagegen ist die&nbsp; <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i>&nbsp; stets kleiner (oder gleich) der&nbsp; <b>Viterbi&ndash;Schranke</b>:
 
::<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} }  
 
::<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} }  
 
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''Hinweise:''
 
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].  
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].  
 
* Der Bhattacharyya&ndash;Parameter für BSC lautet: &nbsp; $\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}$.
 
* Der Bhattacharyya&ndash;Parameter für BSC lautet: &nbsp; $\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}$.
* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters $\varepsilon$ angegeben:
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* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; angegeben:
:&nbsp; &nbsp; der Bhattacharyya&ndash;Parameter $\beta$,
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:*&nbsp; der Bhattacharyya&ndash;Parameter&nbsp; $\beta$,
:&nbsp; &nbsp; die Bhattacharyya&ndash;Schranke ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
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:*&nbsp; die Bhattacharyya&ndash;Schranke&nbsp; ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
:&nbsp; &nbsp; die Viterbi&ndash;Schranke $\rm Pr(Viterbi)$.
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:* &nbsp; die Viterbi&ndash;Schranke&nbsp; $\rm Pr(Viterbi)$.
* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\varepsilon = 10^{&ndash;2}$ und $\varepsilon = 10^{&ndash;4}$ berechnen.
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* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für&nbsp; $\varepsilon = 10^{-2}$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$ berechnen.
* Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
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* Die vollständige Tabelle finden Sie in der Musterlösung.
 
   
 
   
  
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{Wie lautet die Bhattacharyya&ndash;Schranke?
 
{Wie lautet die Bhattacharyya&ndash;Schranke?
 
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$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 5.18 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
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$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 5.18 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
$\varepsilon = 10^{&ndash;4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 3.33 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
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$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 3.33 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
  
 
{Wie lautet die Viterbi&ndash;Schranke?
 
{Wie lautet die Viterbi&ndash;Schranke?
 
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$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 8.61 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
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$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 8.61 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 3.47 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
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$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 3.47 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
  
{Für welche Werte $\varepsilon < \varepsilon_0$ sind die beiden Schranken nicht anwendbar?
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{Für welche Werte&nbsp; $\varepsilon < \varepsilon_0$&nbsp; sind beide Schranken nicht anwendbar?
 
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$\varepsilon_0 \ = \ ${ 0.067 3% }
 
$\varepsilon_0 \ = \ ${ 0.067 3% }
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'''(2)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} &#8804; {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$. Für den betrachteten Faltungscode der Rate 1/2, dem Gedächtnis $m = 2$ und $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$ lautet die Pfadgewichtsfunktion:
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'''(2)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} &#8804; {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$.  
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*Für den betrachteten Faltungscode der Rate 1/2, dem Gedächtnis $m = 2$ und $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$ lautet die Pfadgewichtsfunktion:
 
:$$T(X) = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$T(X) = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
{\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) = \frac{\beta^5 }{1- 2\beta}$$
 
{\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) = \frac{\beta^5 }{1- 2\beta}$$
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{\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{(1- 2\cdot 0.02)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 3.47 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$
 
{\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{(1- 2\cdot 0.02)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 3.47 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
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*Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + \text{...} $$
 
:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + \text{...} $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + \text{...} $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + \text{...} $$
  
Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi&ndash;Schranke:
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*Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi&ndash;Schranke:
 
:$${\rm Pr(Viterbi)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 +\text{...}
 
:$${\rm Pr(Viterbi)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 +\text{...}
 
= \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$
 
= \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$
  
Für $\varepsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
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*Für $\varepsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
 
:$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4}
 
:$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
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*Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
 
:$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9}
 
:$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
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  [[File:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Vollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell]]
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  [[File:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell (vollständige Tabelle)]]
'''(4)'''&nbsp; Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert &bdquo;unendlich&rdquo;.  
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'''(4)'''&nbsp; Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert "unendlich".  
  
Für noch größere $\beta$&ndash;Werte wird die Bhattacharyya&ndash;Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi&ndash;Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
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*Für noch größere $\beta$&ndash;Werte wird die Bhattacharyya&ndash;Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi&ndash;Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
 
:$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
 
:$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften^]]
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[[Category:Channel Coding: Exercises|^3.5 Distanzeigenschaften^]]

Revision as of 15:28, 28 May 2021

Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC–Modell (unvollständige Tabelle)

Für den häufig verwendeten Faltungscode mit

  • der Coderate  $R = 1/2$,
  • dem Gedächtnis  $m = 2$, und
  • der Übertragungsfunktionsmatrix
$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$

lautet die  erweiterte Pfadgewichtsfunktion:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung  $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \text{...} \ $  kann hierfür auch geschrieben werden:

$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Die "einfache" Pfadgewichtsfunktion  $T(X)$  ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable  $U = 1$  setzt.

Anhand dieser beiden Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:

  • Die  Burstfehlerwahrscheinlichkeit  wird durch die  Bhattacharyya–Schranke  begrenzt:
$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen ist die  Bitfehlerwahrscheinlichkeit  stets kleiner (oder gleich) der  Viterbi–Schranke:
\[{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} } \hspace{0.05cm}.\]





Hinweise:

  •   der Bhattacharyya–Parameter  $\beta$,
  •   die Bhattacharyya–Schranke  ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
  •   die Viterbi–Schranke  $\rm Pr(Viterbi)$.
  • Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für  $\varepsilon = 10^{-2}$  und  $\varepsilon = 10^{-4}$ berechnen.
  • Die vollständige Tabelle finden Sie in der Musterlösung.



Fragebogen

1

Welcher Bhattacharyya–Parameter ergibt sich für das BSC–Modell?

$\varepsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.4cm} \beta \ = \ $

$\varepsilon = 10^{–4} \text{:} \hspace{0.4cm} \beta \ = \ $

2

Wie lautet die Bhattacharyya–Schranke?

$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–4}$
$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–9}$

3

Wie lautet die Viterbi–Schranke?

$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–4}$
$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{–9}$

4

Für welche Werte  $\varepsilon < \varepsilon_0$  sind beide Schranken nicht anwendbar?

$\varepsilon_0 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Der Bhattacharyya–Parameter ergibt sich für das BSC–Modell mit $\varepsilon = 0.01$ zu

$$\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)} = 2 \cdot \sqrt{0.01 \cdot 0.99} \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.199} \hspace{0.05cm}.$$

Für noch kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeiten $\varepsilon$ kann näherungsweise geschrieben werden:

$$\beta \approx 2 \cdot \sqrt{\varepsilon } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \beta \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.02} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} ≤ {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$.

  • Für den betrachteten Faltungscode der Rate 1/2, dem Gedächtnis $m = 2$ und $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$ lautet die Pfadgewichtsfunktion:
$$T(X) = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) = \frac{\beta^5 }{1- 2\beta}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon = 10^{-2}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.199^5 }{1- 2\cdot 0.199} \hspace{0.2cm}\underline {\approx 5.18 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.85cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{1- 2\cdot 0.02} \hspace{0.38cm}\underline {\approx 3.33 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Zur Berechnung der Viterbi–Schranke gehen wir von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion aus:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U X^5}{1- 2UX} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Ableitung dieser Funktion nach dem Eingangsparameter $U$ lautet:
$$\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = \frac{(1- 2UX) \cdot X^5 - U X^5 \cdot (-2X)}{(1- 2UX)^2} = \frac{ X^5}{(1- 2UX)^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Gleichung liefert für $U = 1$ und $X = \beta$ die Viterbi–Schranke:
$$\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = \frac{(1- 2UX) \cdot X^5 - U X^5 \cdot (-2X)}{(1- 2UX)^2} = \frac{U X^5}{(1- 2UX)^2} \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon = 10^{-2}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.199^5 }{(1- 2\cdot 0.199)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 8.61 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm},$$
$$\hspace{0.85cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm} {\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{(1- 2\cdot 0.02)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 3.47 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + \text{...} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + \text{...} $$
  • Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi–Schranke:
$${\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 +\text{...} = \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$
  • Für $\varepsilon = 10^{–2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$–Term abbricht:
$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Abbruchfehler – bezogen auf $8.61 \cdot 10^{–4}$ – beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{–4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$


Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC–Modell (vollständige Tabelle)

(4)  Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert "unendlich".

  • Für noch größere $\beta$–Werte wird die Bhattacharyya–Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi–Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0^2 - \varepsilon_0 + 0.0625 = 0$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0 = 0.5 \cdot (1 - \sqrt{0.75}) \hspace{0.15cm} \underline {\approx 0.067}\hspace{0.05cm}.$$