Difference between revisions of "Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Hilbert-Transformierte"

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Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:
 
Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:
$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =  - \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{
+
:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =  - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
+\infty}
 
  { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}\nu \hspace{0.05cm},$$
 
  d}\nu \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} =    \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{
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:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} =    \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
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  { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
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Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:
 
Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:
$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
+
:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
 
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
 
\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
 
{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
 
{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
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* Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.
 
* Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.
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Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
 
Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
  
Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden. Zerlegt man $H(f)$ jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.
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Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.  
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Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel    [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite  [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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<quiz display=simple>
{Ermitteln Sie ausgehend von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$. Welche Aussagen treffen zu?
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{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
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- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist ebenfalls $\alpha$.
+
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist ebenfalls &nbsp;$\alpha$.
+ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist $0$.
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+ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist Null.
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ verläuft sinusförmig.
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- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; verläuft sinusförmig.
  
  
{Ermitteln Sie ausgehend von $h_2(t) =  \delta(t- \tau)$ die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. Welche Aussagen treffen zu?
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{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_2(t) =  \delta(t- \tau)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
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- Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist $0$.
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- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
 
+ Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.
 
+ Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.
  
  
{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen $h_3(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion ${\rm si}(2 \pi;fT) = {\rm sin}(2 \pi;fT)/(2 \pi;fT)$ Welche Aussagen treffen zu?
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{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen &nbsp;$h_3(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion &nbsp;${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 
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+ Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}^2(\pi fT)/(\pi fT)$.
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+ Die Hilbert Transformierte lautet &nbsp;${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
+ Die Hilbert Transformierte lautet $ = {\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.
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+ Die Hilbert Transformierte lautet &nbsp;${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.
  
  
{Lässt sich aus der Impulsantwort $h_4(t)$ eine Hilbert&ndash;Korrespondenz ableiten?
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{Lässt sich aus der Impulsantwort &nbsp;$h_4(t)$&nbsp; eine Hilbert&ndash;Korrespondenz ableiten?
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- Ja.
 
- Ja.
 
+ Nein.
 
+ Nein.
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Fourier&ndash;Transformierte von <i>h</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) = <i>&alpha;</i> &middot; <i>&delta;</i>(<i>t</i>) lautet:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
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*Die Fourier&ndash;Transformierte von&nbsp; $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; lautet:
 
:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
 
:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
 
  \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \}  = 0\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \}  = 0\hspace{0.05cm}.$$
  
:Richtig ist somit der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Mit dem Verschiebungssatz und dem Satz von Euler erhält man für die Impulsantwort <i>h</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) den Frequenzgang:
+
 
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
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*Mit dem&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_Laws#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und dem&nbsp; [[Signal_Representation/Calculating_With_Complex_Numbers#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; erhält man für die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; den Frequenzgang:
 
:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
 
:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
 
f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
 
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f \tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
f \tau)\hspace{0.05cm}.$$
  
:Daraus ergibt sich die Hilbert&ndash;Korrespondenz
+
*Daraus ergibt sich die Hilbert&ndash;Korrespondenz
 
:$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}
 
:$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}
 
\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}
 
\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}
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\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
:entsprechend dem <u>letzten Lösungsvorschlag</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Für die rechteckförmige Impulsantwort <i>h</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) mit der Breite <i>T</i> und der Höhe 1/<i>T</i> erhält man die Spektralfunktion entsprechend dem ersten Fourierintegral:
+
 
:$$H_3(f) =    \int\limits_{-\infty}^{
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
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*Für die rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_3(t)$&nbsp; mit Breite&nbsp; $T$&nbsp; und Höhe&nbsp; $1/T$&nbsp; erhält man die Spektralfunktion gemäß dem&nbsp; [[Signal_Representation/Fourier_Transform_and_Its_Inverse#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]:
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:$$H_3(f) =    \int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
+\infty}
 
  { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}t \hspace{0.05cm}
 
  d}t \hspace{0.05cm}
  =  \frac{1}{T} \cdot  \int\limits_{0}^{
+
  =  \frac{1}{T} \cdot  \int_{0}^{
 
T} {  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f
 
T} {  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f
 
t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
t}}\hspace{0.1cm}{\rm
  d}t = \\
+
  d}t  
 
  = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi
 
  = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi
 
  f\hspace{0.05cm}
 
  f\hspace{0.05cm}
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T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
 
T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
  
:Mit dem Eulerschen Satz kann hierfür auch geschrieben werden:
+
*Mit dem&nbsp;  [[Signal_Representation/Calculating_With_Complex_Numbers#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Eulerschen Satz]]&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
 
:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
 
f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
 
f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} =\\ =  \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi
+
T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} =  \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi
 
f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f
 
f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f
 
T}\hspace{0.05cm}.$$
 
T}\hspace{0.05cm}.$$
  
:Weiter gilt mit der Umformung 1 &ndash; cos(<i>&alpha;</i>) = 2 &middot; sin<sup>2</sup>(<i>&alpha;</i>/2):
+
*Weiter gilt mit der Umformung&nbsp; $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
:$${\rm Re} \left\{ H_3(f) \right \}  =  {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
+
:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \}  =  {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
  \hspace{0.05cm},\\
+
  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
{\rm Im} \left\{ H_3(f) \right \}  =  -\frac{\sin^2 (\pi f
+
{\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \}  =  -\frac{\sin^2 (\pi f
 
T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
 
T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:Daraus folgt, dass <u>beide Lösungsalternativen</u> richtig sind.
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;<u>Nein</u>. Die Impulsantwort <i>h</i><sub>4</sub>(<i>t</i>) ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum <i>H</i><sub>4</sub>(<i>f</i>) keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Nein</u>:
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*Die Impulsantwort&nbsp; $h_4(t)$&nbsp; ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum&nbsp; $H_4(f)$&nbsp; keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
 
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.1 Folgerungen aus dem Zuordnungssatz^]]
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[[Category:Linear and Time-Invariant Systems: Exercises|^3.1 Folgerungen aus dem Zuordnungssatz^]]

Latest revision as of 14:40, 23 March 2021

Betrachtete Impulsantworten

Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:

  • Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
  • Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.


Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.

Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.





Hinweise:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie ausgehend von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist ebenfalls  $\alpha$.
Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist Null.
Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  verläuft sinusförmig.

2

Ermitteln Sie ausgehend von  $h_2(t) = \delta(t- \tau)$  die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.

3

Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen  $h_3(t)$  die Hilbert–Transformierte der Funktion  ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.

4

Lässt sich aus der Impulsantwort  $h_4(t)$  eine Hilbert–Korrespondenz ableiten?

Ja.
Nein.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

  • Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:
$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha , \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f \tau)\hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz
$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm} -\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm} \cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm} \sin (2\pi f \tau) \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind beide Lösungsvorschläge:

  • Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  ersten Fourierintegral:
$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm} = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{ T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f T}\hspace{0.05cm}.$$
  • Weiter gilt mit der Umformung  $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist Nein:

  • Die Impulsantwort  $h_4(t)$  ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum  $H_4(f)$  keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.