Difference between revisions of "Aufgaben:Aufgabe 3.6: PM oder FM? Oder AM?"

From LNTwww
m (Text replacement - "„" to """)
 
(14 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 3: Line 3:
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID1102__Mod_A_3_6.png|right|]]
+
[[File:P_ID1102__Mod_A_3_6.png|right|frame|Zwei verschiedene Ortskurven für Winkelmodulation]]
 
Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal
 
Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal
$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
+
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
angelegt, wobei die Signalamplitude stets $A_N = 2 V$ beträgt. Mit der Signalfrequenz $f_N = f_1 = 5 kHz$ wird die Ortskurve $O_1$ ermittelt. Verwendet man die Nachrichtenfrequenz $f_N = f_2$, so stellt sich die Ortskurve $O_2$ ein.
+
angelegt, wobei die Signalamplitude stets  $A_{\rm N}  = 2\ \rm  V$  beträgt.  
 +
*Mit der Signalfrequenz  $f_{\rm N}  = f_1 = 5 \ \rm  kHz$  wird die Ortskurve  $\rm O_1$  ermittelt.  
 +
*Verwendet man die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}  = f_2$, so stellt sich die Ortskurve  $\rm O_2$  ein.
  
Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex $η$ und der Modulatorkonstanten $K_{WM}$ besteht:
+
 
$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
+
Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex  $η$  und der Modulatorkonstanten  $K_{\rm WM}$ besteht:
'''Hinweis:''Die Aufgabe bezieht sich wieder auf die Theorieteile von [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1] und [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM) Kapitel 3.2].
+
:$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''Hinweise:''
 +
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
 +
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel   [[Modulation_Methods/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
 +
  
  
Line 18: Line 33:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
 
{Um welchen Modulator handelt es sich?
 
{Um welchen Modulator handelt es sich?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
- AM–Modulator.
 
- AM–Modulator.
 
- PM–Modulator.
 
- PM–Modulator.
Line 24: Line 39:
  
  
{Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz $f_N = f_1$?
+
{Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}  = f_1 = 5 \ \rm  kHz$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$η_1$ = { 1.3 3% }  
+
$η_1 \ = \ $ { 1.3 3% }  
  
{Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante? ''Hinweis'': Je nachdem, ob es sich um PM oder FM handelt, ist die Einheit $V^{-1}$” bzw. „$V^{-1}s^{-1}$.
+
{Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante? &nbsp; ''Hinweis:'' &nbsp; Die "Einheit" steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$ (bei FM).
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$K_{WM}$ = { 2.04 3% } $10^{4}$    $V^{-1}$ oder $(Vs)^{-1}$
+
$K_{\rm WM} \ = \ $ { 2.04 3% } $\ \cdot 10^4 $ "Einheit"
  
{Welchen Winkel $ϕ_0$ weist die Ortskurve mit $ϕ_N = 30°$ zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
+
{Welchen Winkel &nbsp;$ϕ_0$&nbsp; (gegenüber der reellen Achse) weist die Ortskurve &nbsp;$\rm O_1$&nbsp; mit &nbsp;$ϕ_{\rm N} = 30^\circ$&nbsp; zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$ϕ_N = 30°:  ϕ_0$ = { 37.5 3% } $Grad$  
+
$ϕ_0 \ = \ $ { 37.5 3% } $\ \rm Grad$  
  
{Mit welcher Nachrichtenfrequenz $f_N = f_2$ wurde die Ortskurve $O_2$ ermittelt?
+
{Mit welcher Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = f_2$&nbsp; wurde die Ortskurve &nbsp;$\rm O_2$&nbsp; ermittelt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_2$ = { 3 3% } $KHz$  
+
$f_2 \ = \ ${ 3 3% } $\ \rm kHz$  
  
  
Line 45: Line 60:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex $η$. Da aber hier $η$ offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz $f_N$ abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden ⇒ FM–$\underline{Modulator}$ $\underline{Antwort 3}$.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 3</u>:
 +
*Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex&nbsp; $η$.
 +
*Da aber hier&nbsp; $η$&nbsp; offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N}$&nbsp; abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden.&nbsp; Es gilt&nbsp; $η_1 = 75^\circ/180^\circ · π\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.3}$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation gilt:
 +
:$$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''2.'''Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden. Es gilt $η_1 = 75°/180° · π ≈ 1.3$.
 
  
 +
'''(4)'''&nbsp; Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird.&nbsp; Dieses lautet:
 +
:$$q_{\rm I}(t)  =  \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =\frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Somit ergibt sich für das äquivalente Tiefpass-Signal mit&nbsp; $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$:
 +
:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der Nullphasenwinkel ist somit gleich&nbsp; $η/2$&nbsp; entsprechend&nbsp; $ϕ_0\hspace{0.15cm}\underline {\approx 37.5^\circ}$.
  
'''3.'''  Bei Frequenzmodulation gilt:
 
$$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$
 
'''4.''' Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird. Dieses lautet:
 
$$q_{\rm I}(t)  =  \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =$$
 
$$ =  \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
 
Somit ergibt sich für das äquivalente TP-Signal mit $ϕ_N = 30°$:
 
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$
 
Der Nullphasenwinkel ist somit gleich $η/2$ entsprechend $37.5°$.
 
  
  
'''5.''' Aus der Definition des Modulationsindex bei FM folgt:
+
'''(5)'''&nbsp; Aus der Definition des Modulationsindex bei Frequenzmodulation  folgt:
$$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}}$$
+
:$$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}} \hspace{0.3cm}
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
 
 
  
Line 71: Line 93:
  
  
[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^3.2 Frequenzmodulation (FM)^]]
+
[[Category:Modulation Methods: Exercises|^3.2 Frequenzmodulation (FM)^]]

Latest revision as of 16:38, 28 May 2021

Zwei verschiedene Ortskurven für Winkelmodulation

Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

angelegt, wobei die Signalamplitude stets  $A_{\rm N} = 2\ \rm V$  beträgt.

  • Mit der Signalfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$  wird die Ortskurve  $\rm O_1$  ermittelt.
  • Verwendet man die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$, so stellt sich die Ortskurve  $\rm O_2$  ein.


Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex  $η$  und der Modulatorkonstanten  $K_{\rm WM}$ besteht:

$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Um welchen Modulator handelt es sich?

AM–Modulator.
PM–Modulator.
FM–Modulator.

2

Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$?

$η_1 \ = \ $

3

Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante?   Hinweis:   Die "Einheit" steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$ (bei FM).

$K_{\rm WM} \ = \ $

$\ \cdot 10^4 $ "Einheit"

4

Welchen Winkel  $ϕ_0$  (gegenüber der reellen Achse) weist die Ortskurve  $\rm O_1$  mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$ϕ_0 \ = \ $

$\ \rm Grad$

5

Mit welcher Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$  wurde die Ortskurve  $\rm O_2$  ermittelt?

$f_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$


Musterlösung

(1)  Richtig ist die Antwort 3:

  • Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex  $η$.
  • Da aber hier  $η$  offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden.


(2)  Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden.  Es gilt  $η_1 = 75^\circ/180^\circ · π\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.3}$.


(3)  Bei Frequenzmodulation gilt:

$$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird.  Dieses lautet:

$$q_{\rm I}(t) = \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =\frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
  • Somit ergibt sich für das äquivalente Tiefpass-Signal mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$:
$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Nullphasenwinkel ist somit gleich  $η/2$  entsprechend  $ϕ_0\hspace{0.15cm}\underline {\approx 37.5^\circ}$.


(5)  Aus der Definition des Modulationsindex bei Frequenzmodulation folgt:

$$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$