Difference between revisions of "Aufgaben:Aufgabe 3.6: PM oder FM? Oder AM?"

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Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal
 
Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal
 
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
 
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
angelegt, wobei die Signalamplitude stets $A_{\rm N}  = 2\ \rm  V$ beträgt.  
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angelegt, wobei die Signalamplitude stets  $A_{\rm N}  = 2\ \rm  V$  beträgt.  
*Mit der Signalfrequenz $f_{\rm N}  = f_1 = 5 \ \rm  kHz$ wird die Ortskurve $\rm O_1$ ermittelt.  
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*Mit der Signalfrequenz  $f_{\rm N}  = f_1 = 5 \ \rm  kHz$  wird die Ortskurve  $\rm O_1$  ermittelt.  
*Verwendet man die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}  = f_2$, so stellt sich die Ortskurve $\rm O_2$ ein.
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*Verwendet man die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}  = f_2$, so stellt sich die Ortskurve  $\rm O_2$  ein.
  
Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex $η$ und der Modulatorkonstanten $K_{ßrm WM}$ besteht:
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Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex  $η$  und der Modulatorkonstanten  $K_{\rm WM}$ besteht:
 
:$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
 
:$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
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''Hinweise:''
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
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*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
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{Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}  = f_1 = 5 \ \rm  kHz$?
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$η_1 \ = \ $ { 1.3 3% }  
 
$η_1 \ = \ $ { 1.3 3% }  
  
{Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante? ''Hinweis.'' „Einheit” steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$  (bei FM).
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{Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante?   ''Hinweis:''   Die „Einheit” steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$  (bei FM).
 
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$K_{\rm WM} \ = \ $ { 2.04 3% } $\ \cdot 10^4 $ „Einheit”
 
$K_{\rm WM} \ = \ $ { 2.04 3% } $\ \cdot 10^4 $ „Einheit”
  
{Welchen Winkel $ϕ_0$ weist die Ortskurve $\rm O_1$ mit $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$ zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
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{Welchen Winkel  $ϕ_0$  (gegenüber der reellen Achse) weist die Ortskurve  $\rm O_1$  mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?
 
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$ϕ_0 \ = \ $ { 37.5 3% } $\ \rm Grad$  
 
$ϕ_0 \ = \ $ { 37.5 3% } $\ \rm Grad$  
  
{Mit welcher Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = f_2$ wurde die Ortskurve $\rm O_2$ ermittelt?
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{Mit welcher Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$  wurde die Ortskurve  $\rm O_2$  ermittelt?
 
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$f_2 \ = \ ${ 3 3% } $\ \rm kHz$  
 
$f_2 \ = \ ${ 3 3% } $\ \rm kHz$  

Revision as of 13:41, 20 December 2018

Zwei verschiedene Ortskurven für Winkelmodulation

Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$

angelegt, wobei die Signalamplitude stets  $A_{\rm N} = 2\ \rm V$  beträgt.

  • Mit der Signalfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$  wird die Ortskurve  $\rm O_1$  ermittelt.
  • Verwendet man die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$, so stellt sich die Ortskurve  $\rm O_2$  ein.


Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex  $η$  und der Modulatorkonstanten  $K_{\rm WM}$ besteht:

$$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ {K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}/({2 \pi \cdot f_{\rm N})} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$




Hinweise:



Fragebogen

1

Um welchen Modulator handelt es sich?

AM–Modulator.
PM–Modulator.
FM–Modulator.

2

Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_1 = 5 \ \rm kHz$?

$η_1 \ = \ $

3

Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante?   Hinweis:   Die „Einheit” steht für $\rm V^{-1}$ (bei PM) oder $\rm (Vs)^{-1}$ (bei FM).

$K_{\rm WM} \ = \ $

$\ \cdot 10^4 $ „Einheit”

4

Welchen Winkel  $ϕ_0$  (gegenüber der reellen Achse) weist die Ortskurve  $\rm O_1$  mit  $ϕ_{\rm N} = 30^\circ$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$ϕ_0 \ = \ $

$\ \rm Grad$

5

Mit welcher Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N} = f_2$  wurde die Ortskurve  $\rm O_2$  ermittelt?

$f_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$


Musterlösung

(1)  Richtig ist die Antwort 3:

  • Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex $η$. *Da aber hier $η$ offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden.


(2)  Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden. Es gilt $η_1 = 75°/180° · π\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.3}$.


(3)  Bei Frequenzmodulation gilt:

$$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird. Dieses lautet:

$$q_{\rm I}(t) = \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =\frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$

Somit ergibt sich für das äquivalente TP-Signal mit $ϕ_N = 30°$:

$$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$

Der Nullphasenwinkel ist somit gleich $η/2$ entsprechend $ϕ_0\hspace{0.15cm}\underline {\approx 37.5^\circ}$.


(5)  Aus der Definition des Modulationsindex bei Frequenzmodulation folgt:

$$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$