Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.06Z: Signal Space Constellations"

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{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante '''A''' mit $\sigma_n^2 = E$ an. Sie können ${\rm Q}(x)$ entsprechend der Näherung berechnen.
 
{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante '''A''' mit $\sigma_n^2 = E$ an. Sie können ${\rm Q}(x)$ entsprechend der Näherung berechnen.
 
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$p_{\rm S}$ = { 0.7 3% } $\ \%$
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$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
  
 
{Es gelte $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm –6} \ {\rm W/Hz}$, $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante '''C''' bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 
{Es gelte $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm –6} \ {\rm W/Hz}$, $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante '''C''' bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 
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$p_{\rm S}$ = { 0.7 3% } $\ \%$
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$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
  
 
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante '''B'''?
 
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante '''B'''?
 
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$p_{\rm S}$ = { 0.7 3% } $\ \%$
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$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
  
 
{Wie groß ist bei der Variante '''A''' die mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System '''C''' zu erhalten?
 
{Wie groß ist bei der Variante '''A''' die mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System '''C''' zu erhalten?
 
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$E_{\rm S}$ = { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$
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$E_{\rm S} \ = \ $ { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Die <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u> müssen auf jeden Fall erfüllt sein. Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten. Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) &ne; {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
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'''(1)'''&nbsp; Die <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u> müssen auf jeden Fall erfüllt sein:
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*Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.  
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*Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) &ne; {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante <i>A</i> gilt zum Beispiel:
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'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante '''A''' gilt zum Beispiel:
 
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
  
Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante <i>B</i>), und auch bei Variante <i>C</i> (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
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Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante '''B'''), und auch bei Variante <i>C</i> (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
  
Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>. Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem ($M = 2$) stets mit einer Basisfunktion ($N = 1$) auskommen. Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist &nbsp;&#8658;&nbsp; gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]] eindimensional beschrieben werden.
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Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
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*Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem $(M = 2)$ stets mit einer Basisfunktion $(N = 1)$ auskommen.  
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*Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist &nbsp; &#8658; &nbsp; gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]] eindimensional beschrieben werden.
  
  
'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten, also auch für die Variante <i>A</i>, gilt:
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'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten, also auch für die Variante '''A''', gilt:
 
:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =  {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )
 
:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =  {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )
 
=  {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
 
=  {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Mit der angegebenen Näherung erhält man
 
Mit der angegebenen Näherung erhält man
:$$p_{\rm S}  = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \cdot 10^{-2}}\hspace{0.05cm}.$$
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:$$p_{\rm S}  = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
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'''(4)'''&nbsp; Bei der Variante '''C''' ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:
'''(4)'''&nbsp; Bei der Variante <i>C</i> ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:
 
 
:$$E_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 +  
 
:$$E_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 +  
  {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 =$$
+
  {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 =
:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
 
 
  \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
 
  \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5}
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5}
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Setzt man dieses Ergebnis in die unter (3) gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 
Setzt man dieses Ergebnis in die unter (3) gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 
:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right )
 
:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right )
=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) =$$
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=  {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right )  
:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}{\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right )  
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={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$
={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \cdot 10^{-2}}\hspace{0.05cm}. $$
 
  
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'''(5)'''&nbsp; Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
  
'''(5)'''&nbsp; Durch die Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Aus diesem Grund erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.007}$.
 
  
 
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'''(6)'''&nbsp; Bei der Variante '''A''' ist die mittlere Energie pro Symbol
'''(6)'''&nbsp; Bei der Variante <i>A</i> ist die mittlere Energie pro Symbol
 
 
:$$E_{\rm S}  = {1}/{2} \cdot    \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E  
 
:$$E_{\rm S}  = {1}/{2} \cdot    \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E  
 
\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
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Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
 
Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
 
:$$p_{\rm S}  = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right )   
 
:$$p_{\rm S}  = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right )   
={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} $$
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={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
 
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Das bedeutet: Bei der Variante <i>A</i> ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor 3.44 größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.007$ zu erzielen. Das heißt: Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
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Das bedeutet: Bei der Variante '''A''' ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen.  
 
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*Das heißt: Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben. Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
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*Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben. Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
 
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Revision as of 13:40, 14 November 2017

Drei Signalraumkonstellationen

Die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Binärsystems lautet:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Hierzu ist anzumerken:

  • ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
  • $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im Vektorraum an:
$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN–Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched–Filter realisiert sein kann. Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$.


Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich

  • Variante A : $s_0 = (+1, \, +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \, +1)$,
  • Variante B : $s_0 = (-1.5, \, +2), \, s_1 = (+1.5, \, -2)$,
  • Variante C : $s_0 = (-2.5, \, 0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \, 0)$.


Die jeweils mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) kann wie folgt berechnet werden:

$$E_{\rm S} = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot || \boldsymbol{ s }_0||^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot || \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
  • Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
  • Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden: ${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.



Fragebogen

1

Welche Voraussetzungen müssen unbedingt (auf jeden Fall) erfüllt sein, damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?

additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$,
optimaler Binärempfänger,
Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen,
gleischwahrscheinliche Symbole $s_0$ und $s_1$.

2

Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit $\sigma_n^2 = E$?

Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante A auf.
Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante B auf.
Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante C auf.
Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten.

3

Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante A mit $\sigma_n^2 = E$ an. Sie können ${\rm Q}(x)$ entsprechend der Näherung berechnen.

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

4

Es gelte $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm –6} \ {\rm W/Hz}$, $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante C bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

5

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante B?

$p_{\rm S} \ = \ $

$\ \%$

6

Wie groß ist bei der Variante A die mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System C zu erhalten?

$E_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$


Musterlösung

(1)  Die drei erstgenannten Voraussetzungen müssen auf jeden Fall erfüllt sein:

  • Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
  • Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) ≠ {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.


(2)  Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante A gilt zum Beispiel:

$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$

Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante B), und auch bei Variante C (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.

Richtig ist also der Lösungsvorschlag 4:

  • Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem $(M = 2)$ stets mit einer Basisfunktion $(N = 1)$ auskommen.
  • Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist   ⇒   gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung eindimensional beschrieben werden.


(3)  Für alle hier betrachteten Varianten, also auch für die Variante A, gilt:

$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$

Mit der angegebenen Näherung erhält man

$$p_{\rm S} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Bei der Variante C ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:

$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 = \left [ {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) + {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \right ] \cdot 6.25 \cdot E = 6.25 \cdot E$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} E = \frac {E_{\rm S}}{6.25} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{E}= \frac {\sqrt{E_{\rm S}}}{2.5} \hspace{0.05cm}.$$

Setzt man dieses Ergebnis in die unter (3) gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right ) ={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$

(5)  Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.


(6)  Bei der Variante A ist die mittlere Energie pro Symbol

$$E_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E \hspace{0.05cm}. $$

Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right ) ={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{\frac {2E}{N_0}} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {E}{N_0} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {E_{\rm S}}{21.5 \cdot N_0} = 0.5$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: Bei der Variante A ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen.

  • Das heißt: Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
  • Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm –6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben. Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.