Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.08: Decision Regions at Three Symbols"

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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
 
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[[File:P_ID2018__Dig_A_4_8.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit <i>M</i> = 3]]
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Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum ($N = 2$) mit der Signalmenge:
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Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum&nbsp; $(N = 2)$&nbsp; mit der Signalmenge:
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
   \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
   \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 
   \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
 
   \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
  
jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$.
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jeweils bezogen auf den Normierungswert&nbsp; $\sqrt {E}$.
  
Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
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Gesucht sind die Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
* Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
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* Die Region&nbsp; $I_i$&nbsp; soll den Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten&nbsp; ($i = 0, 1, 2$).
* Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich
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* Die Signale&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich.
* Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
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* Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
  
  
Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i &ne; k$).
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Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen&nbsp; $G_{\it ik}$&nbsp; zwischen den Regionen&nbsp; $I_i$&nbsp; und&nbsp; $I_k$&nbsp; jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_k$&nbsp; verlaufen &nbsp;$(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \  i &ne; k)$.
  
 
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
 
Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
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   \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
 
   \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
  
eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.
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eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region&nbsp; $I_i$&nbsp; zugeordnet werden sollen.
  
''Hinweise:''  
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].  
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* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
 
* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
 
:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
 
:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 01}$?
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+ $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
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+ $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
 
- $y = x/3$,
 
- $y = x/3$,
- $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
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- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.
  
{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 02}$?
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?
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{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$?
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- $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
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{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?
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{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_{\rm 01}$,&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; in einem Punkt?
 
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+
- Nein.
  
 
{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
 
{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
 
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+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
+
+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_0$.
+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
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+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_2$.
+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.
+
+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$&nbsp; gehört zur Region&nbsp; $I_1$.
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik bei Teilfrage (4)). Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um 90°). Daraus folgt:
+
[[File:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png|right|frame|Entscheidungsregionen]]
:$$y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$$
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).  
 +
*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).  
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*Daraus folgt: &nbsp; $y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
  
Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $&ndash;2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$. Daraus folgt:
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
:$$y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
+
*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $&ndash;2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.  
   = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$$
+
*Daraus folgt: &nbsp; $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
 +
   = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
  
Dies ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $&ndash;3$. Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
+
'''(3)'''&nbsp; Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend:
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*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $&ndash;3$.  
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*Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
 
:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
 
:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
 
     = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y =  {x}/{3}  
 
     = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y =  {x}/{3}  
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
  
Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend.
 
 
 
'''(4)'''&nbsp; Die nachfolgende Grafik zeigt bereits, dass die <u>Antwort JA</u> ist. Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
 
 
[[File:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png|right|frame|Entscheidungsregionen]]
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort <u>JA</u> ist.
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*Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
 
:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
     {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x $$
+
     {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14}  
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14}  
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
  
Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
+
*Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
:$$y(x = {9}/{14}) \hspace{-0.1cm}  \ = \ \hspace{-0.1cm}-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x =$$
+
:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
:$$ \hspace{4cm}  \ =  \ \hspace{-0.1cm} -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =$$
 
:$$ \hspace{4cm}  \ =  \ \hspace{-0.1cm}\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
 
 
     \hspace{0.05cm}.$$
 
     \hspace{0.05cm}.$$
  
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]
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[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^4.3 BER-Approximation^]]

Revision as of 13:52, 23 March 2021

Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen

Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

  • Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  ($i = 0, 1, 2$).
  • Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
  • Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.


Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k)$.

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.




Hinweise:

  • Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

2

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 02}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

3

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 12}$?

$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
$y = x/3$,
$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

4

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?

Ja.
Nein.

5

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

$\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
$\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
$\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.


Musterlösung

Entscheidungsregionen

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
  • Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
  • Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.
  • Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$


(3)  Hier ist der Lösungsvorschlag 2 zutreffend:

  • Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$.
  • Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort JA ist.

  • Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
  • Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Gemäß der Grafik sind alle genannten Aussagen richtig.