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P ID427 Sto Z 4 13.png
Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte Pseudoternärcodes. Bei diesen Codes wird die binäre Quellensymbolfolge 〈qν〉 nach einer festen Vorschrift in eine Folge 〈cν〉 von Ternärsymbolen umgesetzt:
$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
Der bekannteste Vertreter der Pseudoternärcodes ist der AMI-Code (von Alternate Mark Inversion). Hier wird der Binärwert qν = –1 stets auf cν = 0 abgebildet, während qν = +1 abwechselnd (alternierend) durch die Ternärwerte cν = +1 und cν = –1 dargestellt wird. Vereinbarungsgemäß wird beim ersten Auftreten von qν = +1 das Ternärsymbol cν = +1 ausgewählt.
Weiter wird vorausgesetzt, dass die zwei möglichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und die Quellensymbolfolge 〈qν〉 keine inneren statistischen Bindungen aufweist. Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich 0 mit Ausnahme von φq(k = 0):

$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$

T bezeichnet den Abstand der Quellen– bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert T = 1 μs.
Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen. Bitte beachten Sie:
  • Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen A{φq(τ)} und A{φc(τ)} der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert T.
  • Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe φq(τ) und φc(τ) der AKF, wobei Rechtecksignale vorausgesetzt sind.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Numerische Ermittlung des LDS im Kapitel 4.5. Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz
$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
Δ(t) bezeichnet einen um t = 0 symmetrischen Dreieckimpuls mit Δ(0) = 1 und Δ(t) = 0 für |t| ≥ T.


Fragebogen

1

Wie groß ist der diskrete AKF-Wert der Quellensymbole für k = 0?

φq(k = 0) =

2

Welche Aussagen gelten für die LDS–Funktionen Φq(f) und P{Φq(f)}?

P{Φq(f)} ist für alle Frequenzen eine Konstante.
Φq(f) ist für |f · T| < 0.5 konstant und außerhalb 0.
Φq(f) verläuft si2- förmig.

3

Die Quellensymbolfolge sei 〈qν〉 = +1, –1, +1, +1, –1, +1, +1, –1, –1, –1. Wie lauten die Codesymbole cν? Geben Sie das Codesymbol c6 ein.

$c_6$ =

4

Wie groß ist der quadratische Mittelwert der Codesymbolfolge 〈cν〉.

φc(k = 0) =

5

Berechnen Sie die AKF-Werte φc(k = +1) und φc(k = –1).

φc(k = +1) =

φc(k = -1) =

6

Welche spektrale Leistungsdichte Φc(f) ergibt sich für die Frequenz <nobr>f = 0</nobr> bzw. für <nobr>f = 500 kHz?</nobr> Hinweis: Für |k| ≥ 2 sind alle AKF-Werte φc(k) = 0.

$\phi_c(f = 0)$ =

$\phi_c(f = 500 kHz)$ =

$.10^{-6}\ 1/Hz$


Musterlösung

1.  Der diskrete AKF-Wert für k = 0 gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an. Da qν nur die Werte –1 und +1 annehmen kann, ist φq(k = 0) = 1.
2.  Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} = \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
Es ist berücksichtigt, dass φq(k = 0) = σq2 = 1 ist. Das bedeutet: Die periodische Fortsetzung von Φq(f) ergibt für alle Frequenzen den gleichen Wert.
Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden:
$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
Das dazugehörige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme:
$$ {\it \Phi_q} ( f) = {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
Aufgrund der gewählten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein si2-förmiges LDS. Ein rechteckförmiges Spektrum (Lösungsvorschlag 2) würde sich nur bei <nobr>si-förmiger</nobr> Interpolation einstellen. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.
3.  Die codierte Folge lautet: +1, 0, –1, +1, 0, –1, +1, 0, 0, 0. Das 6. Symbol ist somit c6 = –1.
4.  Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte –1, 0 und +1 sind 0.25, 0.5, 0.25. Daraus folgt:
$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$
5.  Für den AKF-Wert bei k = 1 betrachtet man das Produkt cν · cν+1. Es ergeben sich die unten gezeigten Kombinationen. Einen Beitrag liefern nur Produkte cν · cν+1 ≠ 0 mit Pr[cνcν+1] ≠ 0:
$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) \cdot (+1) \cdot (-1) \\ + {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \right ) \cdot (-1) \cdot (+1).$$
P ID428 Sto Z 4 13 e.png
In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
$$ {\rm Pr} \left ( ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \right ) = {\rm Pr} ( c_{\nu} = +1) \cdot {\rm Pr} \left ( c_{\nu + 1} = -1\hspace{0.1cm} | \hspace{0.1cm}c_{\nu } = +1) \right ) \\ = {1}/{4} \hspace{0.1cm}\cdot\hspace{0.1cm} {1}/{2}\hspace{0.1cm} =\hspace{0.1cm} {1}/{8} . $$
Hierbei ist vorausgesetzt, dass „+1“ mit der Wahrscheinlichkeit 0.25 auftritt und danach „–1“ nur in der Hälfte der Fälle folgt. Das gleiche Ergebnis erhält man für den zweiten Beitrag. Damit gilt:
$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
Für k = –1 ergibt sich aus Symmetriegründen der gleiche Wert. Zur Berechnung von φc(k = 2) muss über 33 = 27 Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist jedoch Null.
6.  Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF A{φc(τ)} lautet:
$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} = T\cdot \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
Mit dem Ergebnis von 5) folgt daraus:
$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} = \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
Wie unter Punkt (b) gezeigt, gilt dann für das LDS – also die Fouriertransformierte von φc(τ):
$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
Bei der Frequenz f = 0 ergibt sich der Wert 0. Für f = 500 kHz erhält man f · T = 0.5 und somit:
$${\it \Phi_c}( f = {\rm500 \hspace{0.1cm}kHz}) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi /2 )}{( \pi /2 )^2 } = \frac {4 T}{\pi^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.405 \cdot 10^{-6} {1}/{Hz}}.$$