Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.15: MSK Compared with BPSK and QPSK"

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Verglichen werden die Leistungsdichtespektren (im äquivalenten Tiefpassbereich) von
 
Verglichen werden die Leistungsdichtespektren (im äquivalenten Tiefpassbereich) von
* ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK),
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* ''Binary Phase Shift Keying''  $\rm (BPSK)$,
* ''Quaternary Phase Shift Keying'' (QPSK),
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* ''Quaternary Phase Shift Keying''  $\rm  (QPSK)$,
* ''Minimum Shift Keying'' (MSK).
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* ''Minimum Shift Keying''  $\rm  (MSK)$.
  
  
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Für die BPSK und die QPSK ist jeweils ein rechteckförmiger Grundimpuls der Höhe  $s_0$  und der Symboldauer  $T$  vorausgesetzt. Damit gilt für die BPSK und die QPSK (bzw. die 4–QAM und die Offset–QPSK) gleichermaßen:
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Für die BPSK und die QPSK ist jeweils ein rechteckförmiger Grundimpuls der Höhe  $s_0$  und der Symboldauer  $T$  vorausgesetzt.  Damit gilt für die BPSK und die QPSK  (bzw. die 4–QAM und die Offset–QPSK)  gleichermaßen:
 
:$${\it \Phi}_{s}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{4} \cdot \big [ {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f- f_{\rm T}) ) + {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f+ f_{\rm T}) ) \big ]\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\it \Phi}_{s}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{4} \cdot \big [ {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f- f_{\rm T}) ) + {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f+ f_{\rm T}) ) \big ]\hspace{0.05cm},$$
 
und in den äquivalenten Tiefpassbereich transformiert:
 
und in den äquivalenten Tiefpassbereich transformiert:
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Trotz gleicher Formel weisen die BPSK und die QPSK unterschiedliche  Leistungsdichtespektren auf:
 
Trotz gleicher Formel weisen die BPSK und die QPSK unterschiedliche  Leistungsdichtespektren auf:
*Bei der BPSK (graue Kurve) ist die Symboldauer  $T$  gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  und es gilt mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2)$ :
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*Bei der BPSK  (graue Kurve)  ist die Symboldauer  $T$  gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  und es gilt mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2)$ :
 
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$
 
*Dagegen ist bei der QPSK (blaue Kurve) bei gleichem  $E_{\rm B}$  die Symboldauer  $T$  doppelt so groß:
 
*Dagegen ist bei der QPSK (blaue Kurve) bei gleichem  $E_{\rm B}$  die Symboldauer  $T$  doppelt so groß:
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Bei der Berechnung des MSK–Spektrums (rote Kurve) kann berücksichtigt werden, dass die MSK als Offset–QPSK entsprechend dem  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29|Blockschaltbild]]  im Theorieteil realisiert werden kann, wenn der folgende Grundimpuls verwendet wird:
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Bei der Berechnung des MSK–Spektrums (rote Kurve) kann berücksichtigt werden, dass die MSK als Offset–QPSK entsprechend dem  [[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]  im Theorieteil realisiert werden kann, wenn der folgende Grundimpuls verwendet wird:
:$$g(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
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:$$g(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
In der  [[Aufgaben:4.15Z_MSK–Grundimpuls_und_MSK-Spektrum|Aufgabe 4.14Z]]  wird die zugehörige Spektralfunktion berechnet:
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In der  [[Aufgaben:4.15Z_MSK–Grundimpuls_und_MSK-Spektrum|Aufgabe 4.15Z]]  wird die zugehörige Spektralfunktion berechnet:
 
:$$G(f) = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$G(f) = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
  
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* Auch bei MSK ist die Energie pro Bit wie folgt gegeben:   $E_{\rm B} = s_0^2 · T/2$.
 
* Auch bei MSK ist die Energie pro Bit wie folgt gegeben:   $E_{\rm B} = s_0^2 · T/2$.
 
* Der Betrag des Tiefpass–Signals  $|s_{\rm TP}(t)| = s_0$  ist gleich dem Maximalwert  $g_0$  des Grundimpulses  $g(t)$.  
 
* Der Betrag des Tiefpass–Signals  $|s_{\rm TP}(t)| = s_0$  ist gleich dem Maximalwert  $g_0$  des Grundimpulses  $g(t)$.  
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
+
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Modulation_Methods/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
 
   
 
   
 
*Das Leistungsdichtespektrums im äquivalenten Tiefpassbereich eines Zweiges – zum Beispiel:  Inphasekomponente – lautet:
 
*Das Leistungsdichtespektrums im äquivalenten Tiefpassbereich eines Zweiges – zum Beispiel:  Inphasekomponente – lautet:
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bei welcher Frequenz &nbsp;$f_1$&nbsp; hat das BPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle? Der Bezugswert ist die Bitrate &nbsp;$1/T_{\rm B}$.
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{Bei welcher Frequenz &nbsp;$f_1$&nbsp; hat das BPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?&nbsp; Der Bezugswert ist die Bitrate &nbsp;$1/T_{\rm B}$.
 
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$f_1 \ = \ $  { 1 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$  
 
$f_1 \ = \ $  { 1 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$  
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$f_1 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$  
 
$f_1 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 1/T_{\rm B}$  
  
{Wie lautet das MSK–Leistungsdichtespektrum im äquivalenten TP–Bereich? Welcher LDS–Wert $($normiert auf &nbsp;$E_{\rm B})$&nbsp; tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
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{Wie lautet das MSK–Leistungsdichtespektrum im äquivalenten TP–Bereich?&nbsp; Welcher LDS–Wert&nbsp; $($normiert auf &nbsp;$E_{\rm B})$&nbsp; tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
 
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${\itΦ}_\text{s, TP}(f = 0) \ = \ $ { 3.243 3% } $\ \cdot E_{\rm B}$
 
${\itΦ}_\text{s, TP}(f = 0) \ = \ $ { 3.243 3% } $\ \cdot E_{\rm B}$
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- Die erste LDS–Nullstelle kommt bei MSK früher als bei QPSK.
 
- Die erste LDS–Nullstelle kommt bei MSK früher als bei QPSK.
+ Das MSK–Leistungsdichtespektrum klingt schneller ab.
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+ Das MSK–Leistungsdichtespektrum klingt schneller ab im Vergleich zur QPSK.
- Bei MSK ist das Integral über &nbsp;${\itΦ}_\text{s, TP}(f)$&nbsp; (nicht logarithmiert) größer als bei QPSK.
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- Bei MSK ist das Integral über &nbsp;${\itΦ}_\text{s, TP}(f)$&nbsp; (nicht logarithmiert!)&nbsp; größer als bei QPSK.
  
 
</quiz>
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Aus der angegebenen Gleichung und der Grafik erkennt man, dass bei ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) die erste Nullstelle des Leistungsdichtespektrums bei $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =1} \cdot  1/T_{\rm B}$ liegt.
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'''(1)'''&nbsp;  Aus Gleichung und Grafik erkennt man, dass bei&nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; die erste Nullstelle des Leistungsdichtespektrums bei&nbsp; $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =1} \cdot  1/T_{\rm B}$&nbsp; liegt.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der niedrigeren Symbolrate $1/T$ ist bei ''Quaternary Phase Shift Keying'' (QPSK)  &ndash; und bei allen verwandten quaternären Modulationsverfahren &ndash;  das Spektrum nur halb so breit wie bei der BPSK &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5} \cdot  1/T_{\rm B}$.
 
  
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der niedrigeren Symbolrate $1/T$ ist bei&nbsp; ''Quaternary Phase Shift Keying''&nbsp; $\rm (QPSK)$&nbsp;  &ndash; und bei allen verwandten quaternären Modulationsverfahren &ndash;  das Spektrum nur halb so breit wie bei der BPSK &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5} \cdot  1/T_{\rm B}$.
  
'''(3)'''&nbsp; Für das Leistungsdichtespektren (LDS) des Gesamtsignals gilt im äquivalenten Tiefpassbereich:
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'''(3)'''&nbsp; Für das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; des Gesamtsignals gilt im äquivalenten Tiefpassbereich:
 
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)  =  {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) + {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm Q},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)=  2 \cdot {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {1}/{ T} \cdot |G(f)|^2\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)  =  {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) + {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm Q},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)=  2 \cdot {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {1}/{ T} \cdot |G(f)|^2\hspace{0.05cm}.$$
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass
* die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ unkorreliert sind, so dass man die LDS–Anteile addieren kann,
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* die Signale&nbsp; $s_{\rm I}(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_{\rm Q}(t)$&nbsp; unkorreliert sind, so dass man die LDS–Anteile addieren kann,
* wegen der binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten der Erwartungswert $E[a_ν^2] = 1$ ist.
+
* wegen der binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten der Erwartungswert&nbsp; $E[a_ν^2] = 1$&nbsp; ist.
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Damit erhält man:
 
Damit erhält man:
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{1}{ T} \cdot \left ( \frac {4}{\pi} \right ) ^2 \cdot g_0^2 \cdot T^2 \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi f T )}{ \left [1 - (4 f T)^2 \right ] ^2} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{1}{ T} \cdot \left ( \frac {4}{\pi} \right ) ^2 \cdot g_0^2 \cdot T^2 \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi f T )}{ \big [1 - (4 f T)^2 \big ] ^2} \hspace{0.05cm}.$$
Mit $s_0 = g_0$, $T = T_{\rm B}$ und $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$ gilt weiter:
+
Mit&nbsp; $s_0 = g_0$,&nbsp; $T = T_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$&nbsp; gilt weiter:
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi \cdot f \cdot T_{\rm B} )}{ \left [1 - (4 \cdot f \cdot T_{\rm B})^2 \right ] ^2}\hspace{0.3cm}
+
:$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi \cdot f \cdot T_{\rm B} )}{ \big [1 - (4 \cdot f \cdot T_{\rm B})^2 \big ] ^2}\hspace{0.3cm}
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f = 0 )= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.243 \cdot E_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 
  \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f = 0 )= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.243 \cdot E_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$
 +
  
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der Lösungsvorschlag 1</u>:
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der Lösungsvorschlag 1</u>:
 
*Bereits aus der Grafik ist zu ersehen, dass die erste Aussage falsch und die zweite richtig ist.  
 
*Bereits aus der Grafik ist zu ersehen, dass die erste Aussage falsch und die zweite richtig ist.  
*Der Lösungsvorschlag 3 stimmt ebenfalls nicht. Das Integral über die Leistungsdichtespektren ergibt die Leistung ($E_{\rm B}/T_{\rm B}$).  
+
*Der Lösungsvorschlag 3 stimmt ebenfalls nicht.&nbsp; Das Integral über die Leistungsdichtespektren ergibt die Leistung&nbsp; $(E_{\rm B}/T_{\rm B})$.  
*Die Signalverläufe von BPSK, QPSK und MSK machen deutlich, dass die Leistung bei konstanter Hüllkurve ($s_0$) für alle betrachteten Modulationsverfahren gleich ist.
+
*Die Signalverläufe von BPSK, QPSK und MSK machen deutlich, dass die Leistung bei konstanter Hüllkurve&nbsp; $(s_0)$&nbsp; für diese drei Modulationsverfahren gleich ist.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]

Revision as of 13:46, 23 March 2021

Leistungsdichtespektren:   BPSK, QPSK, MSK

Verglichen werden die Leistungsdichtespektren (im äquivalenten Tiefpassbereich) von

  • Binary Phase Shift Keying  $\rm (BPSK)$,
  • Quaternary Phase Shift Keying  $\rm (QPSK)$,
  • Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$.


Diese sind in der Grafik logarithmisch dargestellt, wobei die Frequenz auf den Kehrwert der Bitdauer  $T_{\rm B}$  normiert ist.


Für die BPSK und die QPSK ist jeweils ein rechteckförmiger Grundimpuls der Höhe  $s_0$  und der Symboldauer  $T$  vorausgesetzt.  Damit gilt für die BPSK und die QPSK  (bzw. die 4–QAM und die Offset–QPSK)  gleichermaßen:

$${\it \Phi}_{s}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{4} \cdot \big [ {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f- f_{\rm T}) ) + {\rm si}^2 ( \pi T \cdot (f+ f_{\rm T}) ) \big ]\hspace{0.05cm},$$

und in den äquivalenten Tiefpassbereich transformiert:

$$ {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{s_0^2 \cdot T}{2} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ) \hspace{0.05cm}.$$

Trotz gleicher Formel weisen die BPSK und die QPSK unterschiedliche Leistungsdichtespektren auf:

  • Bei der BPSK  (graue Kurve)  ist die Symboldauer  $T$  gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  und es gilt mit der Energie pro Bit  $(E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2)$ :
$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen ist bei der QPSK (blaue Kurve) bei gleichem  $E_{\rm B}$  die Symboldauer  $T$  doppelt so groß:
$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = 2 \cdot E_{\rm B} \cdot {\rm si}^2 ( 2\pi f T_{\rm B} ) \hspace{0.05cm}.$$


Bei der Berechnung des MSK–Spektrums (rote Kurve) kann berücksichtigt werden, dass die MSK als Offset–QPSK entsprechend dem  Blockschaltbild  im Theorieteil realisiert werden kann, wenn der folgende Grundimpuls verwendet wird:

$$g(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der  Aufgabe 4.15Z  wird die zugehörige Spektralfunktion berechnet:

$$G(f) = \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$

Berücksichtigen Sie weiterhin:

  • Die beiden Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  sind trotz der Vorcodierung unkorreliert.
  • Bei MSK ist entgegen der QPSK wie bei der BPSK  $T = T_{\rm B}$  zu setzen.
  • Auch bei MSK ist die Energie pro Bit wie folgt gegeben:   $E_{\rm B} = s_0^2 · T/2$.
  • Der Betrag des Tiefpass–Signals  $|s_{\rm TP}(t)| = s_0$  ist gleich dem Maximalwert  $g_0$  des Grundimpulses  $g(t)$.





Hinweise:

  • Das Leistungsdichtespektrums im äquivalenten Tiefpassbereich eines Zweiges – zum Beispiel:  Inphasekomponente – lautet:
$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = \frac{1}{2 T} \cdot {\rm E} \left [ a_\nu ^2 \right ] \cdot |G(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Bei welcher Frequenz  $f_1$  hat das BPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?  Der Bezugswert ist die Bitrate  $1/T_{\rm B}$.

$f_1 \ = \ $

$\ \cdot 1/T_{\rm B}$

2

Bei welcher Frequenz  $f_1$  hat das QPSK–Leistungsdichtespektrum seine erste Nullstelle?

$f_1 \ = \ $

$\ \cdot 1/T_{\rm B}$

3

Wie lautet das MSK–Leistungsdichtespektrum im äquivalenten TP–Bereich?  Welcher LDS–Wert  $($normiert auf  $E_{\rm B})$  tritt bei  $f = 0$  auf?

${\itΦ}_\text{s, TP}(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot E_{\rm B}$

4

Welche Aussagen treffen hinsichtlich des asymptotischen Spektralverhaltens zu?

Die erste LDS–Nullstelle kommt bei MSK früher als bei QPSK.
Das MSK–Leistungsdichtespektrum klingt schneller ab im Vergleich zur QPSK.
Bei MSK ist das Integral über  ${\itΦ}_\text{s, TP}(f)$  (nicht logarithmiert!)  größer als bei QPSK.


Musterlösung

(1)  Aus Gleichung und Grafik erkennt man, dass bei  Binary Phase Shift Keying  $\rm (BPSK)$  die erste Nullstelle des Leistungsdichtespektrums bei  $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =1} \cdot 1/T_{\rm B}$  liegt.


(2)  Aufgrund der niedrigeren Symbolrate $1/T$ ist bei  Quaternary Phase Shift Keying  $\rm (QPSK)$  – und bei allen verwandten quaternären Modulationsverfahren – das Spektrum nur halb so breit wie bei der BPSK   ⇒   $f_1\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5} \cdot 1/T_{\rm B}$.


(3)  Für das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  des Gesamtsignals gilt im äquivalenten Tiefpassbereich:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) + {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm Q},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= 2 \cdot {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm I},\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f) = {1}/{ T} \cdot |G(f)|^2\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

  • die Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  unkorreliert sind, so dass man die LDS–Anteile addieren kann,
  • wegen der binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten der Erwartungswert  $E[a_ν^2] = 1$  ist.


Damit erhält man:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{1}{ T} \cdot \left ( \frac {4}{\pi} \right ) ^2 \cdot g_0^2 \cdot T^2 \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi f T )}{ \big [1 - (4 f T)^2 \big ] ^2} \hspace{0.05cm}.$$

Mit  $s_0 = g_0$,  $T = T_{\rm B}$  und  $E_{\rm B} = s_0^2 · T_{\rm B}/2$  gilt weiter:

$${\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f)= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \cdot \frac{ {\rm cos}^2 ( 2 \pi \cdot f \cdot T_{\rm B} )}{ \big [1 - (4 \cdot f \cdot T_{\rm B})^2 \big ] ^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{s,\hspace{0.05cm} {\rm TP}}(f = 0 )= \frac{32}{ \pi^2} \cdot E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.243 \cdot E_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:

  • Bereits aus der Grafik ist zu ersehen, dass die erste Aussage falsch und die zweite richtig ist.
  • Der Lösungsvorschlag 3 stimmt ebenfalls nicht.  Das Integral über die Leistungsdichtespektren ergibt die Leistung  $(E_{\rm B}/T_{\rm B})$.
  • Die Signalverläufe von BPSK, QPSK und MSK machen deutlich, dass die Leistung bei konstanter Hüllkurve  $(s_0)$  für diese drei Modulationsverfahren gleich ist.