Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.1: Attenuation Function"

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[[File:P_ID1797__LZI_A_4_1.png|right|Dämpfungsmaß und Schranken]]
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Das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ – sprich „alpha” –  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an. Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge $R'$, $L'$, $G'$ und $C'$ festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
+
Das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$ – sprich "alpha" –  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an.  Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$ und  $C\hspace{0.08cm}'$  festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np}  = {1}/{2} \cdot \left [R' \cdot \sqrt{{C'}/{ L'} } + G' \cdot \sqrt{{L'}/{ C'} }\right ]
+
:$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np}  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.08cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.05cm}\right ]
 
  \hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.05cm},$$
$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np}  =  \sqrt{1/2 \cdot \omega  \cdot {R' \cdot C'} }\hspace{0.1cm}
+
:$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np}  =  \sqrt{1/2 \cdot \omega  \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.1cm}
 
  \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf $\alpha(f)$ in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von $\alpha_{\rm I}(f)$ und $\alpha_{\rm II}(f)$ ergibt die charakteristische Frequenz $f_∗$ mit folgender Bedeutung:
+
Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf  $\alpha(f)$  in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von  $\alpha_{\rm I}(f)$  und  $\alpha_{\rm II}(f)$  ergibt die charakteristische Frequenz  $f_∗$  mit folgender Bedeutung:
*Für $f \gg f_∗$ gilt $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.  
+
*Für  $f \gg f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.  
*Für $f \ll f_∗$ gilt $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
+
*Für  $f \ll f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
  
Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß $\alpha(f)$ für ein Nachrichtensignal der Frequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:
 
  
* ein Kupferkabel mit $0.6  \ \rm mm$ Durchmesser:
+
Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$  für ein Nachrichtensignal der Frequenz  $f_0 = 2 \ \rm kHz$  ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:
:$$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
 
  L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
* ein Kupferkabel mit  $0.6  \ \rm mm$  Durchmesser:
  G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
:$$R\hspace{0.05cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
+
  L\hspace{0.03cm}' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 +
  G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 +
  C\hspace{0.08cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
  
* eine Bronzefreileitung mit $5 \ \rm  mm$ Durchmesser:
+
* eine Bronzefreileitung mit  $5 \ \rm  mm$  Durchmesser:
:$$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
:$$R\hspace{0.05cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
  L\hspace{0.03cm}' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
  G\hspace{0.08cm}' = 0.5\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
+
  C\hspace{0.08cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 +
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 +
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
+
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel    [[Linear_and_Time_Invariant_Systems/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
*Die Hinweiseinheit „Neper” (Np) in obigen Gleichungen für $α_{\rm I}(f)$ und $α_{\rm II}(f)$ und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß $α(f)$ ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als  $|H(f)| = {\rm e}^{-a}$ definiert ist. Daraus folgt  für die Dämpfung  $ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch „Np” gekennzeichnet wird.
+
*Die Hinweiseinheit "Neper" (Np) in obigen Gleichungen für  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$  und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß  $α(f)$  ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als   $|H(f)| = {\rm e}^{-a}$  definiert ist.  
Die Einheit des Dämpfungsmaßes $α = a/l$ ist somit „Np/km”.
+
*Daraus folgt  für die Dämpfung   $ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch "Neper" (Np) gekennzeichnet wird.
 +
*Die Einheit des Dämpfungsmaßes  $α = a/l$  ist somit "Np/km".
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie für das Kupferkabel und das Bronzekabel die angegebene Näherung $\alpha_{\rm I}$ .
+
{Berechnen Sie für das Kupferkabel und das Bronzekabel die angegebene Näherung &nbsp;$\alpha_{\rm I}$ .
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha_{\rm I} \ =$  { 0.496 3% } $\ \rm Np/km$
+
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha_{\rm I} \ = \ $  { 0.496 3% } $\ \rm Np/km$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha_{\rm I} \ =$ { 2.25 3% } $\ \rm \cdot 10^{-3}\ Np/km$
+
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha_{\rm I} \ = \ $ { 0.0023 3% } $\ \rm Np/km$
  
  
{Geben Sie die jeweilige charakteristische Frequenz $f_*$ an, die die Gültigkeitsbereiche der beiden Näherungen begrenzt.
+
{Geben Sie die jeweilige charakteristische Frequenz &nbsp;$f_*$&nbsp; an, die die Gültigkeitsbereiche der beiden Näherungen begrenzt.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\ f_* \ =$ { 17.2 3% } $\ \rm kHz$
+
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} f_* \ = \ $ { 17.2 3% } $\ \rm kHz$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ f_* \ =$ { 0.109 3% } $\ \rm kHz$
+
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} f_* \ = \ $ { 0.109 3% } $\ \rm kHz$
  
  
{Geben Sie unter Zuhilfenahme der beiden Näherungen das Dämpfungsmaß für die Frequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ an.
+
{Geben Sie unter Zuhilfenahme der beiden Näherungen das Dämpfungsmaß für die Frequenz &nbsp;$f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}: \ \alpha (f = f_0) $ = { 0.17 3% } $\ \rm Np/km$
+
${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $ { 0.17 3% } $\ \rm Np/km$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\ \alpha (f = f_0) $ = { 2.25 3% } $\ \rm \cdot 10^{-3}\ Np/km$
+
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $ { 0.0023 3% } $\ \rm   Np/km$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt mit $R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
'''(1)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt mit &nbsp;$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
  G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}$:
 
  C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}$:
$${\alpha_{_{\rm I}}(f)}  =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
+
:$${\alpha_{_{\rm I}}(f)}  =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
 
  \left [130\,{\rm \Omega} \cdot \sqrt{\frac{35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}}{ 0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}} }
 
  \left [130\,{\rm \Omega} \cdot \sqrt{\frac{35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}}{ 0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}} }
 
  + 10^{-6}\,{\rm \Omega^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}}{ 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}} }\hspace{0.1cm}\right
 
  + 10^{-6}\,{\rm \Omega^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}}{ 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}} }\hspace{0.1cm}\right
 
  ]  $$  
 
  ]  $$  
$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)  =  1/2 \cdot
+
:$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)  =  1/2 \cdot
 
  \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right
 
  \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right
 
  ] {\rm Np/km}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.496\,{\rm Np/km}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  ] {\rm Np/km}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.496\,{\rm Np/km}}\hspace{0.05cm}.$$
Für die Bronzeleitung ergibt sich mit $R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
Für die Bronzeleitung ergibt sich mit &nbsp;$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
  G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+
  G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 
  C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
 
  C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
 
  \hspace{0.05cm}:$
 
  \hspace{0.05cm}:$
$$\alpha_{\rm I}(f)  =  1/2 \cdot
+
:$$\alpha_{\rm I}(f)  =  1/2 \cdot
 
  \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} }
 
  \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} }
 
  + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right
 
  + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right
 
  ] $$
 
  ] $$
$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)  =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
+
:$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)  =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
  \left [4.244 \cdot 10^{-3}+  0.259 \cdot 10^{-3}\right
+
  \big [4.244 \cdot 10^{-3}+  0.259 \cdot 10^{-3}\big
 
  ] {\rm Np/km}
 
  ] {\rm Np/km}
\hspace{0.15cm}\underline{= 2.25\cdot 10^{-3}\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$
+
\hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe (1) berechnete Schranke $α_{\rm I}(f)$ gilt nur für $f \gg f_∗$, während die Schranke $α_{\rm II}(f)$ für $f \ll f_∗$ gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
+
 
$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =  \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}
+
'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnete Schranke &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; gilt nur für &nbsp;$f \gg f_∗$, während die Schranke &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gültig ist.  
 +
*Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
 +
:$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =  \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}
 
  \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
 
  \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
Für das Kupferkabel mit 0.6 mm  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
+
*Für das Kupferkabel mit&nbsp; $\text{0.6 mm}$&nbsp; Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
$$f_{\star}  =  \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}=
+
:$$f_{\star}  =  \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}=
 
     \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}}
 
     \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}}
 
\hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser:
+
*Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit&nbsp; $\text{5 mm}$&nbsp;Durchmesser:
$$f_{\star}  =
+
:$$f_{\star}  =
 
     \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz}
 
     \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz}
 
\hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt $f_0 \ll f_∗$. Deshalb ist hier die Näherung $α_{\rm II}(f)$ günstiger:
+
 
$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
+
'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt &nbsp;$f_0 \ll f_∗$.  
 +
*Deshalb ist hier die Näherung &nbsp;$α_{\rm II}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; "starke Dämpfung" zu verwenden:
 +
:$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
 
  \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }
 
  \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }
 
\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
 
\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen $f_0 \gg f_∗$ die Näherung $α_{\rm I}(f)$ &nbsp;&rArr;&nbsp, &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo; (siehe Teilaufgabe 1) besser geeignet:
+
*Für die Bronzeleitung ist wegen &nbsp;$f_0 \gg f_∗$&nbsp; die Näherung &nbsp;$α_{\rm I}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; "schwache Dämpfung"  besser geeignet, siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''':
$$\alpha(f = f_0)   
+
:$$\alpha(f = f_0)   
\hspace{0.15cm}\underline{= 2.25 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
+
\hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^4.1 Einige Ergebnisse der Leitungstheorie^]]
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[[Category:Linear and Time-Invariant Systems: Exercises|^4.1 Einige Ergebnisse der Leitungstheorie^]]

Revision as of 15:35, 28 May 2021

Dämpfungsmaß und Schranken

Das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$ – sprich "alpha" – einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an.  Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$ und  $C\hspace{0.08cm}'$  festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:

$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np} = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.08cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.05cm}\right ] \hspace{0.05cm},$$
$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np} = \sqrt{1/2 \cdot \omega \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf  $\alpha(f)$  in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von  $\alpha_{\rm I}(f)$  und  $\alpha_{\rm II}(f)$  ergibt die charakteristische Frequenz  $f_∗$  mit folgender Bedeutung:

  • Für  $f \gg f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.
  • Für  $f \ll f_∗$  gilt  $α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.


Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß  $\alpha(f)$  für ein Nachrichtensignal der Frequenz  $f_0 = 2 \ \rm kHz$  ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:

  • ein Kupferkabel mit  $0.6 \ \rm mm$  Durchmesser:
$$R\hspace{0.05cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L\hspace{0.03cm}' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.08cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
  • eine Bronzefreileitung mit  $5 \ \rm mm$  Durchmesser:
$$R\hspace{0.05cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L\hspace{0.03cm}' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.08cm}' = 0.5\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.08cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

  • Die Hinweiseinheit "Neper" (Np) in obigen Gleichungen für  $α_{\rm I}(f)$  und  $α_{\rm II}(f)$  und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß  $α(f)$  ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als  $|H(f)| = {\rm e}^{-a}$  definiert ist.
  • Daraus folgt für die Dämpfung  $ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch "Neper" (Np) gekennzeichnet wird.
  • Die Einheit des Dämpfungsmaßes  $α = a/l$  ist somit "Np/km".


Fragebogen

1

Berechnen Sie für das Kupferkabel und das Bronzekabel die angegebene Näherung  $\alpha_{\rm I}$ .

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha_{\rm I} \ = \ $

$\ \rm Np/km$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha_{\rm I} \ = \ $

$\ \rm Np/km$

2

Geben Sie die jeweilige charakteristische Frequenz  $f_*$  an, die die Gültigkeitsbereiche der beiden Näherungen begrenzt.

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} f_* \ = \ $

$\ \rm kHz$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} f_* \ = \ $

$\ \rm kHz$

3

Geben Sie unter Zuhilfenahme der beiden Näherungen das Dämpfungsmaß für die Frequenz  $f_0 = 2 \ \rm kHz$  an.

${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $

$\ \rm Np/km$
${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $

$\ \rm Np/km$


Musterlösung

(1)  Für das Kupferkabel gilt mit  $R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}$:

$${\alpha_{_{\rm I}}(f)} = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [130\,{\rm \Omega} \cdot \sqrt{\frac{35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}}{ 0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}} } + 10^{-6}\,{\rm \Omega^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}}{ 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}} }\hspace{0.1cm}\right ] $$
$$ \Rightarrow \; \alpha_{\rm I}(f) = 1/2 \cdot \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right ] {\rm Np/km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.496\,{\rm Np/km}}\hspace{0.05cm}.$$

Für die Bronzeleitung ergibt sich mit  $R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm µ S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}:$

$$\alpha_{\rm I}(f) = 1/2 \cdot \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} } + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right ] $$
$$ \Rightarrow \; \alpha_{\rm I}(f) = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \big [4.244 \cdot 10^{-3}+ 0.259 \cdot 10^{-3}\big ] {\rm Np/km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Die in der Teilaufgabe (1) berechnete Schranke  $α_{\rm I}(f)$  gilt nur für  $f \gg f_∗$, während die Schranke  $α_{\rm II}(f)$  für  $f \ll f_∗$  gültig ist.

  • Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star}) = \sqrt{1/2 \cdot \omega_{\star} \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
  • Für das Kupferkabel mit  $\text{0.6 mm}$  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
$$f_{\star} = \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}= \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}} \hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit  $\text{5 mm}$ Durchmesser:
$$f_{\star} = \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für das Kupferkabel gilt  $f_0 \ll f_∗$.

  • Deshalb ist hier die Näherung  $α_{\rm II}(f)$   ⇒   "starke Dämpfung" zu verwenden:
$$\alpha(f = f_0) \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}} \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} } \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$
  • Für die Bronzeleitung ist wegen  $f_0 \gg f_∗$  die Näherung  $α_{\rm I}(f)$   ⇒   "schwache Dämpfung" besser geeignet, siehe Teilaufgabe  (1):
$$\alpha(f = f_0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$