Exercise 4.1: Attenuation Function

Das Dämpfungsmaß α(f) – sprich „alpha” – einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an. Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge R', L', G' und C' festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:

$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np} = \frac{1}{2} \cdot \left [R' \cdot \sqrt{\frac{C'}{ L'} } + G' \cdot \sqrt{\frac{L'}{ C'} }\right ] \hspace{0.05cm},$$

$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np} = \sqrt{\omega \cdot \frac{R' \hspace{0.05cm} C'}{ 2} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$

Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf α(f) in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von α_I(f) und α_II(f) ergibt die charakteristische Frequenz f_∗ mit folgender Bedeutung:

Für f >> f_∗ gilt α(f) ≈ α_I(f).

Für f << f_∗ ist α(f) ≈ α_II(f).

Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß α(f) für ein Nachrichtensignal der Frequenz f₀ = 2 kHz ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:

ein Kupferkabel mit 0.6 mm Durchmesser:

$$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$

eine Bronzefreileitung mit 5 mm Durchmesser:

$$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm \mu S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex von Kapitel 4.1.

Fragebogen

$Kupfer,\ 0.6\ mm:\ \alpha_I $ =

$Np/km$

$Bronze,\ 5\ mm:\ \alpha_I $ =

$\cdot 10^{-3}\ Np/km$

$Kupfer,\ 0.6\ mm:\ f_∗ $ =

$kHz$

$Bronze,\ 5\ mm:\ f_∗ $ =

$kHz$

$Kupfer,\ 0.6\ mm:\ \alpha (f = f_0) $ =

$Np/km$

$Bronze,\ 5\ mm:\ \alpha (f = f_0) $ =

$\cdot 10^{-3}\ Np/km$

Musterlösung

Solution

1. Für das Kupferkabel gilt mit R' = 130 Ω/km, L' = 0.6 mH/km, G' = 1 μs/km und C' = 35 nF/km:

$${\alpha_{_{\rm I}}(f)} = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [130\,{\rm \Omega} \cdot \sqrt{\frac{35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}}{ 0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}} } + 10^{-6}\,{\rm \Omega^{-1}} \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \,s}}{ 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/\Omega}} }\hspace{0.1cm}\right ]= \\ = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right ]= \\ = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot$$

Für die Bronzeleitung ergibt sich mit R' = 2.2 Ω/km, L' = 1.8 mH/km, G' = 0.5 μs/km, C' = 6.7 nF/km:

$${\alpha_{_{\rm I}}(f)} = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} } + 0.5 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{ 1.8 \cdot 10^{-3}} {6.7 \cdot 10^{-9}}}\hspace{0.1cm}\right ]= \\ = \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot \left [4.244 \cdot 10^{-3}+ 0.259 \cdot 10^{-3}\right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25\cdot 10^{-3}\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$

2. Die unter a) berechnete Schranke α_I(f) gilt nur für f >> f_∗, während die Schranke α_II(f) für f << f_∗ gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:

$${\alpha_{_{\rm II}}(f = f_{\star})} = \sqrt{\omega_{\star} \cdot \frac{R' \hspace{0.05cm} C'}{ 2} }\hspace{0.1cm} \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = {\alpha_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}$$

Für das Kupferkabel mit 0.6 mm Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:

$$f_{\star} = \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}= \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}} \hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser:

$$f_{\star} = \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.109\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$

3. Für das Kupferkabel gilt f₀ << f_∗. Deshalb ist hier die Näherung α_II(f) günstiger:

$$\alpha(f = f_0) \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}} \hspace{0.1cm}\frac{\rm Np}{ {\rm km} } \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen f₀ >> f_∗ die Näherung α_I(f) – die so genannte „schwache Dämpfung” – besser geeignet (siehe Teilaufgabe 1)):

$$\alpha(f = f_0) \hspace{0.15cm}\underline{= 2.25 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }} \hspace{0.05cm}.$$