Difference between revisions of "Aufgaben:Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK"

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Die Sendesignale von ASK&nbsp; (''Amplitude Shift Keying'')&nbsp; und BPSK&nbsp; (''Binary Phase Shift Keying'')&nbsp; können beide in der Form
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:$$s(t) = q(t) · z(t)$$
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dargestellt werden, wobei &nbsp;$z(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung mit der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$1$&nbsp; darstellt.&nbsp; Die Trägerphase &nbsp;$ϕ_{\rm T}$&nbsp; ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.
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*Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole $±1$ gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
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*Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: &nbsp;$a_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; – des Quellensignals
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:$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$
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:anzusetzen, während im Fall der BPSK &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$&nbsp; zu berücksichtigen ist.
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In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren &nbsp;${\it Φ}_q(f)$&nbsp; und &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls &nbsp;$g_q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; ergeben.&nbsp; Damit lautet die Spektralfunktion:
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:$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
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Zu bestimmen sind die Konstanten &nbsp;$A$, &nbsp;$B$, &nbsp;$C$&nbsp; und &nbsp;$D$&nbsp; für die Modulationsverfahren&nbsp; $\rm ASK$&nbsp; und&nbsp; $\rm BPSK$.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulation_Methods/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
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*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]]&nbsp;  im Buch „Digitalsignalübertragung”.
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*Die Leistungen sind in  &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; anzugeben;&nbsp; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
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{Welche Werte  ergeben sich bei ASK für die Parameter &nbsp;$A = {\it Φ}_q(f = 0)$&nbsp; und &nbsp;$B$&nbsp; $($Diracgewicht bei &nbsp;$f = 0)$?
|type="[]"}
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- Falsch
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$A \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
+ Richtig
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$B \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
 +
 
  
 +
{Bestimmen Sie für das ASK–Sendesignal die Parameter &nbsp;$C = {\it Φ}_s(f = f_{\rm T})$&nbsp; und &nbsp;$D$&nbsp;  $($Diracgewicht bei $f = f_{\rm T})$ .
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|type="{}"}
 +
$C \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
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$D \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \rm V^2$
  
{Input-Box Frage
+
{Welche Werte  ergeben sich bei BPSK für die Parameter &nbsp;$A$&nbsp; und &nbsp;$B$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$A \ = \ $ { 4 3% }  $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
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$B \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
  
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{Welche Werte  ergeben sich bei BPSK für die Parameter &nbsp;$C$&nbsp; und &nbsp;$D$?
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|type="{}"}
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$C \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
 +
$D \ = \ $ { 0. }  $\ \rm V^2$
  
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{Welche Aussagen treffen immer zu, also auch dann, wenn &nbsp;$g_q(t)$&nbsp; kein NRZ–Rechteckimpuls ist?
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|type="[]"}
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+ Der kontinuierliche Anteil von &nbsp;$ {\it Φ}_q(f)$&nbsp; ist formgleich mit &nbsp;$|G_q(f)|^2$.
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- ${\it Φ}_q(f)$&nbsp; beinhaltet bei ASK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.
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- ${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei BPSK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.
  
 
</quiz>
 
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt&nbsp; $m_q = s_0/2$.&nbsp; Das Diracgewicht ist somit&nbsp; $B = m_q^2 = s_0^2/4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V^2}$.
'''2.'''
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'''3.'''
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*Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal&nbsp; $q(t) - m_q ∈ \{+s_0/2, -s_0/2\}$.
'''4.'''
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*Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil&nbsp; $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$.
'''5.'''
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*Hieraus lässt sich der gesuchte Wert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ermitteln:
'''6.'''
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:$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot
'''7.'''
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10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum&nbsp; $Z(f)$&nbsp; eines Cosinussignals&nbsp; $z(t)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$.
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*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_z(f)$&nbsp; besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht&nbsp; $1/4$.
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*Die Faltung&nbsp; ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$&nbsp; ergibt das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_s(f)$&nbsp; des Sendesignals.&nbsp; Daraus folgt:
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:$$C =  {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm
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V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$
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''Anmerkung:'' &nbsp; Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über&nbsp; ${\it Φ}_s(f)$:
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:$$P_{\rm S}  = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm}  {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f
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= 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm}  {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm
 +
d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T}  + D \right ] =
 +
2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm
 +
V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}}  + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1
 +
\,{\rm V^{2}}}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bipolar anzusetzen.
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*Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie &nbsp;  ⇒  &nbsp; $\underline{B = 0}$.
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*  Der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß wie bei der ASK:
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:$$A =  {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
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:$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D =
 +
\frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>:
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* Bei BPSK&nbsp; (bipolares Quellensignal)&nbsp; beinhaltet&nbsp; ${\it Φ}_q(f)$&nbsp; auch dann keine einzige Diraclinie, wenn&nbsp; $g_q(t)$&nbsp; von der Rechteckform abweicht&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole vorausgesetzt).
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*Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/T$.  
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Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf der Seite&nbsp;  „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen”&nbsp; im Buch „Digitalsignalübertragung”.
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulationsverfahren^]]
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]

Latest revision as of 13:46, 23 March 2021

Leistungsdichtespektren von  $q(t)$  und  $s(t)$  – gültig für ASK und BPSK

Die Sendesignale von ASK  (Amplitude Shift Keying)  und BPSK  (Binary Phase Shift Keying)  können beide in der Form

$$s(t) = q(t) · z(t)$$

dargestellt werden, wobei  $z(t)$  eine harmonische Schwingung mit der Frequenz  $f_{\rm T}$  und der Amplitude  $1$  darstellt.  Die Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$  ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

  • Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole $±1$ gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
  • Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt:  $a_ν ∈ \{0, 1\}$  – des Quellensignals
$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$
anzusetzen, während im Fall der BPSK  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$  zu berücksichtigen ist.


In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren  ${\it Φ}_q(f)$  und  ${\it Φ}_s(f)$  von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls  $g_q(t)$  mit der Amplitude  $s_0 = 2 \ \rm V$  und der Dauer  $T = 1 \ \rm µ s$  ergeben.  Damit lautet die Spektralfunktion:

$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$

Zu bestimmen sind die Konstanten  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  für die Modulationsverfahren  $\rm ASK$  und  $\rm BPSK$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Werte ergeben sich bei ASK für die Parameter  $A = {\it Φ}_q(f = 0)$  und  $B$  $($Diracgewicht bei  $f = 0)$?

$A \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$
$B \ = \ $

$\ \rm V^2$

2

Bestimmen Sie für das ASK–Sendesignal die Parameter  $C = {\it Φ}_s(f = f_{\rm T})$  und  $D$  $($Diracgewicht bei $f = f_{\rm T})$ .

$C \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$
$D \ = \ $

$\ \rm V^2$

3

Welche Werte ergeben sich bei BPSK für die Parameter  $A$  und  $B$?

$A \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$
$B \ = \ $

$\ \rm V^2$

4

Welche Werte ergeben sich bei BPSK für die Parameter  $C$  und  $D$?

$C \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2/Hz$
$D \ = \ $

$\ \rm V^2$

5

Welche Aussagen treffen immer zu, also auch dann, wenn  $g_q(t)$  kein NRZ–Rechteckimpuls ist?

Der kontinuierliche Anteil von  $ {\it Φ}_q(f)$  ist formgleich mit  $|G_q(f)|^2$.
${\it Φ}_q(f)$  beinhaltet bei ASK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.
${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei BPSK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.


Musterlösung

(1)  Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt  $m_q = s_0/2$.  Das Diracgewicht ist somit  $B = m_q^2 = s_0^2/4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V^2}$.

  • Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal  $q(t) - m_q ∈ \{+s_0/2, -s_0/2\}$.
  • Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil  $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$.
  • Hieraus lässt sich der gesuchte Wert bei der Frequenz  $f = 0$  ermitteln:
$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$


(2)  Das Spektrum  $Z(f)$  eines Cosinussignals  $z(t)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht  $1/2$.

  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_z(f)$  besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht  $1/4$.
  • Die Faltung  ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$  ergibt das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_s(f)$  des Sendesignals.  Daraus folgt:
$$C = {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$

Anmerkung:   Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über  ${\it Φ}_s(f)$:

$$P_{\rm S} = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm} {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm} {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$


(3)  Bei BPSK ist das Quellensignal  $q(t)$  bipolar anzusetzen.

  • Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie   ⇒   $\underline{B = 0}$.
  • Der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß wie bei der ASK:
$$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$


(4)  Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:

$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$


(5)  Richtig ist nur die erste Aussage:

  • Bei BPSK  (bipolares Quellensignal)  beinhaltet  ${\it Φ}_q(f)$  auch dann keine einzige Diraclinie, wenn  $g_q(t)$  von der Rechteckform abweicht  (gleichwahrscheinliche Symbole vorausgesetzt).
  • Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von  $1/T$.


Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf der Seite  „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen”  im Buch „Digitalsignalübertragung”.