Difference between revisions of "Aufgaben:Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK"

From LNTwww
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulationsverfahren }} [[File:|right|]] ===Fragebogen=== <quiz display=simple> {Multiple-C…“)
 
Line 3: Line 3:
 
}}
 
}}
  
[[File:|right|]]
+
[[File:P_ID1701__Mod_A_4_6.png|right|]]
 +
Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_T$ und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase $ϕ_T$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.
  
 +
Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ {0, 1}$ – des Quellensignals
 +
$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$
 +
anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν$ ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
  
 +
In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren $Φ_q(f)$ und $Φ_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 V$ und der Dauer $T = 1 μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion:
 +
$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
 +
Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.
 +
 +
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren Kapitel 4.2] dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
+
{Wie groß sind der Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und das Diracgewicht B bei ASK?
|type="[]"}
+
|type="{}"}
- Falsch
+
$ASK: A$ = { 1 3% } $10^{-6}$ $V^2$
+ Richtig
+
$B$ = { 1 35 } $V^2$
 +
 
  
 +
{Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des ASK–Sendesignals.
 +
|type="{}"}
 +
$ASK:  C$ = { 0.25 3% } $10^{-6}$ $V^2/Hz$
 +
$D$ = { 0.25 3% } $V^2$
  
{Input-Box Frage
+
{Wie groß sind die Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und B bei BPSK?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$BPSK:  A$ = { 4 3% }  $10^{-6}$ $V^2/Hz$
 +
$B$ = { 0 3% } $V^2$
  
 +
{Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des BPSK–Sendedsignals.
 +
|type="{}"}
 +
$BPSK:  C$ = { 1 3% } $10^{-6}$ $V^2/Hz$
 +
$D$ = { 0 3% }  $V^2$
  
 +
{Welche Aussagen treffen zu, auch wenn $g_q(t)$ kein NRZ–Rechteckimpuls ist?
 +
|type="{}"}
 +
+ Der kontinuierliche Anteil von $Φ_q(f)$ ist formgleich mit $|Gq(f)|^2$.
 +
- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.
 +
- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.
  
 
</quiz>
 
</quiz>
Line 25: Line 49:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
+
'''1.''' Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$. Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q$ ∈ {$+s_0/2$, $–s_0/2$}. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann:
'''2.'''
+
$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
'''3.'''
+
 
'''4.'''
+
'''2.''' Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_T$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum $Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt:
'''5.'''
+
$$C = \frac {A}{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$
'''6.'''
+
'''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über $Φ_s(f)$:
'''7.'''
+
$$ P_{\rm S}  =  \int\limits_{ - \infty }^\infty {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int\limits_{ 0 }^\infty {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f=$$
 +
$$ =  2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$
 +
 
 +
'''3.''' Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie  ⇒  B = 0  und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK:
 +
$$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
 +
 
 +
'''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
 +
$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
 +
 
 +
'''5.''' Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet $Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.
 +
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Revision as of 20:47, 4 January 2017

P ID1701 Mod A 4 6.png

Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_T$ und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase $ϕ_T$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ {0, 1}$ – des Quellensignals $$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$ anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν$ ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.

In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren $Φ_q(f)$ und $Φ_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 V$ und der Dauer $T = 1 μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion: $$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$ Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.

Fragebogen

1

Wie groß sind der Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und das Diracgewicht B bei ASK?

$ASK: A$ =

$10^{-6}$ $V^2$
$B$ =

$V^2$

2

Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des ASK–Sendesignals.

$ASK: C$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$
$D$ =

$V^2$

3

Wie groß sind die Parameter $A = Φ_q(f = 0)$ und B bei BPSK?

$BPSK: A$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$
$B$ =

$V^2$

4

Bestimmen Sie die Parameter $C = Φ_s(f = f_T)$ und D des BPSK–Sendedsignals.

$BPSK: C$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$
$D$ =

$V^2$

5

Welche Aussagen treffen zu, auch wenn $g_q(t)$ kein NRZ–Rechteckimpuls ist?

+ Der kontinuierliche Anteil von $Φ_q(f)$ ist formgleich mit $|Gq(f)|^2$.
- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.
- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.


Musterlösung

1. Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$. Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q$ ∈ {$+s_0/2$, $–s_0/2$}. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann: '"`UNIQ-MathJax34-QINU`"' '''2.''' Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_T$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum $Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt: '"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' '''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über $Φ_s(f)$: '"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax37-QINU`"' '''3.''' Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ B = 0 und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK: '"`UNIQ-MathJax38-QINU`"' '''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK: '"`UNIQ-MathJax39-QINU`"' '''5.''' Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet $Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.