Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.7Z: Generation of a Joint PDF"

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:Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $\upsilon$ die beide zwischen -1 und +1 gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße ($x$, $y$) generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
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Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$ die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
  
:Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße ($x$, $y$) soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
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Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
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* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
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* Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
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* Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$.
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* Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
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* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
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* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
  
:* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
 
  
:* Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei.
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''Hinweise:''
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
:* Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$.
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*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
 
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*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$... , $F$ nicht negativ sein sollen.
:* Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
:$$\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$$
 
 
 
:* Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
 
 
 
:* Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.
 
 
 
:<b>Hinweis:</b>&nbsp;Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 4.3. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$ ... $F$ nicht negativ sein sollen.
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>C</i> und <i>F</i>.
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{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$C$ = { 0 3% }
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$C \ = $ { 0. }
$F$ = { 1 3% }
+
$F\ = $ { 1 3% }
  
  
{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>A</i> und <i>B</i>.
+
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$A$ = { 1.732 3% }
+
$A \ = $ { 1.732 3% }
$B$ = { 1.732 3% }
+
$B \ = $ { 1.732 3% }
  
  
{Bestimmen Sie die Koeffizienten <i>D</i> und <i>E</i>, wobei <i>D</i> > <i>E</i> gelten soll.
+
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
 
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|type="{}"}
$D$ = { 3.464 3% }
+
$D \ = $ { 3.464 3% }
$E$ = { 1.732 3% }
+
$E \ = $ { 1.732 3% }
  
  
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r <i>x</i> und <i>y</i> an.
+
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r $x$ und $y$ an.
 
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|type="{}"}
$x_\text{max}$ = { 3.464 3% }
+
$x_\text{max}\ = $ { 3.464 3% }
$y_\text{max}$ = { 6.196 3% }
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$y_\text{max}\ = $ { 6.196 3% }
  
  

Revision as of 14:55, 22 March 2017

Vorgaben zur Erzeugung einer 2D-Zufallsgröße

Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$ die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:

$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:

  • Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
  • Die Zufallsgröße $x$ sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
  • Für den Mittelwert von $y$ gelte $m_y = 1$.
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
  • Die Zufallsgröße $x$ besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$ entsprechend der oberen Grafik.
  • Die Zufallsgröße $y$ besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$ entsprechend der unteren Grafik.


Hinweise:


Fragebogen

1

Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.

$C \ = $

$F\ = $

2

Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.

$A \ = $

$B \ = $

3

Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.

$D \ = $

$E \ = $

4

Geben Sie die Maximalwerte für $x$ und $y$ an.

$x_\text{max}\ = $

$y_\text{max}\ = $


Musterlösung

1.  Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten: C = mx = 0 und F = my = 1.
2.  Unter Berücksichtigung von σ2 = 2/3 gilt:
$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= \frac {2}{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
Wegen σx2 = 4 folgt daraus A2 + B2 = 6. Eine dreieckförmige WDF bedeutet, dass A = ±B gelten muss. Somit erhält man A = B = 31/2 = 1.732 (negative Koeffizienten wurden ausgeschlossen).
3.  Mit A und B entsprechend Punkt b) verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für D und E:
$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
P ID424 Sto Z 4 7 d.png
Daraus folgt weiter:
$$D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}.$$
Die Gleichung führt in Verbindung mit D2 + E2 = 15 und der oben angegebenen Nebenbedingung (D > E) zum Ergebnis:
$$ D= 2 \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
4.  Mit A = B = 1.732 kann die Zufallsgröße x maximal den Wert 3.464 annehmen (wenn jeweils u = 1 und υ = 1 gilt).
Das Maximum von y ergibt sich mit diesen Parameterwerten zu ymax = D + E + F = 6.196, der Minimalwert zu ymin = –DE +F = –4.196 (siehe Skizze der 2D-WDF).