Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.7Z: Generation of a Joint PDF"

From LNTwww
m (Text replacement - "Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie" to "Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises")
(4 intermediate revisions by 2 users not shown)
Line 4: Line 4:
  
 
[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
 
[[File:P_ID423__Sto_Z_4_7.png|right|frame|Vorgaben zur Erzeugung einer <br>2D-Zufallsgröße]]
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$, die beide zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz $\sigma^2 = 2/3$ besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße $(x, y)$ generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
+
Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, die beide zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 2/3$&nbsp; besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$x = A \cdot u + B \cdot  v + C,$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
 
:$$y= D \cdot u + E \cdot  v + F.$$
  
Die zu erzeugende 2D&ndash;Zufallsgröße $(x, y)$ soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
+
Die zu erzeugende 2D&ndash;Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:
* Die Varianzen seien $\sigma_x^2 = 4$ und $\sigma_y^2 = 10$.
+
* Die Varianzen seien&nbsp; $\sigma_x^2 = 4$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_y^2 = 10$.
* Die Zufallsgröße $x$&nbsp; sei mittelwertfrei $(m_x =0)$.
+
* Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sei mittelwertfrei&nbsp; $(m_x =0)$.
* Für den Mittelwert von $y$&nbsp; gelte $m_y = 1$.
+
* Für den Mittelwert von&nbsp; $y$&nbsp; gelte&nbsp; $m_y = 1$.
* Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$&nbsp; und $y$&nbsp; betrage $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
+
* Der Korrelationskoeffizient zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; betrage&nbsp; $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
* Die Zufallsgröße $x$&nbsp; besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Grafik.
+
* Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; besitze eine dreieckförmige WDF  $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Grafik.
* Die Zufallsgröße $y$&nbsp; besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$&nbsp; entsprechend der unteren Grafik.
+
* Die Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp; besitze eine trapezförmige WDF  $f_y(y)$&nbsp; entsprechend der unteren Grafik.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Line 21: Line 24:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
+
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Erzeugung_korrelierter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen]].
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten $A$, ... , $F$ nicht negativ sein sollen.
+
*Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten&nbsp; $A$, ... , $F$&nbsp; nicht negativ sein sollen.
 
   
 
   
  
Line 30: Line 33:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $C$ und $F$.
+
{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $F$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$C \ = \ $ { 0. }
 
$C \ = \ $ { 0. }
Line 36: Line 39:
  
  
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $A$ und $B$.
+
{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
 
$A \ = \ $ { 1.732 3% }
Line 42: Line 45:
  
  
{Bestimmen Sie die Koeffizienten $D$ und $E$, wobei $D > E$ gelten soll.
+
{Bestimmen Sie die Koeffizienten&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$, wobei&nbsp; $D > E$&nbsp; gelten soll.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
 
$D \ = \ $ { 3.464 3% }
Line 48: Line 51:
  
  
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r $x$ und $y$ an.
+
{Geben Sie die Maximalwerte f&uuml;r&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
 
$x_\text{max}\ = \ $ { 3.464 3% }
Line 62: Line 65:
 
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
 
:$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Unter Ber&uuml;cksichtigung von $\sigma^2 = 2/3$ gilt:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Unter Ber&uuml;cksichtigung von&nbsp; $\sigma^2 = 2/3$&nbsp; gilt:
 
:$$\sigma_x^2 =  \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
 
:$$\sigma_x^2 =  \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
  
Wegen $\sigma_x^2 = 4$ folgt daraus $A^2 + B^2= 6$. Eine dreieckf&ouml;rmige WDF bedeutet, dass $A = \pm B$ gelten muss. Somit erh&auml;lt man, da  negative Koeffizienten  ausgeschlossen wurden:  
+
*Wegen&nbsp; $\sigma_x^2 = 4$&nbsp; folgt&nbsp; $A^2 + B^2= 6$.  
:$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$  
+
*Eine dreieckf&ouml;rmige WDF bedeutet, dass&nbsp; $A = \pm B$&nbsp; gelten muss.  
 +
*Somit erh&auml;lt man, da  negative Koeffizienten  ausgeschlossen wurden:  
 +
:$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Mit $ A = B = \sqrt{3}$ entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen f&uuml;r $D$ und $E$:
+
[[File:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|Rautenförmige 2D-WDF]]
+
[[File:P_ID424__Sto_Z_4_7_d.png|right|frame|Rautenförmige 2D-WDF]]
 +
'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $ A = B = \sqrt{3}$&nbsp; entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen f&uuml;r&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$:
 
:$$\sigma_y^2 =  \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2}  = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
 
:$$\sigma_y^2 =  \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2}  = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
 
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D +  E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}}  \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
 
:$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D +  E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}}  \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
  
Daraus folgt weiter: $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$ Die Gleichung führt in Verbindung mit $D^2 + E^2 = 15$ und der oben angegebenen Nebenbedingung$(D>E)$  zum Ergebnis:
+
*Daraus folgt weiter:&nbsp; $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$  
 +
*Die Gleichung führt in Verbindung mit&nbsp; $D^2 + E^2 = 15$&nbsp; und der Nebenbedingung&nbsp; $(D>E)$&nbsp; zum Ergebnis:
 
:$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
 
:$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ bzw. $y$ nehmen ihre maximalen Werte  an, wenn jeweils $u= 1$ und $v= 1$ gilt:
+
 
:$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = -  A - B= -3.464.$$
+
'''(4)'''&nbsp; Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; bzw.&nbsp; $y$&nbsp; nehmen ihre maximalen Werte  an, wenn jeweils&nbsp; $u= +1$ und&nbsp; $v= +1$&nbsp; gilt:
:$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = 6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -3.464.$$
+
:$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = -  A - B= -3.464.$$
 +
:$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
Line 84: Line 93:
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen^]]
+
[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^4.3 Linearkombinationen^]]

Revision as of 13:44, 23 March 2021

Vorgaben zur Erzeugung einer
2D-Zufallsgröße

Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen  $u$  und  $v$, die beide zwischen  $-1$  und  $+1$  gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz  $\sigma^2 = 2/3$  besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße  $(x, y)$  generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:

$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$
$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$  soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:

  • Die Varianzen seien  $\sigma_x^2 = 4$  und  $\sigma_y^2 = 10$.
  • Die Zufallsgröße  $x$  sei mittelwertfrei  $(m_x =0)$.
  • Für den Mittelwert von  $y$  gelte  $m_y = 1$.
  • Der Korrelationskoeffizient zwischen  $x$  und  $y$  betrage  $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
  • Die Zufallsgröße  $x$  besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$  entsprechend der oberen Grafik.
  • Die Zufallsgröße  $y$  besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$  entsprechend der unteren Grafik.





Hinweise:


Fragebogen

1

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $C$  und  $F$.

$C \ = \ $

$F\ = \ $

2

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $A$  und  $B$.

$A \ = \ $

$B \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $D$  und  $E$, wobei  $D > E$  gelten soll.

$D \ = \ $

$E \ = \ $

4

Geben Sie die Maximalwerte für  $x$  und  $y$  an.

$x_\text{max}\ = \ $

$y_\text{max}\ = \ $


Musterlösung

(1)  Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:

$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$


(2)  Unter Berücksichtigung von  $\sigma^2 = 2/3$  gilt:

$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$
  • Wegen  $\sigma_x^2 = 4$  folgt  $A^2 + B^2= 6$.
  • Eine dreieckförmige WDF bedeutet, dass  $A = \pm B$  gelten muss.
  • Somit erhält man, da negative Koeffizienten ausgeschlossen wurden:
$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$


Rautenförmige 2D-WDF

(3)  Mit  $ A = B = \sqrt{3}$  entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für  $D$  und  $E$:

$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$
$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$
  • Daraus folgt weiter:  $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$
  • Die Gleichung führt in Verbindung mit  $D^2 + E^2 = 15$  und der Nebenbedingung  $(D>E)$  zum Ergebnis:
$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$


(4)  Die Zufallsgröße  $x$  bzw.  $y$  nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils  $u= +1$ und  $v= +1$  gilt:

$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$
$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$