Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.8: Numerical Analysis of the AWGN Channel Capacity"

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'''(1)'''  Ausgehend von der Gleichung
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'''(1)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig:
$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$
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*Ausgehend von der Gleichung  
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:$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$
 
erhält man mit <i>C</i> = <i>R</i> und <i>E</i><sub>S</sub> = <i>R</i> &middot; <i>E</i><sub>B</sub> die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
 
erhält man mit <i>C</i> = <i>R</i> und <i>E</i><sub>S</sub> = <i>R</i> &middot; <i>E</i><sub>B</sub> die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:
$$R = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
+
:$$R = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +  { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
Bringt man den Faktor 1/2 auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis 2, so erhält man den Lösungsvorschlag 2:
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*Bringt man den Faktor 1/2 auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis 2, so erhält man den Lösungsvorschlag 2:
$$2^{2R} =  1 +  2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
+
:$$2^{2R} =  1 +  2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
Löst man diese Gleichung nach <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> auf, so ergibt sich
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*Löst man diese Gleichung nach <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> auf, so ergibt sich
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} -  1}  { 2 R}  \hspace{0.05cm}. $$
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:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} -  1}  { 2 R}  \hspace{0.05cm}. $$
Das bedeutet: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
 
  
'''(2)'''&nbsp; Über einen Kanal mit der Kanalkapazität <i>C</i> ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate <i>R</i> &#8804; <i>C</i> ist. Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall <i>C</i> = <i>R</i> = 0. Oder präziser ausgedrückt: für ein beliebig kleines positives <i>&epsilon;</i>: <i>C</i> = <i>R</i> = <i>&epsilon;</i> mit <i>&epsilon;</i> &#8594; 0.
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'''(2)'''&nbsp; Über einen Kanal mit der Kanalkapazität <i>C</i> ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate <i>R</i> &#8804; <i>C</i> ist. Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall <i>C</i> = <i>R</i> = 0. Oder präziser ausgedrückt: Für ein beliebig kleines positives <i>&epsilon;</i>: <i>C</i> = <i>R</i> = <i>&epsilon;</i> mit <i>&epsilon;</i> &#8594; 0.
  
Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (a) lautet die Bestimmungsgleichung:
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Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) lautet die Bestimmungsgleichung:
$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} -  1}  { 2 R}  \hspace{0.05cm}. $$
+
:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} -  1}  { 2 R}  \hspace{0.05cm}. $$
Da hier der Quotient im Grenzübergang <i>R</i>&nbsp;&#8594;&nbsp;0 das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0&rdquo; liefert, ist hier die [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital|'''l'Hospitalsche Regel'''] anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich <i>R</i> = 0 ein. Mit <i>x</i> = 2<i>R</i> lautet das Ergebnis:
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Da hier der Quotient im Grenzübergang <i>R</i>&nbsp;&#8594;&nbsp;0 das Ergebnis &bdquo;0 geteilt durch 0&rdquo; liefert, ist hier die [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l’Hospital|l'Hospitalsche Regel] anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich <i>R</i> = 0 ein. Mit <i>x</i> = 2<i>R</i> lautet das Ergebnis:
$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} -  1}  { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} }  { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0}  
+
:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} -  1}  { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} }  { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0}  
 
= {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}  
 
= {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693}  
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
 
'''(3)'''&nbsp; In logarithmierter Form erhält man:
 
'''(3)'''&nbsp; In logarithmierter Form erhält man:
$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})] =
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:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})] =
 
10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}}  
 
10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}}  
 
\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
  
 
'''(4)'''&nbsp; Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form: <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 1. Daraus folgt mit <i>C</i>&nbsp;=&nbsp;<i>R</i>:
 
'''(4)'''&nbsp; Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form: <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 1. Daraus folgt mit <i>C</i>&nbsp;=&nbsp;<i>R</i>:
$$\frac{2^{2C} -  1}  { 2 C} \stackrel{!}{=} 1  
+
:$$\frac{2^{2C} -  1}  { 2 C} \stackrel{!}{=} 1  
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5}
 
\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
  
 
'''(5)'''&nbsp; Für <i>R</i> = 1 ist <i>E</i><sub>B</sub> = <i>E</i><sub>S</sub>. Deshalb gilt:
 
'''(5)'''&nbsp; Für <i>R</i> = 1 ist <i>E</i><sub>B</sub> = <i>E</i><sub>S</sub>. Deshalb gilt:
$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}
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:$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm}
 
C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1
 
C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
 
Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:
$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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:$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
 
\underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
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$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} -  1}  { 2 \cdot R}  
 
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} -  1}  { 2 \cdot R}  
 
  = \frac{4 -  1}  { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
 
  = \frac{4 -  1}  { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll.
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:* Gesucht ist die Kanalkapazität  <i>C</i> für 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 15 dB &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 31.62. Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit <i>x</i> = 2<i>C</i>:
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'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:
$$31.62 = \frac{2^{x} -  1}  { x}  
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* Gesucht ist die Kanalkapazität  <i>C</i> für 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 15 dB &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 31.62. Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit <i>x</i> = 2<i>C</i>:
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:$$31.62 = \frac{2^{x} -  1}  { x}  
 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
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31.62 \cdot x = 2^{x} -  1
 
31.62 \cdot x = 2^{x} -  1
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Die Lösung <i>x</i> = 7.986 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>C</i> = 3.993 (bit/use) kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.
 
Die Lösung <i>x</i> = 7.986 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>C</i> = 3.993 (bit/use) kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.
  
:* Gesucht ist der notwendige Abszissenwert 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) für die Kapazität <i>C</i> = 4  bit/Symbol:
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* Gesucht ist der notwendige Abszissenwert 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) für die Kapazität <i>C</i> = 4  bit/Symbol:
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} -  1}  { 2 \cdot C}  
+
:$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} -  1}  { 2 \cdot C}  
 
  = \frac{2^8 -  1}  { 8 } = 31.875  
 
  = \frac{2^8 -  1}  { 8 } = 31.875  
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}
 
10\cdot  {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
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[[File:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png|centre|]]
 
  
Die Grafik zeigt die AWGN&ndash;Kanalkapazität <i>C</i> in  &bdquo;bit/Kanalzugriff&rdquo; oder auch &bdquo;bit/Symbol&rdquo; abhängig von
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[[File:P_ID2940__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Kanalkapazitätskurven als Funktion von 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) und 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) ]]
  
:* 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) &nbsp;&#8658;&nbsp; rote Kurve und rote Zahlen; <br>diese
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Die Grafik zeigt die AWGN&ndash;Kanalkapazität abhängig von
geben die Kanalkapazität <i>C</i> für das vorgegebene 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) an.
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* 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) &nbsp;&#8658;&nbsp; rote Kurve und rote Zahlen; <br>diese geben die Kanalkapazität <i>C</i> für das vorgegebene 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) an;
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* 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Kurve und  und grüne Zahlen; <br>diese geben das erforderliche 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) für die vorgegebene Kanalkapazität <i>C</i>  an.
  
:* 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Kurve und  und grüne Zahlen; <br>diese geben das erforderliche 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) für die vorgegebene Kanalkapazität <i>C</i>  an.
 
  
 
Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei 1.76 dB.
 
Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei 1.76 dB.
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Revision as of 11:52, 14 June 2017

Kapazität C für gegebenes ES/N0

Für die Kanalkapazität$C$ des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate $R$ bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen:

Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Symbol:

$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

  • $E_{\rm S}$ bezeichnet die (mittlere) Energie pro Symbol des Digitalsignals,
  • $N_0$ gibt die AWGN–Rauschleistungsdichte an.


Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Bit:

$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
  • Zu berücksichtigen ist der Zusammenhang $E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B}$, wobei $R$ die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt.
  • Eine fehlerfreie Übertragung (unter Berücksichtigung dieses optimalen Codes) ist für das gegebene $E_{\rm B}/N_0$ möglich, so lange $R \le C$ gilt  ⇒  Kanalcodierungstheorem von Shannon.


Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf der Kanalkapazität in Abhängigkeit von $E_{\rm S}/N_0$. Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung.


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen $E_{\rm B}/{N_0}$ und der Rate $R$ beim AWGN–Kanal exakt?

Es gilt:   $R = 1/2 \cdot \log_2 (1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0})$.
Es gilt:   $2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}$.
Es gilt:   $E_{\rm B}/{N_0} = (2^{2R} -1)/(2R) $.

2

Geben Sie den kleinstmöglichen Wert für $E_{\rm B}/{N_0}$ an, mit dem man über den AWGN–Kanal noch fehlerfrei übertragen kann.

$\text{Min} \ [E_{\rm B}/{N_0}] \ = \ $

3

Welche Ergebnis erhält man in dB?

$\text{Min} \ [10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})] \ = \ $

$ \ \rm dB$

4

Geben Sie die AWGN–Kanalkapazität $C$ für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0$ dB an.

$C \ = \ $

$ \ \rm bit/Kanalzugriff$

5

Geben Sie das erforderliche $E_{\rm B}/{N_0}$ für fehlerfreie Übertragung mit $R = 1$ an.
Hinweis: Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.

$\text{Min} \ [E_{\rm B}/{N_0}] \ = \ $

6

Wie kann ein Punkt der $C(E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve einfacher ermittelt werden?

Berechnung der Kanalkapazität $C$ für das vorgegebene $E_{\rm B}/{N_0}$.
Berechnung des erforderlichen $E_{\rm B}/{N_0}$ für das vorgegebene $C$.


Musterlösung

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Ausgehend von der Gleichung
$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$

erhält man mit C = R und ES = R · EB die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:

$$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$
  • Bringt man den Faktor 1/2 auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis 2, so erhält man den Lösungsvorschlag 2:
$$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$
  • Löst man diese Gleichung nach EB/N0 auf, so ergibt sich
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$

(2)  Über einen Kanal mit der Kanalkapazität C ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate RC ist. Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall C = R = 0. Oder präziser ausgedrückt: Für ein beliebig kleines positives ε: C = R = ε mit ε → 0.

Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) lautet die Bestimmungsgleichung:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$

Da hier der Quotient im Grenzübergang R → 0 das Ergebnis „0 geteilt durch 0” liefert, ist hier die Regel anzuwenden: Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich R = 0 ein. Mit x = 2R lautet das Ergebnis:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[E_{\rm B}/{N_0}] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  In logarithmierter Form erhält man:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})] = 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$

(4)  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form: EB/N0 = 1. Daraus folgt mit C = R:

$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5} \hspace{0.05cm}. $$

(5)  Für R = 1 ist EB = ES. Deshalb gilt:

$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm} C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:

$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$

Der dazugehörige dB–Wert ist 10 · lg (EB/N0) = 1.76 dB.

Zum gleichen Ergebnis kommt man mit R = 1 über die Gleichung $$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:

  • Gesucht ist die Kanalkapazität C für 10 · lg (EB/N0) = 15 dB  ⇒  EB/N0 = 31.62. Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit x = 2C:
$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 31.62 \cdot x = 2^{x} - 1 \hspace{0.05cm}. $$

Die Lösung x = 7.986  ⇒  C = 3.993 (bit/use) kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.

  • Gesucht ist der notwendige Abszissenwert 10 · lg (EB/N0) für die Kapazität C = 4 bit/Symbol:
$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C} = \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
Kanalkapazitätskurven als Funktion von 10 · lg (ES/N0) und 10 · lg (EB/N0)

Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von

  • 10 · lg (ES/N0)  ⇒  rote Kurve und rote Zahlen;
    diese geben die Kanalkapazität C für das vorgegebene 10 · lg (ES/N0) an;
  • 10 · lg (EB/N0)  ⇒  grüne Kurve und und grüne Zahlen;
    diese geben das erforderliche 10 · lg (EB/N0) für die vorgegebene Kanalkapazität C an.


Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei 1.76 dB.