Aufgaben:Exercise 4.8: Numerical Analysis of the AWGN Channel Capacity

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$C$  als Funktion von  $E_{\rm S}/{N_0}$

Für die Kanalkapazität  $C$  des AWGN–Kanals als obere Schranke für die Coderate  $R$  bei Digitalsignalübertragung gibt es zwei verschiedene Gleichungen:

$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Symbol}$:

$$C( E_{\rm S}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S}}{N_0}) .$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

• $E_{\rm S}$  bezeichnet die (mittlere) Energie pro Symbol des Digitalsignals,
• $N_0$  gibt die AWGN–Rauschleistungsdichte an.

$\text{Kanalkapazität C in Abhängigkeit der Energie pro Bit}$:

$$C( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

• Zu berücksichtigen ist der Zusammenhang  $E_{\rm S} = R \cdot E_{\rm B}$, wobei  $R$  die Coderate der bestmöglichen Kanalcodierung angibt.
• Eine fehlerfreie Übertragung (bei optimalem Code) ist für das gegebene  $E_{\rm B}/N_0$  möglich, so lange  $R \le C$  gilt   ⇒   Kanalcodierungstheorem von Shannon.

Durch die Tabelle vorgegeben ist der Kurvenverlauf der Kanalkapazität in Abhängigkeit von  $E_{\rm S}/N_0$.  Im Mittelpunkt dieser Aufgabe steht die numerische Auswertung der zweiten Gleichung.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten 
  • Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$,
  • Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$.
• Da die Ergebnisse in "bit" angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen "log"   ⇒   "log₂" verwendet.

Fragebogen

1

Welche Gleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen  $E_{\rm B}/{N_0}$  und der Rate  $R$  beim AWGN–Kanal exakt?

	Es gilt:   $R = 1/2 \cdot \log_2 (1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt:   $2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}$.
	Es gilt:   $E_{\rm B}/{N_0} = (2^{2R} -1)/(2R) $.

2

Geben Sie den kleinstmöglichen Wert für  $E_{\rm B}/{N_0}$  an, mit dem man über den AWGN–Kanal noch fehlerfrei übertragen kann.

$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $

3

Welche Ergebnis erhält man in  $\rm dB$?

$\text{Min} \ \big[10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})\big] \ = \ $ $ \ \rm dB$

4

Geben Sie die AWGN–Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0$  dB an.

$C \ = \ $ $ \ \rm bit/Kanalzugriff$

5

Geben Sie das erforderliche  $E_{\rm B}/{N_0}$  für fehlerfreie Übertragung mit  $R = 1$  an.   Hinweis:  Die Lösung findet man in der Tabelle auf der Angabenseite.

$\text{Min} \ \big[E_{\rm B}/{N_0}\big] \ = \ $

6

Wie kann ein Punkt der  $C(E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve einfacher ermittelt werden?

	Berechnung der Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $E_{\rm B}/{N_0}$.
	Berechnung des erforderlichen  $E_{\rm B}/{N_0}$  für das vorgegebene  $C$.

Musterlösung

Solution

(1)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

• Ausgehend von der Gleichung

$$C = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0}) $$

erhält man mit  $C = R$  und  $E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$  die Gleichung gemäß Lösungsvorschlag 1:

$$R = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0})\hspace{0.05cm}. $$

• Bringt man den Faktor  $1/2$  auf die linke Seite der Gleichung und bildet die Potenz zur Basis  $2$, so erhält man den Vorschlag 2:

$$2^{2R} = 1 + 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/{N_0}\hspace{0.05cm}. $$

• Löst man diese Gleichung nach  $E_{\rm B}/{N_0}$  auf, so ergibt sich

$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$

(2)  Über einen Kanal mit der Kanalkapazität  $C$  ist eine fehlerfreie Übertragung möglich, solange die Coderate  $R ≤ C$  ist.

• Die absolute Grenze ergibt sich im Grenzfall  $C=R = 0$.

• Oder präziser ausgedrückt:  Für ein beliebig kleines positives  $ε$  muss gelten:   $C=R =ε$  mit  $ε → 0$.

• Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  lautet die Bestimmungsgleichung:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{R \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{2R} - 1} { 2 R} \hspace{0.05cm}. $$

• Da hier der Quotient im Grenzübergang  $ R → 0$  das Ergebnis "0 geteilt durch 0" liefert, ist hier die  l'Hospitalsche Regel  anzuwenden: 
  Man differenziert Zähler und Nenner, bildet den Quotienten und setzt schließlich  $R = 0$  ein. 
• Mit  $x = 2R$  lautet das Ergebnis:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[E_{\rm B}/{N_0}\big] = \lim\limits_{x \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{2^{x} - 1} { x} = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \cdot 2^{x} } { 1} \hspace{0.05cm}\bigg |_{x=0} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.693} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  In logarithmierter Form erhält man:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\big[10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})\big] = 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(0.693) \hspace{0.15cm}\underline{= -1.59\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$

(4)  Der Abszissenwert lautet somit in nichtlogarithmierter Form:   $E_{\rm B}/{N_0} = 1$.  Daraus folgt mit  $C=R$:

$$\frac{2^{2C} - 1} { 2 C} \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{C = 0.5} \hspace{0.05cm}. $$

(5)  Für  $R = 1$  ist  $E_{\rm B} = E_{\rm S}$. Deshalb gilt:

$$ C(E_{\rm B}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Longleftrightarrow \hspace{0.3cm} C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist abzulesen:

$$ C(E_{\rm S}/{N_0}) = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm S}/{N_0} = 1.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{E_{\rm B}/{N_0} = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$

• Der dazugehörige dB–Wert ist  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76 \ \rm dB$.

• Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $R = 1$  über die Gleichung

$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{4 - 1} { 2 } = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie an einem Beispiel gezeigt werden soll:

(a)  Gesucht ist die Kanalkapazität  $C$  für  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$   ⇒    $\E_{\rm B}/{N_0} = 31.62$.

• Dann gilt entsprechend dem Lösungsvorschlag 1 mit  $x = 2C$:

$$31.62 = \frac{2^{x} - 1} { x} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 31.62 \cdot x = 2^{x} - 1 \hspace{0.05cm}. $$

• Die Lösung $x = 7.986$   ⇒   $C = 3.993 \ \rm (bit/use)$ kann nur grafisch oder iterativ gefunden werden.

(b)  Gesucht ist der notwendige Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  für die Kapazität  $C = 4 \ \rm bit/Symbol$:

$$E_{\rm B}/{N_0} = \frac{2^{2C} - 1} { 2 \cdot C} = \frac{2^8 - 1} { 8 } = 31.875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0}) = 15.03\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

Kanalkapazitätskurven als Funktion von  
$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  und  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ 

Die Grafik zeigt die AWGN–Kanalkapazität abhängig von 

• $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  ⇒  rote Kurve und Zahlen;
  diese geben die Kanalkapazität  $C$  für das vorgegebene  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  an;
• $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$  ⇒  grüne Kurve und Zahlen;
  diese geben das erforderliche  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  für die vorgegebene Kanalkapazität  $C$  an.

Der Schnittpunkt der beiden Kurven liegt bei  $1.76\ \rm dB$.