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Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße $(x, y)$, deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen $u$ und $v$ ergeben:
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Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$, deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  ergeben:
 
:$$x=2u-2v+1,$$
 
:$$x=2u-2v+1,$$
 
:$$y=u+3v.$$
 
:$$y=u+3v.$$
  
 
Weiter ist zu beachten:
 
Weiter ist zu beachten:
*Die zwei statistisch unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ sind jeweils gleichverteilt zwischen $0$ und $1$.
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*Die zwei statistisch unabhängigen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  sind jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$.
*In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF. Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:  
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*In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF.  Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:  
 
:$$f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}$$
 
:$$f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}$$
 
*Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich:   $f_{xy}(x, y) = 0$.
 
*Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich:   $f_{xy}(x, y) = 0$.
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Bezug genommen wird auch auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]].
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*Bezug genommen wird auch auf die Seite  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]].
*Wir verweisen hier auch auf das interaktive Applet [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient & Regressionsgerade]].
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*Wir verweisen hier auch auf das interaktive Applet  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]].
*Gehen Sie - wenn möglich - von den angegebenen Gleichungen aus. Nutzen Sie die Informationen der obigen Skizze vorwiegend nur zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
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*Gehen Sie - wenn möglich - von den angegebenen Gleichungen aus.  Nutzen Sie die Informationen der obigen Skizze vorwiegend nur zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
 
   
 
   
  
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{Wie gro&szlig; ist die H&ouml;he $H$ der 2D&ndash;WDF innerhalb des Parallelogramms?
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{Wie gro&szlig; ist die H&ouml;he&nbsp; $H$&nbsp; der 2D&ndash;WDF innerhalb des Parallelogramms?
 
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$H \ = \ $ { 0.125 3% }
 
$H \ = \ $ { 0.125 3% }
  
  
{Welche Werte von $u$ und $v$ liegen dem Eckpunkt $(-1, 3)$ zugrunde?
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{Welche Werte von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; liegen dem Eckpunkt&nbsp; $(-1, 3)$&nbsp; zugrunde?
 
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$u \ = \ $ { 0. }
 
$u \ = \ $ { 0. }
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{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$.
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{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$.
 
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$\rho_{xy}\ = \ $ { -0.457--0.437 }
 
$\rho_{xy}\ = \ $ { -0.457--0.437 }
  
  
{Wie lautet die Korrelationsgerade $y=K(x)$? Bei welchem Punkt $y_0$ schneidet diese die $y$-Achse?
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{Wie lautet die Korrelationsgerade&nbsp; $y=K(x)$?&nbsp; Bei welchem Punkt&nbsp; $y_0$&nbsp; schneidet diese die&nbsp; $y$-Achse?
 
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$y_0\ = \ $ { 2.5 3% }
 
$y_0\ = \ $ { 2.5 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ negativ ist?
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{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; negativ ist?
 
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${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $  { 0.125 3% }
 
${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $  { 0.125 3% }
  
  
{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y >3$ ist?
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{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y >3$&nbsp; ist?
 
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${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $ { 0.167 3% }
 
${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $ { 0.167 3% }
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{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che des Parallelogramms kann aus zwei gleich gro&szlig;en Dreiecken zusammengesetzt werden.  
 
'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che des Parallelogramms kann aus zwei gleich gro&szlig;en Dreiecken zusammengesetzt werden.  
*Die Fl&auml;che des Dreiecks $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$ ergibt $0.5 &middot; 4 &middot; 2 = 4$.  
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*Die Fl&auml;che des Dreiecks&nbsp; $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$&nbsp; ergibt&nbsp; $0.5 &middot; 4 &middot; 2 = 4$.  
 
*Die Gesamtfl&auml;che ist doppelt so groß: &nbsp; $F = 8$.  
 
*Die Gesamtfl&auml;che ist doppelt so groß: &nbsp; $F = 8$.  
*Da das WDF-Volumen stets $1$ ist, gilt $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.
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*Da das WDF&ndash;Volumen stets&nbsp; $1$&nbsp; ist, gilt&nbsp; $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Der minimale Wert von $x$&nbsp; ergibt sich f&uuml;r $\underline{ u=0}$ und $\underline{ v=1}$. Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse $x= -1$ und $y= +3$.
 
  
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'''(2)'''&nbsp; Der minimale Wert von&nbsp; $x$&nbsp; ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\underline{ u=0}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{ v=1}$.
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*Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse&nbsp; $x= -1$&nbsp; und&nbsp; $y= +3$.
  
'''(3)'''&nbsp; Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, d.&nbsp;h. f&uuml;r jede beliebige WDF der beiden statistisch unabh&auml;ngigen Gr&ouml;&szlig;en $u$ und $v$, so lange diese gleiche Streuungen aufweisen $(\sigma_u = \sigma_v)$.
 
  
Mit $A = 2$, $B = -2$, $D = 1$ und $E = 3$ erh&auml;lt man:
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'''(3)'''&nbsp; Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, also f&uuml;r jede beliebige WDF der beiden statistisch unabh&auml;ngigen Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$,
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*so lange diese gleiche Streuungen aufweisen&nbsp; $(\sigma_u = \sigma_v)$.
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*Mit&nbsp; $A = 2$,&nbsp; $B = -2$,&nbsp; $D = 1$&nbsp; und&nbsp; $E = 3$&nbsp; erh&auml;lt man:
 
:$$\rho_{xy } =  \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$
 
:$$\rho_{xy } =  \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$
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:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$
 
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$
  
*Aus den linearen Mittelwerten $m_u = m_v = 0.5$ und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erh&auml;lt man $m_x = 1$ und $m_y = 2$.
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*Aus den linearen Mittelwerten&nbsp; $m_u = m_v = 0.5$&nbsp; und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erh&auml;lt man&nbsp; $m_x = 1$&nbsp; und&nbsp; $m_y = 2$.
  
*Die Varianzen von $u$ und $v$ betragen jeweils $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$. Daraus folgt:
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*Die Varianzen von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; betragen jeweils&nbsp; $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$
 
:$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$
 
:$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$
 
:$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$
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:$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$
 
:$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$
  
*Daraus folgt der Wert $y_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$
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*Daraus folgt der Wert&nbsp; $y_0=K(x=0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit den Hilfsgr&ouml;&szlig;en &nbsp; $q= 2u$, &nbsp; $r= -2v$ &nbsp; und &nbsp; $s= x-1$ gilt der Zusammenhang: &nbsp;  $s= q+r$.  
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'''(5)'''&nbsp; Mit den Hilfsgr&ouml;&szlig;en &nbsp; $q= 2u$, &nbsp; $r= -2v$ &nbsp; und &nbsp; $s= x-1$&nbsp; gilt der Zusammenhang: &nbsp;  $s= q+r$.  
  
*Da $u$&nbsp;  und $v$&nbsp;  jeweils zwischen $0$ und $1$ gleichverteilt sind, besitzt $q$ eine Gleichverteilung im Bereich von $0$ bis $2$ und $r$ eine Gleichverteilung zwischen $-2$ und $0$.
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*Da&nbsp; $u$&nbsp;  und&nbsp; $v$&nbsp;  jeweils zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilt sind, besitzt&nbsp; $q$&nbsp; eine Gleichverteilung im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; ist gleichverteilt zwischen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $0$.
  
*Da zudem $q$ und $r$ nicht statistisch voneinander abh&auml;ngen, gilt f&uuml;r die WDF der Summe:
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*Da zudem&nbsp; $q$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; nicht statistisch voneinander abh&auml;ngen, gilt f&uuml;r die WDF der Summe:
 
[[File:P_ID414__Sto_A_4_8_e.png|right|frame|Dreieckförmige WDF $f_x(x)$]]
 
[[File:P_ID414__Sto_A_4_8_e.png|right|frame|Dreieckförmige WDF $f_x(x)$]]
 
:$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$
 
:$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$
  
*Die Addition$x = s+1$ f&uuml;hrt zu einer Verschiebung der Dreieck&ndash;WDF um $1$ nach rechts.  
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*Die Addition&nbsp; $x = s+1$&nbsp; f&uuml;hrt zu einer Verschiebung der Dreieck&ndash;WDF um&nbsp; $1$&nbsp; nach rechts.  
*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit (im folgenden Bild gr&uuml;n hinterlegt) gilt deshalb: ${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.
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*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit&nbsp; (im folgenden Bild gr&uuml;n hinterlegt)&nbsp; gilt deshalb: &nbsp; ${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
 
[[File: P_ID415__Sto_A_4_8_f.png|right|frame|Trapezförmige WDF $f_y(y)$]]
 
[[File: P_ID415__Sto_A_4_8_f.png|right|frame|Trapezförmige WDF $f_y(y)$]]
'''(6)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung für die Teilaufgabe '''(5)''' gilt mit $t = 3v$:
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'''(6)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung für die Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; gilt mit&nbsp; $t = 3v$:
 
:$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$
 
:$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$
  
 
*Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez.  
 
*Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez.  
*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man ${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}$.   
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*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man&nbsp; ${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}$.   
 
*Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze gr&uuml;n hinterlegt.
 
*Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze gr&uuml;n hinterlegt.
  
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen^]]
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^4.3 Linearkombinationen^]]

Revision as of 13:44, 23 March 2021

Rautenförmige 2D-WDF

Wir betrachten eine 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$, deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  ergeben:

$$x=2u-2v+1,$$
$$y=u+3v.$$

Weiter ist zu beachten:

  • Die zwei statistisch unabhängigen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  sind jeweils gleichverteilt zwischen  $0$  und  $1$.
  • In der Abbildung sehen Sie die 2D–WDF.  Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt:
$$f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}$$
  • Außerhalb des Parallelogramms sind keine Werte möglich:   $f_{xy}(x, y) = 0$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie groß ist die Höhe  $H$  der 2D–WDF innerhalb des Parallelogramms?

$H \ = \ $

2

Welche Werte von  $u$  und  $v$  liegen dem Eckpunkt  $(-1, 3)$  zugrunde?

$u \ = \ $

$v \ = \ $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{xy}$.

$\rho_{xy}\ = \ $

4

Wie lautet die Korrelationsgerade  $y=K(x)$?  Bei welchem Punkt  $y_0$  schneidet diese die  $y$-Achse?

$y_0\ = \ $

5

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  negativ ist?

${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $

6

Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $y >3$  ist?

${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Die Fläche des Parallelogramms kann aus zwei gleich großen Dreiecken zusammengesetzt werden.

  • Die Fläche des Dreiecks  $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$  ergibt  $0.5 · 4 · 2 = 4$.
  • Die Gesamtfläche ist doppelt so groß:   $F = 8$.
  • Da das WDF–Volumen stets  $1$  ist, gilt  $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.


(2)  Der minimale Wert von  $x$  ergibt sich für  $\underline{ u=0}$  und  $\underline{ v=1}$.

  • Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse  $x= -1$  und  $y= +3$.


(3)  Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, also für jede beliebige WDF der beiden statistisch unabhängigen Größen  $u$  und  $v$,

  • so lange diese gleiche Streuungen aufweisen  $(\sigma_u = \sigma_v)$.
  • Mit  $A = 2$,  $B = -2$,  $D = 1$  und  $E = 3$  erhält man:
$$\rho_{xy } = \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$


(4)  Die Korrelationsgerade lautet allgemein:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$
  • Aus den linearen Mittelwerten  $m_u = m_v = 0.5$  und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erhält man  $m_x = 1$  und  $m_y = 2$.
  • Die Varianzen von  $u$  und  $v$  betragen jeweils  $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$.  Daraus folgt:
$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$
$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$
  • Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein, so ergibt sich:
$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$
  • Daraus folgt der Wert  $y_0=K(x=0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$


(5)  Mit den Hilfsgrößen   $q= 2u$,   $r= -2v$   und   $s= x-1$  gilt der Zusammenhang:   $s= q+r$.

  • Da  $u$  und  $v$  jeweils zwischen  $0$  und  $1$  gleichverteilt sind, besitzt  $q$  eine Gleichverteilung im Bereich von  $0$  bis  $2$  und  $r$  ist gleichverteilt zwischen  $-2$  und  $0$.
  • Da zudem  $q$  und  $r$  nicht statistisch voneinander abhängen, gilt für die WDF der Summe:
Dreieckförmige WDF $f_x(x)$
$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$
  • Die Addition  $x = s+1$  führt zu einer Verschiebung der Dreieck–WDF um  $1$  nach rechts.
  • Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit  (im folgenden Bild grün hinterlegt)  gilt deshalb:   ${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.


Trapezförmige WDF $f_y(y)$

(6)  Analog zur Musterlösung für die Teilaufgabe  (5)  gilt mit  $t = 3v$:

$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$
  • Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez.
  • Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man  ${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}$.
  • Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze grün hinterlegt.