Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Realization of a PN Sequence"

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Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν$ ∈ {0, 1}. Der obere Generator mit den Koeffizienten
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Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.  
$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
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*Der obere Generator mit den Koeffizienten
wird durch die Oktalkennung $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{oktal} = (15)$ bezeichnet. Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich (17).
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:$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
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:wird durch die Oktalkennung   $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{\rm oktal} = (15)$   bezeichnet.  
  
Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge 〈$u_ν$〉 gilt: $P = 2^G – 1$. Hierbei bezeichnet G den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.
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*Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich  $(17)$.
  
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf das [http://en.lntwww.de/Modulationsverfahren/Spreizfolgen_f%C3%BCr_CDMA Kapitel 5.3] dieses Buches sowie auf das [http://en.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen Kapitel 2.5] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lehrvideo hinweisen:
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*Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge   $〈u_ν〉$   gilt:  
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:$$P = 2^G – 1.$$
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:Hierbei bezeichnet   $G$   den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.
  
Verdeutlichung der PN–Generatoren (Dateigröße 982 kB – Dauer 5:08)
 
  
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  file:Erlaeuterung der PN-Generatoren.ogv
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
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*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]&nbsp;  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.  
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* Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo &nbsp; [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel]]&nbsp;  hinweisen.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist der Grad der PN–Generatoren?
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{Wie groß ist der Grad &nbsp;$G$&nbsp;  der beiden hier betrachteten PN–Generatoren?
 
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$G$ = { 3 3% }  
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{Geben Sie die Periodenlänge des PN–Generators $(15)_{oktal}$ an.
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{Geben Sie die Periodenlänge &nbsp;$P$&nbsp; des PN–Generators mit der Oktalkennung &nbsp;$(15)$&nbsp; an.
 
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$P$ = { 7 3% }  
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$P\ = \ $ { 7 }  
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?
 
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- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
 
- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
 
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
 
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist G.
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+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist &nbsp;$G$.
+ Die Folge 1 0 1 0 1 0 ..... ist nicht möglich.
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+ Die Folge &nbsp;$1 0 1 0 1 0$ ... &nbsp; ist nicht möglich.
  
{Geben Sie die Periodenlänge des Generators $(17)_{oktal}$ an:
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{Geben Sie die Periodenlänge &nbsp;$P$&nbsp; des PN–Generators mit der Oktalkennung &nbsp;$(17)$&nbsp; an.
 
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$P$ = { 1 3% }
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$P\ = \ $ { 1 }
  
 
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?
 
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?
 
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+ Generator Nr. $(15)_{oktal},$
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+ Der Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(15)$.
- Generator Nr. $(17)_{oktal},$
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- Der Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(17)$.
  
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Der Grad G = 3 ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.
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'''(1)'''&nbsp; Der Grad&nbsp; $\underline{G = 3}$&nbsp; ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.
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'''(2)'''&nbsp; Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge&nbsp; $\underline{P = 7}$&nbsp; ablesbar.&nbsp; Wegen&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; handelt es sich um eine M–Sequenz.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
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*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist&nbsp; $G$&nbsp; (nämlich immer dann, wenn in allen&nbsp; $G$&nbsp; Speicherzellen eine Eins steht).
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*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind&nbsp; (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden).
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*Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
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*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt&nbsp; $P = 2$.&nbsp; Bei einer M–Sequenz gilt&nbsp; $P = 2^G –1$.&nbsp; Für keinen Wert von&nbsp; $G$&nbsp; ist&nbsp; $P = 2$&nbsp; möglich.
  
'''2.''' Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge P = 7 ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz.
 
  
'''3.''' Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist G (nämlich immer dann, wenn in allen G Speicherzellen eine Eins steht). Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden). Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
 
  
Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt P = 2. Bei einer M–Sequenz gilt dagegen $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von G ist P = 2 möglich.
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'''(4)'''&nbsp; Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung&nbsp; $(17)$&nbsp; wieder eine&nbsp; $1$:
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:$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
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*Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils&nbsp; $1$&nbsp; sein &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{P = 1}$.
  
Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4.
 
  
'''4.''' Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator $(17)_{okta}$ wieder eine 1:
 
$$u_{\nu} \left [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \right ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
 
Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils 1 sein ⇒ P = 1.
 
  
'''5.''' Richtig ist Antwort 1: Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt. M steht hierbei für „maximal”.
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'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:  
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*Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; gilt.  
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*„M” steht hierbei für „Maximal”.
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
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Revision as of 13:47, 23 March 2021

Zwei mögliche Realisierungen für PN–Generatoren

Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.

  • Der obere Generator mit den Koeffizienten
$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
wird durch die Oktalkennung   $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{\rm oktal} = (15)$  bezeichnet.
  • Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich  $(17)$.
  • Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge   $〈u_ν〉$  gilt:
$$P = 2^G – 1.$$
Hierbei bezeichnet   $G$  den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß ist der Grad  $G$  der beiden hier betrachteten PN–Generatoren?

$G \ = \ $

2

Geben Sie die Periodenlänge  $P$  des PN–Generators mit der Oktalkennung  $(15)$  an.

$P\ = \ $

3

Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?

Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $G$.
Die Folge  $1 0 1 0 1 0$ ...   ist nicht möglich.

4

Geben Sie die Periodenlänge  $P$  des PN–Generators mit der Oktalkennung  $(17)$  an.

$P\ = \ $

5

Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?

Der Generator mit der Oktalkennung  $(15)$.
Der Generator mit der Oktalkennung  $(17)$.


Musterlösung

(1)  Der Grad  $\underline{G = 3}$  ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.


(2)  Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge  $\underline{P = 7}$  ablesbar.  Wegen  $P = 2^G –1$  handelt es sich um eine M–Sequenz.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist  $G$  (nämlich immer dann, wenn in allen  $G$  Speicherzellen eine Eins steht).
  • Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind  (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden).
  • Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
  • Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt  $P = 2$.  Bei einer M–Sequenz gilt  $P = 2^G –1$.  Für keinen Wert von  $G$  ist  $P = 2$  möglich.


(4)  Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung  $(17)$  wieder eine  $1$:

$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils  $1$  sein   ⇒   $\underline{P = 1}$.


(5)  Richtig ist die Antwort 1:

  • Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn  $P = 2^G –1$  gilt.
  • „M” steht hierbei für „Maximal”.