Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Realization of a PN Sequence"

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{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Spreizfolgen für CDMA
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{{quiz-Header|Buchseite=Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA
 
}}
 
}}
  
[[File:P_ID1886__Mod_Z_5_3.png|right|frame|Zwei mögliche Realisierungen für PN–Generatoren]]
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[[File:EN_Mod_Z_5_3neu.png|right|frame|Two PN generator realizations]]
Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.  
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The diagram shows two possible generators for generating PN sequences in unipolar representation:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.  
*Der obere Generator mit den Koeffizienten
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*The upper generator with the coefficients
 
:$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
 
:$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
:wird durch die Oktalkennung   $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{\rm oktal} = (15)$  bezeichnet.
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:is denoted by the octal identifier   $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm octal} = (15)$. 
  
*Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich  $(17)$.
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*Accordingly,  the octal identifier of the second PN generator is  $(17)$.
  
*Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge   $〈u_ν〉$   gilt:  
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*One speaks of an M-sequence if for the period length of the sequence   $〈u_ν〉$   holds:  
 
:$$P = 2^G – 1.$$  
 
:$$P = 2^G – 1.$$  
:Hierbei bezeichnet   $G$  den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.
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:Here,  $G$  denotes the degree of the shift register,  which is equal to the number of memory cells.
  
  
  
  
 
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Notes:  
 
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*The exercise belongs to the chapter   [[Modulation_Methods/Spreading_Sequences_for_CDMA|Spreading Sequences for CDMA]].
 
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*Reference is also made to the chapter   [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Generation of Discrete Random Variables]]  in the book "Theory of Stochastic Signals".  
 
+
* We would also like to draw your attention to the&nbsp;  (German language)&nbsp;  learning video <br> &nbsp; [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel]] &nbsp; &rArr;&nbsp;  "Explanation of PN generators using an example".&nbsp;
 
 
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Modulation_Methods/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]].
 
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.  
 
* Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo &nbsp; [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel]]&nbsp;  hinweisen.
 
 
   
 
   
  
  
===Fragebogen===
+
===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist der Grad &nbsp;$G$&nbsp; der beiden hier betrachteten PN–Generatoren?
+
{What is the degree &nbsp;$G$&nbsp; of the two PN generators considered here?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$G \ = \ $  { 3 }  
 
$G \ = \ $  { 3 }  
  
{Geben Sie die Periodenlänge &nbsp;$P$&nbsp; des PN–Generators mit der Oktalkennung &nbsp;$(15)$&nbsp; an.
+
{Give the period length &nbsp;$P$&nbsp; of the PN generator with the octal identifier &nbsp;$(15)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P\ = \ $  { 7 }  
 
$P\ = \ $  { 7 }  
  
{Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu?
+
{Which of the following statements are true for each M-sequence?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich.
+
- The number of&nbsp; "zeros"&nbsp; and&nbsp; "ones"&nbsp; is the same.
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen.
+
+ In each period there is one more&nbsp; "ones"&nbsp; than&nbsp; "zeros".
+ Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist &nbsp;$G$.
+
+ The maximum number of consecutive&nbsp; "ones"&nbsp; is &nbsp;$G$.
+ Die Folge &nbsp;$1 0 1 0 1 0$ ... &nbsp; ist nicht möglich.
+
+ The sequence &nbsp;$1 0 1 0 1 0$ ... &nbsp; is not possible.
  
{Geben Sie die Periodenlänge &nbsp;$P$&nbsp; des PN–Generators mit der Oktalkennung &nbsp;$(17)$&nbsp; an.
+
{Specify the period length &nbsp;$P$&nbsp; of the PN generator with the octal identifier&nbsp;$(17)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P\ = \ $ { 1 }
 
$P\ = \ $ { 1 }
  
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz?
+
{Which PN generator produces an M-sequence?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(15)$.
+
+ The generator with the octal identifier &nbsp;$(15)$.
- Der Generator mit der Oktalkennung &nbsp;$(17)$.
+
- The generator with the octal identifier &nbsp;$(17)$.
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Grad&nbsp; $\underline{G = 3}$&nbsp; ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.
+
'''(1)'''&nbsp; The degree&nbsp; $\underline{G = 3}$&nbsp; is equal to the number of memory cells of the shift register.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge&nbsp; $\underline{P = 7}$&nbsp; ablesbar.&nbsp; Wegen&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; handelt es sich um eine M–Sequenz.
+
'''(2)'''&nbsp; From the given sequence the period length&nbsp; $\underline{P = 7}$&nbsp; can be read.&nbsp; Because of&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; it is an M-sequence.
  
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
+
'''(3)'''&nbsp; <u>Solutions 2, 3 and 4</u>&nbsp; are correct:
*Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist&nbsp; $G$&nbsp; (nämlich immer dann, wenn in allen&nbsp; $G$&nbsp; Speicherzellen eine Eins steht).  
+
*The maximum number of consecutive&nbsp; "ones"&nbsp; is&nbsp; $G$&nbsp; (whenever there is a&nbsp; "one"&nbsp; in all&nbsp; $G$&nbsp; memory cells).  
*Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind&nbsp; (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden).  
+
*On the other hand,&nbsp; it is not possible that all memory cells are filled with zeros&nbsp; (otherwise only zeros would be generated).  
*Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
+
*Therefore,&nbsp; there is always one more&nbsp; "ones"&nbsp; than zeros.
*Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt&nbsp; $P = 2$.&nbsp; Bei einer M–Sequenz gilt&nbsp; $P = 2^G –1$.&nbsp; Für keinen Wert von&nbsp; $G$&nbsp; ist&nbsp; $P = 2$&nbsp; möglich.
+
*The period length of the sequence&nbsp; "$1 0 1 0 1 0$ ..." &nbsp; is&nbsp; $P = 2$.&nbsp; For an M-sequence&nbsp; $P = 2^G –1$.&nbsp; For no value of&nbsp; $G$:&nbsp; &nbsp; $P = 2$&nbsp; is possible.
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung&nbsp; $(17)$&nbsp; wieder eine&nbsp; $1$:
+
'''(4)'''&nbsp; If all memory cells are occupied with ones,&nbsp; the generator with the octal identifier&nbsp; $(17)$&nbsp; returns a&nbsp; $1$&nbsp; again:
 
:$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
*Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils&nbsp; $1$&nbsp; sein &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{P = 1}$.
+
*Since this does not change the memory allocation,&nbsp; all further binary values generated will also be&nbsp; $1$&nbsp; each &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{P = 1}$.
  
  
  
'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:  
+
'''(5)'''&nbsp; <u>Answer 1</u>&nbsp; is correct:  
*Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; gilt.  
+
*One speaks of an M-sequence only if&nbsp; $P = 2^G –1$&nbsp; holds.  
*„M” steht hierbei für „Maximal”.
+
*Here,&nbsp; "M"&nbsp; stands for "maximum".
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
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[[Category:Modulation Methods: Exercises|^5.3 Spreizfolgen für CDMA^]]
+
[[Category:Modulation Methods: Exercises|^5.3 Spread Sequences for CDMA^]]

Latest revision as of 17:32, 20 December 2021

Two PN generator realizations

The diagram shows two possible generators for generating PN sequences in unipolar representation:   $u_ν ∈ \{0, 1\}$.

  • The upper generator with the coefficients
$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
is denoted by the octal identifier   $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm octal} = (15)$. 
  • Accordingly,  the octal identifier of the second PN generator is  $(17)$.
  • One speaks of an M-sequence if for the period length of the sequence   $〈u_ν〉$  holds:
$$P = 2^G – 1.$$
Here,  $G$  denotes the degree of the shift register,  which is equal to the number of memory cells.



Notes:


Questions

1

What is the degree  $G$  of the two PN generators considered here?

$G \ = \ $

2

Give the period length  $P$  of the PN generator with the octal identifier  $(15)$.

$P\ = \ $

3

Which of the following statements are true for each M-sequence?

The number of  "zeros"  and  "ones"  is the same.
In each period there is one more  "ones"  than  "zeros".
The maximum number of consecutive  "ones"  is  $G$.
The sequence  $1 0 1 0 1 0$ ...   is not possible.

4

Specify the period length  $P$  of the PN generator with the octal identifier $(17)$.

$P\ = \ $

5

Which PN generator produces an M-sequence?

The generator with the octal identifier  $(15)$.
The generator with the octal identifier  $(17)$.


Solution

(1)  The degree  $\underline{G = 3}$  is equal to the number of memory cells of the shift register.


(2)  From the given sequence the period length  $\underline{P = 7}$  can be read.  Because of  $P = 2^G –1$  it is an M-sequence.


(3)  Solutions 2, 3 and 4  are correct:

  • The maximum number of consecutive  "ones"  is  $G$  (whenever there is a  "one"  in all  $G$  memory cells).
  • On the other hand,  it is not possible that all memory cells are filled with zeros  (otherwise only zeros would be generated).
  • Therefore,  there is always one more  "ones"  than zeros.
  • The period length of the sequence  "$1 0 1 0 1 0$ ..."   is  $P = 2$.  For an M-sequence  $P = 2^G –1$.  For no value of  $G$:    $P = 2$  is possible.


(4)  If all memory cells are occupied with ones,  the generator with the octal identifier  $(17)$  returns a  $1$  again:

$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Since this does not change the memory allocation,  all further binary values generated will also be  $1$  each   ⇒   $\underline{P = 1}$.


(5)  Answer 1  is correct:

  • One speaks of an M-sequence only if  $P = 2^G –1$  holds.
  • Here,  "M"  stands for "maximum".