Aufgaben:Exercise 5.5: ACF-equivalent Filters

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Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:

• Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$.
• Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:

$$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$

Die beiden Verzögerungszeiten von $\text{Filter 1}$ sind jeweils gleich $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. Die Verzögerungen von $\text{Filter 2}$ sind doppelt so lang.

Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ von $\text{Filter 2}$ sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ und von $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ vollständig übereinstimmen. Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit $|a_1| < |a_0|$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich $\text{Filter 1}$ zutreffend?

	Es handelt sich um ein nichtrekursives Filter.
	Die Ordnung des Filters ist $M = 2$.
	Der obere Filterkoeffizient ist gleich $a_0 =+1$.

2

Berechnen Sie die Streuung der Ausgangsfolge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$.

$\sigma_y \ = $

3

Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A}) für $k = 1$ und $k = 2$.

$\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $

$\varphi_y(2T_{\rm A}) \ = $

4

Bestimmen Sie die Koeffizienten von $\text{Filter 2}$ so, dass $\left\langle {z_\nu } \right\rangle$ und $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ die gleiche AKF besitzen. Wie lautet der Quotient $a_1/a_0$ für $|a_1| < |a_0|$?

$a_1/a_0 \ = $

5

Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu?

	$f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind identisch.
	$f_y(y)$ und $f_z(z)$ sind im Allgemeinen unterschiedlich.
	Bei Gaußscher Eingangsgröße wären $f_y(y)$ und $f_z(z)$ gleich.

Musterlösung

Solution

1.  Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten α₀ = –1, α₁ = 0.707 und α₂ = 1. Richtig sind somit die beiden ersten Lösungsvorschläge.

2.  Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für k = 0. Für diesen erhält man:

$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$

Damit ergibt sich für die Streuung (für den Effektivwert):

$$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$

Hinweis: Die Koeffizienten von Filter 1 sind hier mit α₀, α₁, α₂ („alphas”) bezeichnet.

3.  Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:

$$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$

$$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{ = - {1}/{3}}.$$

4.  Da φ_y(T_A) = 0 ist, kann bei geeigneter Wahl von a₀ und a₁ erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von Filter 2 identisch ist mit der unter Punkt c) berechneten AKF. Mit T_A' = 2 · T_A gilt:

$$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$

$$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$

Mit der Hilfsgröße H = a₀² führt dies zu der Bestimmungsgleichung

$$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$

Die beiden Lösungen sind H₁ = 2 und H₂ = 0.5. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:

$$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$

$$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$

Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung |a₀| > |a₁| nicht erfüllt. Bei den beiden oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:

$$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$

5.  Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße x) sind die Dichtefunktionen f_y(y) und f_z(z) unterschiedlich. f_z(z) ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von f_y(y) müssen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.

Bei Gaußscher Eingangsgröße x sind auch y und z gaußverteilt, und wegen m_y = m_z und σ_y = σ_z gilt auch f_z(z) = f_y(y). Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 3.