Aufgaben:Exercise 5.7: Rectangular Matched Filter

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Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort $h(t)$ liegt das Empfangssignal $r(t)$ an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal $g(t)$ und einem Rauschsignal $n(t)$ zusammensetzt. Es gelte:

• Der Nutzimpuls $g(t)$ ist rechteckförmig.
• Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
• Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$.
• Die Mitte des Impulses $T_g = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
• Das Rauschen $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt.
• Die Leistungsdichte beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$ bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$.

Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$. Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar. Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Matched-Filter.
• Für die Teilfragen (1) bis (6) gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der drei Aussagen sind unter der Annahme $\Delta t_h =\Delta t_g$ zutreffend?

	Das Filter ist an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst.
	Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
	Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit $\Delta t_h$ realisieren.

2

Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?

$T_\text{D, opt} \ = $ $\ \rm \mu s$

3

Welchen Wert besitzt hier die Matched-Filter-Konstante?

$K_\text{MF} \ = $ $\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$

4

Welches S/N-Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?

$\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = $

5

Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt T_{D, opt} und die Störleistung vor dem Detektor?

$d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = $ $\ \rm V$

$\sigma_d^2 \ = $ $\ \rm V^2$

6

Welches S/N-Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$?

$\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s) \ = $

7

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =1 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ gilt?
Hinweis: Im Bereich von $0$ bis $1 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ hat die Impulsantwort somit den Wert $10^6 \ \rm 1/s$.

	Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ führt zum maximalen SNR.
	Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in der Teilaufgabe (5) berechnet.
	Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in der Teilaufgabe (5) berechnet.
	Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe (3) berechnet.

8

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn $\Delta t_h =3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ gilt?
Hinweis: Im Bereich von $0$ bis $13 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ hat die Impulsantwort den Wert $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$.

	Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ führt zum maximalen SNR.
	Der Nutzwert $d_S(T_\text{D, opt})$ ist kleiner als in der Teilaufgabe (5) berechnet.
	Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als in der Teilaufgabe (5) berechnet.
	Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe (3) berechnet.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Bei gleicher Impulsdauer ($\Delta t_h =\Delta t_g$) handelt es sich um ein Matched-Filter, auch wenn die Amplitude ($0.5 \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm}\rm 1/s$ bzw. $2 \hspace{0.05cm}\rm V$) und die zeitliche Lage von $g(t)$ und $h(t)$ nicht übereinstimmen.
• Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis.
• Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer $\Delta t_h$ interpretieren.

(2)  Die Impulsantwort des Matched-Filters lautet: $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$

• Der Eingangsimpuls $g(t)$ ist im Bereich von $2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von $-4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $-2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
• Durch eine Verschiebung um $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ wird erreicht, dass $g(T_{\rm D} - t)$ wie die Impulsantwort $h(t)$ zwischen $0$ und $2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Daraus folgt: $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s}$.

(3)  Mit $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$ erhält man $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.05cm}\rm (1/Vs)}$ .

(4)  Die Energie des Nutzimpulses $g(t)$ ist $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. Daraus folgt für das maximale S/N-Verhältnis:

$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$

(5)  Der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ ist dreieckförmig zwischen 2 und 6 Mikrosekunden mit dem Maximum $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.05cm}\rm V}$ bei $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Die Störleistung ergibt sich zu:

$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$

Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:

$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$

(6)  Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich $1 \hspace{0.05cm}\rm V$. Damit ist für $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ das S/N-Verhältnis um den Faktor $4$ kleiner, also $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=3}$.

(7)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

• Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ trapezförmig verläuft.
• Im Bereich von $3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ bis $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ ist der Nutzabtastwert konstant gleich $g_0= 2 \hspace{0.05cm}\rm V$
• Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort $h(t)$ ist der Frequenzgang $H(f)$ um den Faktor $2$ breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:

$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$

• Damit ergibt sich für das S/N-Verhältnis nun der Wert   $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$

(8)  Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Rechts ist der Ausgangsimpuls $d_{\rm S}(t)$ für $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ skizziert. Auch dieser ist trapezförmig.
• Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen $4 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$ und $5 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
• Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß wie bei Anpassung: $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.05cm}\rm V$.
• Für die Störleistung gilt nun:

$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$

• Die Störleistung ist zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe (5).
• Trotzdem ist das S/N-Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in der Teilaufgabe (7) berechnet:

$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$