Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.7: Rectangular Matched Filter"

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[[File:P_ID574__Sto_A_5_7.png|right|Rechteckförmige Matched-Filter-Signale]]
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[[File:P_ID574__Sto_A_5_7.png|right|frame|Nutzimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; und  <br>MF&ndash;Impulsantwort&nbsp; $h(t)$]]
Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort $h(t)$ liegt das Empfangssignal $r(t)$ an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal $g(t)$ und einem Rauschsignal $n(t)$ zusammensetzt. Es gelte:
+
Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; liegt das Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal&nbsp; $g(t)$&nbsp; und einem Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; zusammensetzt.&nbsp; Es gelte:
* Der Nutzimpuls  $g(t)$ ist rechteckförmig.
+
* Der Nutzimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; ist rechteckförmig.
* Die Impulsdauer beträgt $\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
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* Die Impulsdauer beträgt&nbsp; $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$.
* Die Impulsamplitude ist $g_0 = 2 \hspace{0.05cm}\rm V$.  
+
* Die Impulsamplitude ist&nbsp; $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$.  
* Die Mitte des Impulses $T_g = 3 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
+
* Die Mitte des Impulses liegt bei&nbsp; $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$.
* Das Rauschen  $n(t)$ ist weiß und gaußverteilt.
+
* Das Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; ist weiß und gaußverteilt.
* Die Leistungsdichte beträgt $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm}\rm V^2/Hz$ bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$.
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* Die Leistungsdichte beträgt&nbsp; $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$.
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Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei&nbsp; $t = 0$.
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*Die Impulsantwortdauer&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; ist frei wählbar.
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*Die Höhe&nbsp; $1/\Delta t_h$&nbsp; der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass&nbsp; $H(f = 0) = 1$&nbsp; gilt.
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Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei $t = 0$. Die Impulsantwortdauer $\Delta t_h$ ist frei wählbar. Die Höhe $1/\Delta t_h$ der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass $H(f = 0) = 1$ gilt.
 
  
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched-Filter]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Matched-Filter|Matched-Filter]].
*Für die Teilfragen (1) bis (6) gelte stets $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$.
+
*Für die Teilfragen&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(6)'''&nbsp; gelte stets&nbsp; $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der drei Aussagen sind unter der Annahme &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> = &Delta;<i>t<sub>g</sub></i> zutreffend?
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{Welche der Aussagen sind unter der Annahme&nbsp; $\Delta t_h =\Delta t_g$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Das Filter ist an den Eingangsimpuls <i>g</i>(<i>t</i>) angepasst.
+
+ Das Filter ist an den Eingangsimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; angepasst.
 
- Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
 
- Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
+ Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> realisieren.
+
+ Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; realisieren.
  
  
 
{Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?
 
{Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?
 
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$T_\text{D, opt}$ = { 4 3% } $\mu s$
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$T_\text{D, opt} \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm &micro; s$
  
  
{Welchen Wert besitzt hier die Matched-Filter-Konstante?
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{Welchen Wert besitzt hier die Matched&ndash;Filter&ndash;Konstante?
 
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$K_\text{MF}$ = { 0.25 3% } $\cdot 10^6 1/Vs$
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$K_\text{MF} \ = \  $ { 0.25 3% } $\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$
  
  
{Welches S/N-Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?
+
{Welches S/N&ndash;Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?
 
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$\rho_d(T_\text{D, opt})$ = { 4 3% }
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$\rho_d(T_\text{D, opt}) \ =  \ $ { 4 3% }
  
  
{Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt <i>T</i><sub>D, opt</sub> und die Störleistung vor dem Detektor?
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{Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt&nbsp; $T_\text{D, opt}$&nbsp; und die Störleistung&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; vor dem Detektor?
 
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$d_S(T_\text{D, opt})$ = { 2 3% } $V$
+
$d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ =  \ $ { 2 3% } $\ \rm V$
$\sigma_d^2$ = { 1 3% } $V^2$
+
$\sigma_d^2 \ =  \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
  
  
{Welches S/N-Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt <i>T</i><sub>D</sub> = 3 &mu;s?
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{Welches S/N&ndash;Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\rho_d(T_D = 3 \mu s)$ = { 1 3% }
+
$\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s) \ =  \ $ { 1 3% }
  
  
{Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> = 1 &mu;s gilt? <i>Hinweis:</i> Im Bereich von 0 bis 1 &mu;s hat die Impulsantwort somit den Wert 10<sup>6</sup> 1/s.
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{Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn&nbsp; $\Delta t_h =1 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; gilt?&nbsp;  &nbsp; <i>Hinweis:</i>&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; hat die Impulsantwort somit den Wert&nbsp; $10^6 \ \rm 1/s$.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Jedes <i>T</i><sub>D</sub> im Bereich 3 &mu;s ... 4 &mu;s führt zum maximalen SNR.
+
+ Jedes&nbsp; $T_{\rm D}$ im Bereich&nbsp; $3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; führt zum maximalen SNR.
- Der Nutzwert <i>d</i><sub>S</sub>(<i>T<sub>D</sub></i><sub>, opt</sub>) ist kleiner als unter (5) berechnet.
+
- Der Nutzwert&nbsp; $d_S(T_\text{D, opt})$&nbsp; ist kleiner als in Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnet.
+ Die Störleistung &sigma;<i><sub>d</sub></i><sup>2</sup> ist größer als unter (5) berechnet.
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+ Die Störleistung&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; ist größer als  in Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnet.
+ Das S/N-Verhältnis ist kleiner als unter (3) berechnet.
+
+ Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
  
  
{Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn &Delta;<i>t<sub>h</sub></i>  = 3 &mu;s gilt? <i>Hinweis:</i> Im Bereich von 0 bis 1 &mu;s hat die Impulsantwort den Wert 0.33 &middot; 10<sup>6</sup> 1/s.
+
{Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn&nbsp; $\Delta t_h =3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; gilt?&nbsp; &nbsp; <i>Hinweis:</i>&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $3 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; hat die Impulsantwort den Wert&nbsp; $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$.
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Jedes <i>T</i><sub>D</sub> im Bereich 3 &mu;s ... 4 &mu;s führt zum maximalen SNR.
+
- Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$ ... $4 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$ führt zum maximalen SNR.
+ Der Nutzwert <i>d</i><sub>S</sub>(<i>T<sub>D</sub></i><sub>, opt</sub>) ist kleiner als unter (5) berechnet.
+
+ Der Nutzwert&nbsp; $d_S(T_\text{D, opt})$&nbsp; ist kleiner als in Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnet.
- Die Störleistung &sigma;<i><sub>d</sub></i><sup>2</sup> ist größer als unter (5) berechnet.
+
- Die Störleistung&nbsp; $\sigma_d^2$&nbsp; ist größer als in Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnet.
+ Das S/N-Verhältnis ist kleiner als unter (3) berechnet.
+
+ Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
 
 
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Bei gleicher Impulsdauer (&Delta;<i>t<sub>h</sub></i> = &Delta;<i>t<sub>g</sub></i>)<sub>&nbsp;</sub> handelt es sich um ein Matched-Filter, auch wenn Amplitude (0.5 &middot; 10<sup>&ndash;6</sup> 1/s bzw. 2 V) und zeitliche Lage von <i>g</i>(<i>t</i>) und <i>h</i>(<i>t</i>) nicht übereinstimmen. Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal-zu-Rauschleistungsverhältnis. Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> interpretieren. Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 +
*Bei gleicher Impulsdauer&nbsp; $(\Delta t_h =\Delta t_g)$&nbsp; liegt ein Matched-Filter vor, auch wenn sich&nbsp; $g(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$&nbsp; hinsichtlich Amplitude  und zeitlicher Lage unterscheiden.  
 +
*Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis.  
 +
*Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer&nbsp; $\Delta t_h$&nbsp; interpretieren.
 +
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Die Impulsantwort des Matched&ndash;Filters lautet: &nbsp;  $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF}  \cdot g(T_{\rm D}  - t).$
 +
*Der Eingangsimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; ist im Bereich von &nbsp;$2 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; bis &nbsp;$4 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von &nbsp;$-4 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; bis &nbsp;$-2 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$.
 +
*Durch eine Verschiebung um &nbsp;$4 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; wird erreicht, dass&nbsp; $g(T_{\rm D}  - t)$&nbsp; wie die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und &nbsp;$2 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; liegt. Daraus folgt: &nbsp; $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s}$.
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Impulsantwort des Matched-Filters lautet: <i>h</i><sub>MF</sub>(<i>t</i>) = <i>K</i><sub>MF</sub> &middot; <i>g</i>(<i>T</i><sub>D</sub> &ndash; <i>t</i>). Der Eingangsimpuls ist im Bereich von 2 &mu;s bis 4 &mu;s ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von &ndash;4 &mu;s bis &ndash;2 &mu;s. Durch eine Verschiebung um 4 &mu;s wird erreicht, dass <i>g</i>(<i>T</i><sub>D</sub> &ndash; <i>t</i>) wie die Impulsantwort <i>h</i><sub>MF</sub>(<i>t</i>) zwischen 0 und 2 &mu;s liegt. Daraus folgt: <i>T</i><sub>D, opt</sub> <u>= 4 &mu;s</u>.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Mit &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> = &Delta;<i>t<sub>g</sub></i> = 2 &middot; 10<sup>&ndash;6</sup> s und <i>g</i><sub>0</sub> = 2 V erhält man <i>K</i><sub>MF</sub> = 1/(&Delta;<i>t<sub>g</sub></i> &middot; <i>g</i><sub>0</sub>) <u>= 0.25 &middot; 10<sup>6</sup> 1/Vs</u>.
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die Energie des Nutzimpulses <u><i>g</i></u>(<i>t</i>) ist <i>E<sub>g</sub></i> = <i>g</i><sub>0</sub><sup>2</sup> &middot; &Delta;<i>t<sub>g</sub></i> = 8 &middot; 10<sup>&ndash;6 </sup>V<sup>2</sup>s. Daraus folgt für das maximale S/N-Verhältnis:
+
'''(3)'''&nbsp; Mit &nbsp;$\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; und &nbsp;$g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$&nbsp; erhält man &nbsp;$K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$.
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$
 
[[File:P_ID575__Sto_A_5_7_f.png|right|]]
 
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Der Ausgangsimpuls <i>d</i><sub>S</sub>(<i>t</i>) ist dreieckförmig zwischen 2 und 6 Mikrosekunden mit dem Maximum <i>g</i><sub>0</sub> <u>= 2 V</u> bei <i>T</i><sub>D, opt</sub> = 4 &mu;s. Die Störleistung ergibt sich zu:
+
 
 +
 
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'''(4)'''&nbsp; Die Energie des Nutzimpulses&nbsp; $g(t)$&nbsp; ist &nbsp;$E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$.&nbsp;
 +
*Daraus folgt für das maximale S/N&ndash;Verhältnis:
 +
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$
 +
 
 +
 
 +
 
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[[File:P_ID575__Sto_A_5_7_f.png|right|frame|Ausgangsimpuls des Matched&ndash;Filters zur Teilaufgabe&nbsp; '''(5)''']]
 +
'''(5)'''&nbsp; Der Ausgangsimpuls&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; ist dreieckförmig zwischen &nbsp;$2 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; und &nbsp;$6 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
 +
*Das Maximum &nbsp;$g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$&nbsp; liegt bei &nbsp;$T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.  
 +
*Die Störleistung ergibt sich zu:
 
:$$\sigma _d ^2  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
 
:$$\sigma _d ^2  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
  
:Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
+
*Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )  = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$
+
:$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )  = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(6)'''&nbsp; Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich&nbsp; $1 \hspace{0.08cm}\rm V$.
 +
*Damit ist für&nbsp; $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm &micro; s$&nbsp; das S/N&ndash;Verhältnis um den Faktor&nbsp; $4$&nbsp; kleiner, also&nbsp; $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$.
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich 1 V. Damit ist für <i>T</i><sub>D</sub> = 3 &mu;s das S/N-Verhältnis um den Faktor 4 kleiner, also <u>gleich 1</u>.
 
[[File:P_ID576__Sto_A_5_7_g.png|right|]]
 
  
:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls <i>d</i><sub>S</sub>(<i>t</i>) trapezförmig verläuft. Im Bereich von 3 &mu;s bis 4 &mu;s ist der Nutzabtastwert konstant gleich <i>g</i><sub>0</sub> = 2 V.
 
  
:Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) ist der Frequenzgang <i>H</i>(<i>f</i>) um den Faktor 2 breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:
+
[[File:P_ID576__Sto_A_5_7_g.png|right|frame|Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe&nbsp; '''(7)''']]
 +
'''(7)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 +
*Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; trapezförmig verläuft.
 +
*Im Bereich von &nbsp;$3 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; bis &nbsp;$4 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; ist der Nutzabtastwert konstant gleich &nbsp;$g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$
 +
*Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; ist der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:
 
:$$\sigma_d ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t}  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
 
:$$\sigma_d ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t}  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
 +
*Damit ergibt sich für das S/N&ndash;Verhältnis nun der Wert &nbsp; $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$
  
:Damit ergibt sich für das S/N-Verhältnis nun der Wert:
 
:$$\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$$
 
 
:Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.
 
[[File:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|]]
 
  
:<b>8.</b>&nbsp;&nbsp;Rechts ist der Ausgangsimpuls <i>d</i><sub>S</sub>(<i>t</i>) für &Delta;<i>t<sub>h</sub></i> = 3 &mu;s skizziert. Auch dieses ist trapezförmig. Der optimale Detektionszeitpunkt  liegt nun im Bereich zwischen <nobr>4 &mu;s</nobr> und 5 &mu;s, und das Nutzsignal ist nur mehr ein Drittel so groß wie bei Anpassung: <i>d</i><sub>S</sub>(<i>T</i><sub>D,&nbsp;opt</sub>) = 2/3V.
 
  
:Für die Störleistung gilt nun:
+
[[File:P_ID577__Sto_A_5_7_h.png|right|frame|Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe&nbsp; '''(8)''']]
 +
'''(8)'''&nbsp; Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
 +
*Rechts ist der Ausgangsimpuls&nbsp; $d_{\rm S}(t)$&nbsp; für&nbsp; $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$ skizziert.&nbsp; Auch dieser ist trapezförmig.
 +
*Der optimale Detektionszeitpunkt  liegt nun im Bereich zwischen &nbsp;$4 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$&nbsp; und &nbsp;$5 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
 +
*Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung: &nbsp; $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$.
 +
*Für die Störleistung gilt nun:
 
:$$\sigma_d ^2  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
 
:$$\sigma_d ^2  = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
 
+
*Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.  
:Die Störleistung ist zwar kleiner &ndash; also günstiger &ndash; als bei Anpassung (Punkt 5). Trotzdem ist das S/N-Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes schlechter als unter Punkt (7) berechnet:
+
*Trotzdem ist das S/N&ndash;Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe&nbsp; '''(7)''':
 
:$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$
 
:$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$
  
:Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.4 Matched-Filter^]]
+
[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^5.4 Matched-Filter^]]

Revision as of 13:44, 23 March 2021

Nutzimpuls  $g(t)$  und
MF–Impulsantwort  $h(t)$

Am Eingang eines Tiefpasses mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  $h(t)$  liegt das Empfangssignal  $r(t)$  an, das sich additiv aus einem impulsförmigen Nutzsignal  $g(t)$  und einem Rauschsignal  $n(t)$  zusammensetzt.  Es gelte:

  • Der Nutzimpuls  $g(t)$  ist rechteckförmig.
  • Die Impulsdauer beträgt  $\Delta t_g = 2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Die Impulsamplitude ist  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
  • Die Mitte des Impulses liegt bei  $T_g = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Das Rauschen  $n(t)$  ist weiß und gaußverteilt.
  • Die Leistungsdichte beträgt  $N_0 = 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.08cm}\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$  bezogen auf den Widerstand  $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$.


Die rechteckförmige Impulsantwort des Filters beginnt bei  $t = 0$.

  • Die Impulsantwortdauer  $\Delta t_h$  ist frei wählbar.
  • Die Höhe  $1/\Delta t_h$  der Impulsantwort ist jeweils so angepasst, dass  $H(f = 0) = 1$  gilt.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Matched-Filter.
  • Für die Teilfragen  (1)  bis  (6)  gelte stets  $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.


Fragebogen

1

Welche der Aussagen sind unter der Annahme  $\Delta t_h =\Delta t_g$  zutreffend?

Das Filter ist an den Eingangsimpuls  $g(t)$  angepasst.
Es gibt ein anderes Filter mit größerem S/N-Verhältnis.
Das Filter lässt sich als Integrator über die Zeit  $\Delta t_h$  realisieren.

2

Was ist der optimale Detektionszeitpunkt?

$T_\text{D, opt} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Welchen Wert besitzt hier die Matched–Filter–Konstante?

$K_\text{MF} \ = \ $

$\cdot 10^6 \ \rm 1/Vs$

4

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum optimalen Detektionszeitpunkt?

$\rho_d(T_\text{D, opt}) \ = \ $

5

Wie groß sind der Nutzabtastwert zum optimalen Zeitpunkt  $T_\text{D, opt}$  und die Störleistung  $\sigma_d^2$  vor dem Detektor?

$d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) \ = \ $

$\ \rm V$
$\sigma_d^2 \ = \ $

$\ \rm V^2$

6

Welches S/N–Verhältnis ergibt sich zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$?

$\rho_d(T_{\rm D} = 3 \hspace{0.08cm}\rm µ s) \ = \ $

7

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =1 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:  Im Bereich von  $0$  bis  $1 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort somit den Wert  $10^6 \ \rm 1/s$.

Jedes  $T_{\rm D}$ im Bereich  $3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  führt zum maximalen SNR.
Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (3)  berechnet.

8

Welche der folgenden Aussagen treffen zu, wenn  $\Delta t_h =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  gilt?    Hinweis:  Im Bereich von  $0$  bis  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  hat die Impulsantwort den Wert  $0.33 \cdot 10^6 \ \rm 1/s$.

Jedes $T_{\rm D}$ im Bereich $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ ... $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$ führt zum maximalen SNR.
Der Nutzwert  $d_S(T_\text{D, opt})$  ist kleiner als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Die Störleistung  $\sigma_d^2$  ist größer als in Teilaufgabe  (5)  berechnet.
Das S/N-Verhältnis ist kleiner als in Teilaufgabe  (3)  berechnet.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Bei gleicher Impulsdauer  $(\Delta t_h =\Delta t_g)$  liegt ein Matched-Filter vor, auch wenn sich  $g(t)$  und  $h(t)$  hinsichtlich Amplitude und zeitlicher Lage unterscheiden.
  • Damit gibt es auch kein anderes Filter mit besserem Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis.
  • Das Filter mit rechteckförmiger Impulsantwort lässt sich auch als ein Integrator über die Zeitdauer  $\Delta t_h$  interpretieren.


(2)  Die Impulsantwort des Matched–Filters lautet:   $h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$

  • Der Eingangsimpuls  $g(t)$  ist im Bereich von  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  bis  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  ungleich Null, bei Spiegelung im Bereich von  $-4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  bis  $-2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$.
  • Durch eine Verschiebung um  $4 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  wird erreicht, dass  $g(T_{\rm D} - t)$  wie die Impulsantwort  $h(t)$  zwischen  $0$  und  $2 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  liegt. Daraus folgt:   $T_\text{D, opt}\hspace{0.15cm}\underline{ =4 \hspace{0.08cm}\rm µ s}$.


(3)  Mit  $\Delta t_h =\Delta t_g = 2 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $g_0 = 2 \hspace{0.08cm}\rm V$  erhält man  $K_{\rm MF} 1/(\Delta t_g \cdot g_0)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.25 \cdot 10^{6}\hspace{0.08cm}\rm (1/Vs)}$.


(4)  Die Energie des Nutzimpulses  $g(t)$  ist  $E_g = g_0^2 \cdot \Delta t_g = 8 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}\rm V^2s$. 

  • Daraus folgt für das maximale S/N–Verhältnis:
$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 {\rm{s}}}}{{4 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^2 /{\rm{Hz}}}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4}.$$


Ausgangsimpuls des Matched–Filters zur Teilaufgabe  (5)

(5)  Der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  ist dreieckförmig zwischen  $2 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $6 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.

  • Das Maximum  $g_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2 \hspace{0.08cm}\rm V}$  liegt bei  $T_\text{D, opt} =4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
  • Die Störleistung ergibt sich zu:
$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\;{\rm{V}}^2} .$$
  • Mit diesen beiden Rechengrößen kann man wiederum das maximale S/N-Verhältnis berechnen:
$$\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) = \frac{{d_{\rm S} (T_{{\rm{D, \hspace{0.05cm}opt}}} )^2}}{\sigma _d ^2 } = \frac{({2\;{\rm{V}})^2 }}{{1\;{\rm{V}}^2 }} = 4.$$


(6)  Aus obiger Skizze erkennt man, dass nun der Nutzabtastwert nur mehr halb so groß ist, nämlich  $1 \hspace{0.08cm}\rm V$.

  • Damit ist für  $T_\text{D, opt} =3 \hspace{0.08cm}\rm µ s$  das S/N–Verhältnis um den Faktor  $4$  kleiner, also  $\rho _d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{=1}$.


Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe  (7)

(7)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Die Skizze zeigt, dass nun der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  trapezförmig verläuft.
  • Im Bereich von  $3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  bis  $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  ist der Nutzabtastwert konstant gleich  $g_0= 2 \hspace{0.08cm}\rm V$
  • Wegen der nur halb so breiten Impulsantwort  $h(t)$  ist der Frequenzgang  $H(f)$  um den Faktor  $2$  breitbandiger und dadurch die Störleistung größer:
$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h^2 (t)\,{\rm{d}}t} = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = 2\;{\rm{V}}^2 .$$
  • Damit ergibt sich für das S/N–Verhältnis nun der Wert   $\rho_d (T_{{\rm{D, \hspace{0.08cm}opt}}} ) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}.$


Ausgangsimpuls des Matched-Filters zur Teilaufgabe  (8)

(8)  Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 2 und 4:

  • Rechts ist der Ausgangsimpuls  $d_{\rm S}(t)$  für  $\Delta t_h = 3 \hspace{0.05cm}\rm µ s$ skizziert.  Auch dieser ist trapezförmig.
  • Der optimale Detektionszeitpunkt liegt nun im Bereich zwischen  $4 \hspace{0.05cm}\rm µ s$  und  $5 \hspace{0.05cm}\rm µ s$.
  • Das Nutzsignal ist aber nun nur mehr ein Drittel so groß als bei Anpassung:   $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}) = 2/3 \hspace{0.08cm}\rm V$.
  • Für die Störleistung gilt nun:
$$\sigma_d ^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot \Delta t_h } = \frac{2}{3}\;{\rm{V}}^2 .$$
  • Die Störleistung ist somit zwar kleiner (also günstiger) als bei Anpassung entsprechend der Teilaufgabe  (5).
  • Trotzdem ist das S/N–Verhältnis aufgrund des kleineren Nutzabtastwertes noch schlechter als in Teilaufgabe  (7):
$$\rho _d (T_{{\rm{D\hspace{0.05cm},opt}}} ) = \frac{{(2/3\;{\rm{V}})^2 }}{{2/3\;{\rm{V}}^2 }} = {2}/{3}.$$